福建省莆田砺志学校2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份福建省莆田砺志学校2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，将绕点旋转后得到，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
3．如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是( ).
A．B．C．D．
4．若反比例函数的图象在各自象限内，y随x的增大而减小，则k的值可能是（ ）
A．B．5C．0D．
5．将抛物线向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
6．若，相似比为，的周长为10，则的周长是（ ）
A．5B．10C．15D．20
7．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点在半圆上，点的读数分别为，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（ ）

A．cmB．cmC．cmD．1cm
9．如图为某公园中的滑梯，为台阶，为滑道，立柱，垂直于地面，与地面的夹角为，与地面的夹角为，若米，则滑道的长度为（ ）
A．米B．米C．米D．米
10．已知抛物线与轴的交点为和，点，是抛物线上不同于的两个点，记的面积为，的面积为，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
二、填空题
11．已知点和点关于原点对称，则 ．
12．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
13．乌鲁木齐市林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该市这种树苗移植成活情况进行了调查统计，并绘制了统计图，根据统计图提供的信息，估计该树苗成活的概率为 ．
14．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则使的的取值范围是 ．
15．中国扇文化有着深厚的民族文化底蕴．如图，一扇形纸扇长为，贴画部分的宽为．该纸扇完全打开后，扇子外侧和所成的角为，则贴画一面的面积为 （结果保留）．
16．如图，正方形的边长为，点G是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，当最小时，的长是 ．
三、解答题
17．．
18．解方程：．
19．某市为减少汽车尾气污染，改善空气质量，鼓励市民选择新能源汽车作为出行的交通工具，并大力推进新能源汽车充电基础设施建设．据统计，该市2020年新建100座充电站，2022年新建169座．求该市这两年新建充电站的数量的年平均增长率．
20．如图，在△ABC中，点D在AB边上，且AD:AB=2:3．
（1）在AC边求作点E，使AE:AC=2:3；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若△ABC的周长为12，求△ADE的周长．
21．随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷，现有“微信”、“支付宝”、“银行卡”和“现金”四种支付方式．
(1)若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”的概率是___________；
(2)在一次购物中，小明和小刚都想从“A：微信”、“B：支付宝”和“C：银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用列表或画树状图的方法求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
22．如图，为的直径，点C在外，的平分线与交于点D，．
(1)与有怎样的位置关系？请说明理由；
(2)若，求的长．
23．某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．

(1)如图2，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式示．
(2)如图3，为了测量广场上空气球离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点分别测得气球的仰角为，为，地面上点在同一水平直线上，，求气球离地面的高度．（参考数据：，）
24．如图（1），在矩形中，．
(1)____；
(2)若点P是线段上一点，当是等腰三角形时，求的长；
(3)如图（2），点E是边上一点，且，则：①=_____；
②如图（3）分别以为边作矩形，若，求的长．
25．已知，抛物线y=x2+(2m－1)x－2m(－(1)若抛物线与y轴交点的纵坐标为－3，试求抛物线的顶点坐标；
(2)试证明：抛物线与直线l必有两个交点；
(3)若抛物线经过点(x0，－4)，且对于任意实数x，不等式x2+(2m－1)x－2m≥－4都成立； 当k－2≤x≤k时，批物线的最小值为2k+1. 求直线l的解析式.
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选∶D．
2．A
【分析】根据旋转后对应角相等来确定所求角的角度．
【详解】∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转后得到△A'OB'，
∴
故选A
【点睛】本题考查的是旋转的性质，能从图形中准确的找出旋转角是关键．
3．C
【分析】从正面看几何体，确定出主视图即可．
【详解】解：几何体的主视图为：，
故选：C．
【点睛】此题考查了简单组合体的三视图，主视图即为从正面看几何体得到的视图．
4．B
【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小是解答此题的关键．
【详解】解：∵反比例函数的图象在各自象限内，y随x的增大而减小，
∴，
解得：，
符合要求的只有5，
故选B
5．C
【分析】直接根据二次函数的平移规律，作答即可．
【详解】解：将抛物线向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为，
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式(a，b，c为常数，)，“左加右减括号内，上加下减括号外”，熟练掌握这一规律是解答本题的关键．
6．D
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键在于熟知相似三角形的周长之比等于相似比．
【详解】解：∵，相似比为，
∴的周长与的周长之比为，
∵的周长为10，
∴的周长是20，
故选D．
7．D
【分析】此题考查了圆周角定理，熟知圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半是解题的关键．
根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半，从而可求得的度数．
【详解】解：如图所示：
设量角器的中心为O，连接，
由题意可知：，
根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半，
即
根据量角器的读数方法得：．
故答案为：D．
8．A
【分析】根据正六边形的内角度数可得出，再通过解直角三角形即可得出的值，进而可求出的值，此题得解．
【详解】正六边形的任一内角为，
（如图），

，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了正多边形以及解直角三角形，牢记正多边形的内角度数是解题的关键．
9．A
【分析】本题考查了解直角三角形，由题意得：，，，，在中，求出，在中，，由此即可得解，求出的长是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：，，，，
在中，，米，
，
米，
在中，，，
，
，
故选：A．
10．C
【分析】判断一个命题正确与否，只要举出一个反例便可确定，因此，不妨假设，结合二次函数的图象与性质逐项判断即可得出答案．
【详解】解：不妨假设，
如图，、满足 ，

，
，故A错误；
当，时，满足，则，故B错误；
，
、在轴的上方，且离轴的距离比离轴的距离大，
，故C正确；
如图，、满足，但，故D错误，不符合题意；

故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象上的点的特征等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，难度较大．
11．3
【分析】直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是，进而得出答案．
【详解】解：∵点和点关于原点对称，
∴，
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，解题的关键是正确掌握横纵坐标的符号关系．
12．2
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
【详解】是一元二次方程的两个实数根，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：如果是方程的两根，那么，．
13．0.9
【分析】结合统计图，利用频率去估计概率即可．
【详解】解：由统计图可知，该树苗成活的频率在0.9附近摆动，
∴估计该树苗成活的概率为0.9，
故答案为：0.9．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
14．
【分析】根据对称轴求得抛物线与轴的另一个交点，进而结合图形即可求解．
【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，与轴交于点，
∴抛物线与轴的另一个交点为，
∴使的的取值范围是：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，图像法求不等式的解集，数形结合是解题的关键．
15．
【分析】根据扇形的面积公式，利用以为半径的扇形面积与以为半径的扇形面积之差进行计算．
【详解】，
故答案为：
【点睛】结合已知条件，根据以为半径的扇形面积与以为半径的扇形面积之差即为贴画一面的面积列式计算即可．
16．/
【分析】本题主要考查了翻折的性质，正方形的性质，勾股定理．由翻折知，得点在以为圆心，为半径的圆上运动，可知当点、、三点共线时，最小，再利用勾股定理可得的长，继而解题．
【详解】解：∵正方形的边长为，
∴，，
∵点G是边的中点，
∴，
∵将沿翻折得到，
∴，
∴点在以为圆心，为半径的圆上运动，
∴当点、、三点共线时，最小，
由勾股定理得，,
∴，
故答案为：．
17．
【分析】本题主要考查了乘方、绝对值、特殊角的三角形函数值等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键．
先根据乘方、绝对值、特殊角的三角形函数值化简，然后再计算即可．
【详解】解：
．
18．，
【分析】先计算出，然后代入一元二次方程的求根公式进行求解．
【详解】解：，
，
，
．
【点睛】本题解一元二次方程—公式法：一元二次方程（为常数，）的求根公式为．
19．0.3
【分析】设该市这两年新建充电站的数量的年平均增长率为，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：设该市这两年新建充电站的数量的年平均增长率为，依题意得：
．
解方程，得：，（不合题意，舍去）．
答：该市这两年新建充电站的数量的年平均增长率为0.3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用-增长率问题，理解题意，列出方程是解题的关键．
20．（1）图见解析；（2）8．
【分析】（1）在BC的左侧作∠ADE＝∠B，则DE∥BC，故AE:AC=AD:AB=2:3；
（2）依据∠A＝∠A，∠ADE＝∠B，即可得到△ADE∽△ABC，再根据相似三角形的性质，即可得出△ADE的周长．
【详解】解：（1）如图所示，点E就是所求作的点；
（2）∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠B，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE的周长:△ABC的周长=AD:AB=2:3．
∵△ABC的周长为12，
∴△ADE的周长为8．
【点睛】本题主要考查了复杂作图以及相似三角形的判定与性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据概率公式即可求解；
（2）根据题意列出表格，再根据概率公式即可求解．
【详解】（1）解：若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”支付方式的概率为，
故答案为；
（2）解：所有可能出现的结果列表如下：
由表可知共有9种可能出现的结果，其中选择方式相同的有3种，
【点睛】此题主要考查概率，解题的关键是根据题意列出表格，再利用概率公式求解．
22．(1)相切，理由见解析
(2)
【分析】（1）连接，只需证明即可；
（2）由（1）中的结论可得，可求得弧的圆心角度数，再利用弧长公式求得结果即可．
【详解】（1）相切．理由如下：
连接，
∵是的平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴与相切；
（2）若，可得，
∴，
又∵，
∴，
∴的长．
【点睛】此题主要考查圆的切线的判定、等腰三角形的性质及圆周角定理的运用．一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．
23．(1)
(2)
【分析】（1）如图所示，铅垂线与水平线相互垂直，从而利用直角三角形中两锐角互余即可得到答案；
（2）根据题意，，在中，，由等腰直角三角形性质得到；在中，，由，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示：

由题意知，
在中，，则，即，
；
（2）解：如图所示：

，
在中，，由等腰直角三角形性质得到，
在中，，
由，
即，
解得，
气球离地面的高度．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，涉及直角三角形性质、等腰直角三角形性质和正切函数测高等，熟练掌握解直角三角形的方法及相关知识点是解决问题的关键．
24．(1)8
(2)4或5或
(3)①；②
【分析】（1）先根据正弦的定义得出，设，再根据勾股定理计算即可；
（2）分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质和勾股定理分别计算即可；
（3）①设，过P作交于N、M，则，通过证明，根据相似三角形的性质可得，，进而证明，再根据相似三角形的性质求解即可；
②连接，记与的交点为O，连接，
先证明，，进而得出，再通过证明，再利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）在矩形中，，，
∴，，
∴设，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
故答案是：8；
（2）由（1）知，，
在矩形中，，
要使是等腰三角形，有三种情况讨论如下：
①当时，；
②当时，，
∵，
∴，
∴，
∴；
③当时，如图（2），过点D作于Q，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上，的值为4或5或；
（3）①设，如图（3），过P作交于N、M，则．
∴，
∴，
∴，即
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴
故答案是：；
②如图（3），连接，记与的交点为O，连接，

∵四边形和是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在矩形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了相似的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质和勾股定理等，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线，运用分类讨论的思想是解题的关键．
25．（1）y=x2+2x－3，顶点(－1，－4)；（2）详见解析；（3）y =－3 x +7或y =(1+2)x +3+2
【分析】（1）由抛物线与y轴交点的纵坐标为－3，求得m的值，再把抛物线的解析式进行配方即可得到抛物线的顶点坐标；
（2）根据抛物线与直线的方程联立，证明其方程有两个不同的根即△＞0即可；
（3）依题意可知y最小值=－4，求出m＝，此时抛物线的对称轴为直线 x＝－1，再分三种情况结合函数的图象求出k的值即可得出结论.
【详解】（1）∵－2m=-3,
∴2m=3，
∴抛物线：y= x2+(2m－1)x－2m =x2+2x－3=( x +1)2－4，
∴顶点坐标为：(－1，－4)
（2）抛物线：y=x2+(2m－1)x－2m
直线：y=(k－1)x+2m－k+2.
x2+(2m－k)x－4m+k－2=0
△=(2m－k)2－4(－4m+k－2)= (2m－k)2+16m－4k+8
＝(2m－k)2+4(2m－k)+8m+4
=(2m－k+2)2+8m+4
∵m>－， (2m－k+2)2≥0
∴△>0，抛物线与直线l必有两个交点.
（3）依题意可知y最小值=－4
即：=－4，m＝或m＝－
∵－∴m＝，此时抛物线的对称轴为直线 x＝－1
①当k≤－1时，抛物线在k－2≤x≤k上，图象下降，y随x增大而减小.
此时y最小值= k2+2k－3
∴ k2+2k－3=2k+1
解得：k1＝2>－1（舍去），k2＝－2
②当k－2<－1∴ 2k+1=－4
∴解得：k=－<－1 (舍去)·
③当k－2≥－1，即k≥1时，抛物线在k－2≤x≤k上，图象上升，随增大而增大，
此时y最小值= (k－2)2+2 (k－2)－3
(k－2)2+2 (k－2)－3=2k+1，
解得：k1＝2+2 ，k2＝2－2<1 (舍去)，
综上所述，直线：y =－3 x +7或y =(1+2)x +3+2
【点睛】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，难度适中．掌握配方法是解题的关键．
A
A