湖南省长沙市湖南师大附中凌云中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（原卷+解析）

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注意事项：
1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚；2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示；4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁；5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸．
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，进而得出答案．
【详解】A、不是轴对称图形，故A错误；
B、不是轴对称图形，故B错误；
C、是轴对称图形，故C正确；
D、不是轴对称图形，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的判断问题，掌握轴对称图形的定义以及性质是解题的关键．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，单项式乘单项式，完全平方公式，积的乘方公式，逐一进行计算，判断即可．
【详解】解：A、，选项错误；
B、，选项错误；
C、，选项错误；
D、，选项正确；
故选：D．
3. 碘是人体必需的微量元素之一，在人的身体成长、发育过程中起着至关重要的作用．已知碘原子的半径约为，数字用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：数字用科学记数法表示为．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 下列各式中是二次根式的是（ ）
A. B. C. D. （x＜0）
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的定义逐一判断即可．
【详解】A、的根指数为3，不是二次根式；
B、的被开方数﹣1＜0，无意义；
C、的根指数为2，且被开方数2＞0，是二次根式；
D、的被开方数x＜0，无意义；
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式的定义：形如（a≥0）叫二次根式．
5. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定，先分析已知条件，再根据三角形的判定方法逐项判断即可，掌握，和等判定方法是解题的关键．
【详解】解：由图可得和中，有一条公共边，有一组对角相等，
A选项，添加后，满足两组对边相等，一组对角相等，但该组对角不是两组对边的夹角，无法判定；
B选项，添加后，满足两组对边相等，且两组对边的夹角相等，根据可判定；
C选项，添加后， 满足一组对边相等，两组对角相等，根据可判定；
D选项，添加后， 满足一组对边相等，两组对角相等，根据可判定；
故选A．
6. 如图，，，的垂直平分线交于点D，那么的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据等腰三角形内角和定理得出的度数，再由中垂线的知识得出为等腰直角三角形，可得出的度数．
【详解】解：根据题意，在中，，，
∴，
又的垂直平分线交于点D，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的性质、垂直平分线的性质．关键是掌握等腰三角形的性质．
7. 如图，在中，，平分，过点D作，若，，则的长为（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，，，
∴，
故选：C．
【点睛】此题考查角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
8. 解方程去分母，两边同乘后的式子为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式方程的解法，两侧同乘化简分式方程即可．
【详解】解：解方程去分母，两边同乘后的式子为：，
故选：B．
【点睛】本题考查了解分式方程时去分母，找到分式方程的公分母是解题的关键．
9. 如图，等边的边长为，是的边上的高，过点作于点，则的长是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质以及含度角的直角三角形的性质得出，根据，即可求解．
【详解】解：∵等边的边长为，是的边上的高，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含度角的直角三角形的性质，掌握含度角的直角三角形的性质是解题的关键．
10. 如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个大小相同的长方形两边长，观察图案及以下关系式：；；；其中正确的关系式的个数有
A 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据长方形的长和宽，结合图形进行判断，即可得出选项．
【详解】①x-y等于小正方形的边长，即x-y=n，正确；
②∵xy为小长方形的面积，
∴，
故本项正确；
③x2-y2=（x+y）（x-y）=mn，故本项正确；
④x2+y2=（x+y）2-2xy=m2-2×=，故本项错误．
则正确的有3个．
故选C．
【点睛】本题考查了整式的混合运算以及因式分解的应用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力．
二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 如果代数式有意义，那么x的取值范围是________．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：由题意可知：，
且，
故答案为：且．
12. 凌云中学数学组开展学生的剪窗花活动，小敏同学将剪好的兔子放在适当的平面直角坐标系中．若兔子两只耳朵上的点与点恰好关于y轴对称，则的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于y轴对称的点的特点：横坐标互为相反数，纵坐标相同，求出的值，进而求出代数式的值即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故答案为：．
13. 因式分解：__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用提公因式法和平方差公式进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用公式因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
详解】解：，
故答案为：．
14. 若，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查偶次方和二次根式的非负性，求一个的数的算术平方根，先根据非负性求出的值，进而代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：5．
15. 如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P，连接并延长交于点D，若，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查基本作图—作角平分线，含30度角的直角三角形，等腰三角形的判定和性质，根据题意，得到平分，进而得到，利用含30度角的直角三角形的性质以及等角对等边得到，即可．
【详解】解：∵，
∴，
由题意，得：平分，
∴，
∴，
在中，，
∴；
故答案为：．
16. 如图，直角中，，，点在上，过点作，垂足为，当为等腰三角形时，的度数为__________．

【答案】或或
【解析】
【分析】先求解，，再分三种情况讨论：当时，当，当，结合等腰三角形的性质与平角的定义可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
当时，
∴，
∴，
当，
∴，
∴，
∴，
当，
∴，
∴．
综上：当为等腰三角形时，的度数为，，．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查的是垂直的定义，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键．
三．解答题（共9小题，17,18,19每小题6分，20,21每小题8分，22,23每小题9分，24,25每小题10分，共72分）
17. 计算：．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算．先化简各数，再根据混合运算法则，进行计算即可，掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．
【详解】解：原式．
18. 某小区有一块长为()米,宽为()米的长方形地块(如图所示)，物业公司计划将中间修建一小型喷泉,然后将周围(阴影部分)进行绿化;
(1)应绿化的面积是多少平方米?
(2)当时求出应绿化的面积.
【答案】（1）；（2）63.
【解析】
【分析】（1）依据应绿色的面积=矩形面积-正方形面积列式计算即可；
（2）将a=3，b=2代入化简后的结果，最后，依据有理数的运算法则进行计算即可.
【详解】(1) 依题意得：绿化的面积=
答：绿化的面积为（）平方米；
(2) 当时，
平方米
答：当时应绿化的面积为63平方米.
【点睛】本题考查了阴影部分面积的表示和多项式的乘法，完全平方公式，准确列出阴影部分面积的表达式是解题的关键.
19. 如图，在四边形中，平分，点E在线段上，，．
（1）求证：；
（2）当时，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．
（1）由平分．得出，结合已知条件即可证明；
（2）根据全等三角形的性质得出，，根据三角形的内角和定理即可求解．
【小问1详解】
证明：∵平分，
∴，
∵，，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
20. （1）化简求值：，其中．
（2）解方程：
【答案】（1），（2）无解
【解析】
【分析】（1）本题考查分式的化简求值，根据分式的混合运算法则进行化简，再代值计算即可；
（2）本题考查解分式方程，去分母将分式方程转化为整式方程，求解后，检验即可．
【详解】解：（1）原式
；
当时，原式；
（2）方程两边同乘，得：，
解得：，
检验：当时，，
∴是原方程的增根，舍去；
∴原方程无解．
21. 某学校要对教室环境进行美化，准备购买A，B两种花卉装饰．已知1盆A种花卉比1盆B种花卉便宜5元；用300元购买A种花卉与用360元购买B种花卉的数量相等．
（1）求A，B两种花卉的单价各是多少元：
（2）该学校准备购买A，B两种花卉共200盆，所需费用不超过5600元，那么至少购买A种花卉多少盆．
【答案】（1）A，B两种花卉的单价分别是25元和30元
（2）至少购买A种花卉80盆
【解析】
【分析】（1）设A种花卉的单价是元，则B种花卉的单价是元，利用数量总价单价，结合用300元购买A种花卉与用360元购买B种花卉的数量相等列出等式，解出的值．
（2）设购买A种花卉盆，则购买B种花卉盆，根据总价单价数量，结合所需费用不超过5600元，列出不等式求出最小值．
【小问1详解】
解：设A种花卉的单价是元，则B种花卉的单价是元，根据题意，
得，
解得，
经检验是所列方程的解．
．
答：A，B两种花卉的单价分别是25元和30元．
【小问2详解】
解：设购买A种花卉盆，则购买B种花卉盆，
根据题意，得，
解得．
答：至少购买A种花卉80盆．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用．找出等量关系是解题的关键．
22. 中，，平分，垂足为点E．连接，交于点F．
（1）证明．
（2）求的周长；
（3）求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）12
（3）9
【解析】
【分析】（1）利用条件证明，利用等腰三角形的三线合一的性质可证明结论；
（2）由勾股定理可求得的长，再利用（1）的结论可求得，且，可求得的周长；
（3）根据勾股定理求出，再利用面积公式求解即可．
【小问1详解】
证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，

∴，
∴，
∵平分，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即的周长为12；
【小问3详解】
解：由（2）知，
在中，，
又，
∴，
解得，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理、三角形的面积公式，正确理解题意、灵活运用相关的性质和定理是解题的关键．
23. 对x，y定义一种新运算T，规定T（x，y）=（其中a，b是非零常数，且x+y≠0），这里等式右边是通常的四则运算．
如：T（3，1）=，T（m，﹣2）=．
（1）填空：T（4，﹣1）= （用含a，b的代数式表示）；
（2）若T（﹣2，0）=﹣2且T（5，﹣1）=6．
①求a与b的值；
②若T（3m﹣10，m）=T（m，3m﹣10），求m的值．
【答案】（1） ；（2）①a=1,b=-1,②m=5．
【解析】
【分析】（1）根据题目中的新运算法则计算即可；
（2）①根据题意列出方程组即可求出a,b的值；
②先分别算出T（3m﹣10，m）与T（m，3m﹣10）的值，再根据求出的值列出等式即可得出结论.
【详解】解：（1）T（4，﹣1）=
=；
故答案为；
（2）①∵T（﹣2，0）=﹣2且T（5，﹣1）=6，
∴
解得
②解法一：
∵a=1，b=﹣1，且x+y≠0，
∴T（x，y）===x﹣y．
∴T（3m﹣10，m）=3m﹣10﹣m=2m﹣10，
T（m，3m﹣10）=m﹣3m+10=﹣2m+10．
∵T（3m﹣10，m）=T（m，3m﹣10），
∴2m﹣10=﹣2m+10，
解得，m=5．
解法二：由解法①可得T（x，y）=x﹣y，
当T（x，y）=T（y，x）时，
x﹣y=y﹣x，
∴x=y．
∵T（3m﹣10，m）=T（m，3m﹣10），
∴3m﹣10=m，
∴m=5．
【点睛】本题关键是能够把新运算转化为我们学过的知识，并应用一元一次方程或二元一次方程进行解题..
24. 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．

图1 图2
（1）若要拼出一个面积为的长方形，则需要A号卡片___________张，B号卡片___________张，C号卡片___________张．
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：之间的等量关系___________；
（3）根据得出的等量关系，解决如下问题：已知．求的值．
【答案】（1）3，2，7
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积问题，完全平方公式的几何背景，以及利用完全平方公式进行变形求值．掌握数形结合的思想，是解题的关键．
（1）求出的结果，根据长方形的面积公式，进行判断即可．
（2）利用大正方形的面积等于两个长方形的面积加上两个正方形的面积，即可得出结果；
（3）利用完全平方公式变形求值即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴要拼出一个面积为的长方形，则需要A号卡片3张，B号卡片2张，C号卡片7张；
故答案为：3，2，7；
【小问2详解】
由图可知：大正方形的面积等于两个长方形的面积加上两个正方形的面积，即：；
故答案为：；
【小问3详解】
∵，，
∴，
∵
；
∴．
25. 如图1，，以B点为直角顶点在第二象限作等腰直角．
图1 图2
（1）求C点的坐标；
（2）在y轴右侧的平面内是否存在一点P，使与全等？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点E为y轴正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角，过M作轴于N，求出的值．
【答案】（1）
（2）存在，P的坐标是或
（3）1
【解析】
【分析】作轴于E，证，推出，，即可得出答案；
分为两种情况，画出符合条件的图形，构造直角三角形，证三角形全等，即可得出答案；
作轴于F，证，求出，即可得出答案．
【小问1详解】
解：作轴于E，如图1，
，，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
即，
．
【小问2详解】
存在一点P，使与全等，
分为2种情况：
①如图4，过C作轴于M，过P作轴于E，
则，
，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，，
即P的坐标是；
②如图5，过P作轴于E，
，
，，
则，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
即P的坐标是，
综合上述：符合条件的P的坐标是或．
【小问3详解】
如图6，作轴于F，
则，
，，
，
和中
，
，
，，
轴，轴，
，
四边形是长方形，
，
．
【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰三角形性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，以及数形结合和分类讨论的思想．