河南省三门峡市灵宝市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（原卷+解析）

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1. 下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．掌握轴对称图形的判断是解题的关键．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故符合题意；
B、是轴对称图形，故不符合题意；
C、轴对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，故不符合题意；
故选：A．
2. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x＞2B. x≠0C. x≠0且x≠2D. x≠2
【答案】D
【解析】
【分析】分式有意义的条件是分母不等于零，据此解答．
【详解】解：由题意得，
解得x≠2，
故选：D．
【点睛】此题考查了分式有意义的条件，熟记解答方法是解题的关键．
3. 下列是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了最简分式，根据最简分式的定义“一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时(即分子与分母互素)叫最简分式”，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、，故A不是最简分式，不符合题意；
B、，故B不是最简分式，不符合题意；
C、是最简分式，符合题意；
D、，故D不是最简分式，不符合题意；
故选：C．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法以及幂的乘方，分式的乘方以及合并同类项的法则，分别进行判断即可．
【详解】解：A. ，故此选项错误，不合题意；
B. ，故此选项错误，不合题意；
C. ，故此选项正确，符合题意；
D. ，不是同类项不能进行合并 ，故此选项错误，不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项法则，以及同底数幂的乘法以及幂的乘方，分式的乘方，解题的关键是要熟练相关的运算法则．
5. 如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小杰在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A、B间的距离可能是（ ）
A. 4米B. 12米C. 16米D. 22米
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系得到，根据的范围判断即可．
【详解】解：如图：连接，
根据三角形的三边关系得：
，
即：，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，能正确运用三角形的三边关系是解此题的关键．
6. 若分式中的x，y都扩大原来的3倍，那么分式的值（ ）
A. 扩大为原来的9倍B. 扩大为原来的3倍
C. 不变D. 缩小到原来的
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查分式的基本性质，x，y都扩大为原来的3倍就是分别变成原来的3倍，变成和．用和代替式子中的x和y，看得到的式子与原来的式子的关系．
【详解】解：用和代替式子中的x和y得：

则分式值不变；
故选：C．
7. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写出几个整式积的形式，进而对各个选项进行分析判断即可．
【详解】解：A. ，本项错误，故不符合题意；
B. ，右边不是整式积的形式，不符合因式分解的定义，故不符合题意；
C. ，符合因式分解的定义，故本项符合题意；
D. ，是整式的乘法，不是分式分解，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义 ，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分，解题的关键是熟记相关的定义．
8. 如图，点在的平分线上，，垂足为，点在上，若，米，则的长度为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查角平分线的性质，含度角的直角三角形，过作于，由角平分线的性质得到米，由含度角的直角三角形的性质得到米．
【详解】解：过作于，
点在的平分线上，，
米，
，，
米．
故选：C．
9. 已知，用尺规作图的方法在上确定一点，使，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．利用等线段代换得到，利用线段的垂直平分线的性质和基本作图进行判断．
【详解】解：、由图可知，则无法得出，故不能得出，故此选项错误；
B、由图可知，则无法得出，故不能得出，故此选项错误；
C、由图可知，则无法得出，故不能得出，故此选项错误；
D、由图可知，故能得出，故此选项正确．
故选：．
10. 在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多30%，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树万棵，由题意得到的方程是（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意给出的等量关系即可列出方程．
【详解】解：设原计划每天植树x万棵，需要天完成，
∴实际每天植树（1+30%）x万棵，需要天完成，
∵提前2天完成任务，
∴-=2，
故选：A．
【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是利用题目中的等量关系，本题属于基础题型．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点关于轴的对称点的坐标是，进而得出答案．
【详解】解：根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，
则点关于轴对称的点的坐标是．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
12. 分式与的最简公分母是 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里． ②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
【详解】解：分式与分母分别是，，所以最简公分母，
故答案为：．
13. 计算： ______．
【答案】81
【解析】
【分析】本题考查的是有理数的混合运算，利用完全平方公式进行计算即可．熟记完全平方公式是解题的关键．
【详解】解：
．
故答案为：．
14. 已知关于x的方程无解，则______．
【答案】6
【解析】
【分析】先将方程转化为整式方程，根据分式方程无解可得到x-2=0，求出x＝2，，代入整式方程即可求得m.
【详解】解：分式方程去分母得：3x-m＝x﹣2，
由分式方程无解得到x﹣2＝0，即x＝2，
代入整式方程得：6-m＝0，即m＝6．
故答案为6.
【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，本体的解题关键是掌握分式方程无解即是把分式方程化成整式方程后，整式方程无解，或把分式方程化成整式方程后，整式方程有解，但这个解使分式方程的分母为0，是增根.
15. 如图，△ABC中，AB=AC＝13，面积65，AD是∠BAC的角平分线，E是AD上的动点，F是AB边上的动点，则BE＋EF的最小值为________．
【答案】10
【解析】
【分析】由题意易得AD⊥BC，BD=DC，过点C作CG⊥AB交AB于点G，根据E是AD上的动点，F是AB边上的动点，要使BE＋EF的和为最小值，只需满足B、E、F三点共线，由轴对称图形的性质及点到直线垂线段最短可得最小值即为CG的长．
【详解】解：AB=AC＝13，AD是∠BAC的角平分线，
AD⊥BC，BD=DC，
过点C作CG⊥AB交AB于点G，根据E是AD上的动点，F是AB边上的动点，要使BE＋EF的和为最小值，只需满足B、E、F三点共线，由轴对称图形的性质及点到直线垂线段最短可得最小值即为CG的长，如图所示：
△ABC面积65，
，
；
故答案为10．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的性质及等腰三角形的性质，关键是根据轴对称图形及等腰三角形的性质得到最短路径，然后根据面积求解即可．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
先计算积的乘方，再计算单项式乘以多项式，然后按多项式除以单项式的计算方法进行解答．
先用平方差公式和完全平方公式进行运算，再合并同类项即可．
【小问1详解】
解：


．
【小问2详解】
解：

．
17. 分解因式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
（1）先利用平方差公式，再利用提公因式法继续分解即可解答；
（2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
【小问1详解】
解：


；
【小问2详解】
解：

．
18. 先化简，再求值：，再从0，1，2中选择一个合适的值代入求值．
【答案】，
【解析】
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则．
19. 解下列分式方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）分式方程的解是；
（2）分式方程无解．
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可；
方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
【小问1详解】
解：，
方程两边都乘，得，
，
，
，
检验：当时，，
所以分式方程的解是；
【小问2详解】
解：，
方程两边都乘，得，
，
，
，
，
检验：当时，，
所以是增根，
即分式方程无解．
20. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．
（1）作出关于轴对称的；其中，，分别是，，的对应点，不写画法．
（2）直接写出，，三点的坐标．
【答案】（1）图形见解析；
（2），，．
【解析】
【分析】本题主要考查作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
分别作出三个顶点关于轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；
根据所作图形可得各顶点坐标．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：由图可知，，，．
21. 在全民健身运动中，骑行运动颇受人民青睐．甲、乙两骑行爱好者约定从地沿相同路线骑行去距离30千米的地，已知甲骑行的平均速度是乙骑行平均速度的倍，若乙先骑行20分钟，然后甲从地出发，则甲、乙恰好同时到达地，求甲骑行的平均速度是每分钟多少千米？
【答案】甲骑行的平均速度为每分钟千米
【解析】
【分析】设乙骑行的平均速度为每分钟千米，则甲骑行的平均速度为每分钟千米，根据题意列出分式方程求解并检验即可．
【详解】解：设乙骑行的平均速度为每分钟千米，则甲骑行的平均速度为每分钟千米，
根据题意，得 ，
解得，
经检验是原方程的根，且符合题意，
（千米/分），
甲骑行的平均速度为每分钟千米．
【点睛】本题考查分式方程的实际应用，理解题意，准确建立分式方程，并注意求解之后要检验是解题关键．
22. 如图，，，点在边上，，和相交于点．
（1）求证：≌；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查全等三角形，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
根据全等三角形的判定即可判断≌；
由可知：，，根据等腰三角形的性质即可知的度数，从而可求出的度数
【小问1详解】
证明：和相交于点，
．
在和中，，
．
又，
，
．
在和中，
，
≌．
【小问2详解】
解：≌
≌
23. （1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接．
①的度数为______；
②线段之间的数量关系为______；
（2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数．
【答案】（1）①；②相等；（2）；，理由见详解；（3）．
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质，可得，然后证明，从而可证明，再利用全等三角形的性质，①、②即可求解；
（2）类似（1）中方法，证明，得出，根据等腰直角三角形的性质得到，即可得到线段之间的数量关系；
（3）根据解答即可．
【详解】（1）解：如图①所示，
和都是等边三角形，
，
，
，
在与中，
，
，
，点B、D、E在同一条直线上，
，
，
故①的答案为：；
②的答案为：相等；
（2）解：如图②所示，
和都是等腰直角三角形，，
，
，
，
在与中，
，
，
，点B、D、E在同一条直线上，
，
，
，
都是等腰直角三角形，，
，
，
，
的度数为，线段之间的数量关系为：；
（3）解：根据（1）（2）中结论可知：，得，
和都是等腰三角形，，
，
，
，
．
【点睛】此题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练而灵活运用这些性质解决问题是解答此题的关键．