浙江省嘉兴市2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试卷（Word版附答案）

这是一份浙江省嘉兴市2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试卷（Word版附答案），共12页。试卷主要包含了1），抛物线的准线方程为，已知点为圆，已知，是椭圆，已知直线等内容，欢迎下载使用。
本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟。
考生注意：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸上规定的位置。
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸上的相应位置规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线的倾斜角为（ ）
A．0B．C．D．
2．数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
3．抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．已知空间向量，，且，则（ ）
A．B．C．1D．17
5．已知点为圆：外一动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，且，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知，是椭圆：的两个焦点，，是椭圆上关于轴对称的不同的两点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，把正方形纸片沿对角线进行翻折，点，满足，，是原正方形的中心，当，直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知数列和均为等差数列，它们的前项和分别为和，且，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可以是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知直线：，则下列结论正确的是（ ）
A．直线过定点
B．原点到直线距离的最大值为
C．若点，到直线的距离相等，则
D．若直线经过一、二、三象限，则
11．记等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．是递减数列B．有最大项C．是递增数列D．有最小项
12．数学中有许多形状优美的曲线．例如曲线：，当时，是我们熟知的圆；当时，是形状如“四角星”的曲线，称为星形线，则下列关于曲线的结论正确的是（ ）
A．对任意正实数，曲线恒过2个定点
B．存在无数个正实数，曲线至少有4条对称轴
C．星形线围成的封闭图形的面积大于2
D．星形线与圆有四个公共点
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在等差数列中，，则________．
14．已知与圆：和圆：都相切的直线有且仅有两条，则实数的取值范围是________．
15．在三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的最小值是________．
16．已知双曲线：的左顶点为，右焦点为，倾斜角为的直线与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率的取值范围是________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题满分10分）
已知圆经过三点，，．
（1）求圆的方程；
（2）过的直线与圆交于另一点，且为等腰直角三角形，求的方程．
18．（本题满分12分）
如图，在正四棱柱中，，，分别为，的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）求到平面的距离．
19．（本题满分12分）
已知抛物线：的焦点为，直线与交于，两点．
（1）求的值；
（2）若上存在点，使的重心恰为，求的值及点的坐标．
20．（本题满分12分）
已知数列的各项均为正数，其前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
21．（本题满分12分）
如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．
22．（本题满分12分）
已知椭圆：，其短轴长为2，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，动点，在上，记直线，的斜率分别为，，试问：是否存在常数，使得当时，的面积为定值?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
嘉兴市2023~2024学年第一学期期末检测
高二数学参考答案（2024．1）
一、选择题I：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
DBCAADCD
8．由得，设，，
则，
所以，，．
若，则
解得，，，此时，．
同理，若，得，．
所以．
二、选择题II：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
ACABDBCDABD
12．选项A，曲线过定点和，且与只有两个交点和，正确；
选项B，当，时，曲线至少有4条对称轴，，，正确；
选项C，对于方程，用“”替换“”，方程依然成立，用“”替换“”，方程依然成立，所以星形线既关于轴对称，也关于轴对称。考虑星形线在第一象限内的图形，因为，所以图形在线段的下方，再根据对称性，星形线的图形在曲线的内部，因为曲线所围成的图形面积为2，所以星形线围成的图形面积小于2，错误；
选项D，根据对称性，考虑星形线第一象限内的任意一点，
则
当且仅当时取等号，所以在第一象限有一个交点，再根据对称性另外三个象限各有一个交点，共4个交点，正确．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．614．15．16．
16．在中，，
由余弦定理得
，
又，
所以，
设双曲线的左焦点为，，在中，由余弦定理得
，得，
由得，，．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）法一：设圆的一般方程为，
代入三个点得，
解得，，，
所以的方程为．
法二：线段的垂直平分线是，线段的垂直平分线是，联立得圆心坐标，则半径，所以的方程为．
（2）由题意得圆心到直线的距离为，设直线的方程，则，
解得或，
所以的方程为或．
18．法一：如图1，取中点，连接和，因为，
图1
，所以四边形为平行四边形，则．又，
所以，平面，平面，
所以平面．
同理可得，平面，
又，平面，，所以平面平面．
法二：如图2，以为原点建立空间直角坐标系，，，，，，
所以，又和不重合，
所以．
平面，平面，
所以平面．
同理可得，平面，
又，平面，，
所以平面平面．
法三：如图2，以为原点建立空间直角坐标系，，，，，，，．
图2
设平面的一个法向量，
则，即，
取，同理可得平面的一个法向量，
因为，两平面又不重合，
所以平面平面．
（2），，
由（1）的法三知平面的一个法向量，
则．
19．（1）联立方程：和，消去得
得，则．
（2）设点，则，
，
由点在上，得，
解得，
所以，，点为．
20．（1），，得，所以；
则，
得，
所以是首项为3，公比为3的等比数列，所以．
（2），当，区间，所以，
当，，，即当，在区间内的项有，，，，
所以，
综上，，
，
作差得，．
21．（1）如图3，连接与交于点，则为中点，也为中点，连接，．
因为，所以，又，，是平面内两条相交线，
所以平面，平面，所以．
图3
因为，分别为，中点，所以，因为，所以．
，是平面内两条相交线，所平面．
（2）因为平面，所以平面平面，作，交点为，则平面，
由知，
则，，
如图4，以为原点建立空间直角坐标系，
图4
则，，
设平面的一个法向量，
由，即
取，平面的一个法向量
，
所成角的余弦值为．
22．（1），，由得，
所以，的方程．
（2）法一：设，，
当直线的斜率存在时，设的方程：，与联立方程，得
，，．
，
，
所以
又
，
要为定值，则为定值，
则，，
此时．
当直线的斜率不存在，且，
则，或，，
此时，也满足．
综上，存在满足题意．
法二：设，，
则，
则
，
当，，
即，则，即为定值．