安徽省2022_2023学年高二数学上学期期中复习试题含解析

这是一份安徽省2022_2023学年高二数学上学期期中复习试题含解析，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如图，在平行六面体中，与的交点为．设，，则下列向量中与相等的向量是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量线性运算即可求得结果.
【详解】几何体为平行六面体，各个面均为平行四边形，
为，中点，
.
故选：A.
2. 已知双曲线的离心率为，若点与点都在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（）
AB.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，列出方程组，结合离心率的意义求出作答.
【详解】由点在双曲线上，得，
则，即，整理得，解得或，
当时，，此时方程无解，
当时，，而，解得，
所以该双曲线的渐近线方程为.
故选：B
3. 已知实数、满足，的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设为圆上的任意一点，将转化为点P到直线的距离和点P到原点的距离比值的2倍，利用数形结合法求解.
【详解】如图所示：
设为圆上的任意一点，
则点P到直线的距离为，
点P到原点的距离为，
所以，
设圆与直线相切，
则，解得，
所以的最小值为，最大值为，
所以
所以，
故选：B
【点睛】思路点睛：本题思路是先抽象出的几何意义，再通过数形结合，转化为过原点的圆的切线与直线的夹角的正弦，利用三角函数求解.
4. 对于圆上任意一点，的值与，无关，则当时，的最大值是（）
A. B. 1C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据点到直线的距离公式可得到表示点到直线和直线的距离和的倍，从而可得出当时，的最大值是两平行线间距离的一半.
【详解】因为，
所以表示点到直线和直线的距离和的倍.
所以要使的值与，无关，需圆心到两直线的距离都大于等于半径，
又因为，
所以两平行线和之间的距离为，
所以的最大值是.
故选：C.
5. 已知双曲线的中心在坐标原点，一个焦点在抛物线的准线上，且双曲线的离心率等于，则双曲线的标准方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出双曲线的焦点坐标，再结合离心率求出方程作答.
【详解】抛物线的准线方程为，则双曲线的焦点坐标为，
而双曲线的离心率为，令其实半轴长为，则，即有，虚半轴长，
所以双曲线的标准方程为.
故选：B
6. 平行六面体中，若，则（）
AB. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间向量的运算，表示出，和已知比较可求得的值，进而求得答案.
【详解】在平行六面体中，
有，故由题意可知：，
即，所以，
故选：D.
7. 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上.若点满足且，则的最小值为
A. 3B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【详解】根据题意得：,
由，得，所以.
又因为.
所以.
故选C.
8. 抛物线与的两条公切线（同时与两条曲线相切的直线叫做两曲线的公切线）的交点坐标为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，再联立求解作答.
【详解】设直线与抛物线相切的切点为，
与抛物线相切的切点为，
由求导得：，由求导得：，
则抛物线在点处切线为，即，
抛物线在点处切线为，即，
依题意，，解得，
因此两条公切线方程分别为，，
由，解得，
所以两条公切线的交点坐标为.
故选：C
二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝16，直线l：（2m﹣1）x+（m﹣1）y﹣3m+1＝0．下列说法正确的是（）
A. 直线l恒与圆有两个公共点
B. 圆C被y轴截得的弦长为
C. 直线l恒过定点（2，1）
D. 直线l被圆C截得弦长存在最小值，此时直线l的方程为x﹣2y﹣4＝0
【答案】ABD
【解析】
【分析】AC易得直线过定点判断；B.令求解判断；D.由圆心与定点连线与直线l垂直时，圆C截得弦长最小求解判断.
【详解】直线l：（2m﹣1）x+（m﹣1）y﹣3m+1＝0可化为，
由，解得，所以直线过定点，又，
所以点在圆内，所以直线l恒与圆有两个公共点，故A正确，C错误；
令，得，则，所以圆C被y轴截得的弦长为，故B正确；
由，当圆心与定点连线与直线l垂直时，圆C截得弦长最小，此时直线l的斜率是，则直线方程为，即，故D正确；
故选：ABD
10. 在正方体中，点是底面的中心，则（）
A. 平面B. 与成角为30º
C. D. 平面
【答案】ABC
【解析】
【分析】A.由，得到是平行四边形，从而，再利用线面平行的判定定理判断；B. 根据，得到为所成的角判断；C.由正方体的特征，得到平面判断；D.由判断；
【详解】如图所示：
A.因为，平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，故正确；
B. 因为，所以为所成的角，又平面，则，设棱长为a，则，因为，则，故正确；
C. 因为，所以平面，则，故正确；
D. 因为，，所以不垂直，则与平面不垂直，故错误；
故选：ABC
11. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于两个不同的点，，作，垂足为（）
A. 若，则
B. 以PQ为直径的圆与准线l相交
C. 设，则
D. 过点与抛物线C有且只有一个公共点的直线共有2条
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A：由抛物线的定义，直接求得.即可判断；
对于B：利用几何法判断出以PQ为直径的圆与准线l相切.故B错误；
对于C：利用几何法即可求得.即可判断；
对于D：直接求出过点与抛物线C有且只有一个公共点的直线有3条.
【详解】抛物线的焦点为.因为过点F的直线与抛物线交于两个不同的点，，
对于A：由抛物线的定义，所以当时，.故A正确；
对于B：取PQ的中点E，过E作EF⊥l于F.过作于，由抛物线的定义可得：
.
而EF为梯形中位线，所以，
所以以PQ为直径的圆与准线l相切.故B错误；
对于C：对于抛物线，当x=3时，.
所以.故C正确；
对于D：在过点的直线中，
当斜率不存在时，直线为x=0与抛物线相切，只有一个交点；
当斜率为k时，可设为，与抛物线联立，消去y可得：.
当斜率k为0时，解得，此时直线为y=1与抛物线只有一个交点；
当，只需，解得，此时直线与抛物线相切，只有一个交点.
故D错误.
故选：AC
【点睛】解析几何问题常见处理方法：
（1）正确画出图形，利用平面几何知识简化运算；
（2）坐标化，把几何关系转化为坐标运算．
12. 如图：空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列选项正确的是（）
A. 设点在面内，若的斜率与的斜率之积为，则点的轨迹为双曲线
B. 三棱锥的外接球表面积是
C. 设点在平面内，若点到直线的距离与点到直线的距离相等，则点的轨迹是抛物线
D. 设点在面内，且，若向量与轴正方向同向，且，则最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由得，化简可得轨迹方程可判断；由对称性知球心坐标可设为，求解得的值，进而可求半径，可判断，由已知可得点到的距离与到直线的距离相等，可判断，可求的轨迹方程为，设到的距离为到的距离为，表示出进而计算可得最小值可判断.
【详解】解：对于：设点在面内坐标为，所以，
所以，所以，所以，所以，所以点的轨迹是双曲线去掉两个顶点，故A错误；
对于，因为关于平面对称，所以球心在平面内，又，所以球心在与轴上的坐标互为相反数，设球心坐标为
所以，解得，所以，所以表面积为，故B正确；
对于在平面内，若点到直线的距离即为到的距离，又点到直线的距离与点到直线的距离相等，
所以点到的距离与到直线的距离相等，所以点的轨迹是抛物线；
对于：点在面内，且，又，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，所以，
所以椭圆方程为，设到的距离为到的距离为，
，要使的值最小，则最小，
又，所以，即，
所以，故D正确；
故选：.
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 若双曲线：的焦点坐标为，则实数的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，确定的范围，再列式计算作答.
【详解】依题意，，则，双曲线，而的焦点为，
于是，解得，
所以实数的值为.
故答案为：
14. 已知椭圆的一个焦点为，长轴长为，中心在坐标原点，则此椭圆的离心率为_______．
【答案】##0.6
【解析】
【分析】根据给定条件，利用椭圆离心率的定义计算作答.
【详解】依题意，椭圆的半焦距，长半轴长，
所以该椭圆的离心率.
故答案为：
15. 直线：与圆相交、两点，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，联立方程求出点的坐标，再利用两点间距离公式计算作答.
【详解】由解得或，不妨令，
所以.
故答案为：
16. 直角坐标系xOy中，已知MN是圆C：(x﹣2)2+(y﹣3)2=2的一条弦，且CM⊥CN，P是MN的中点.当弦MN在圆C上运动时，直线l：x﹣y﹣5=0上总存在两点A，B，使得恒成立，则线段AB长度的最小值是_____.
【答案】
【解析】
【分析】
依题意,点P在以C为圆心以1为半径的圆上,要使得∠APB恒成立,则点P在以AB为直径的圆内部,所以AB的最小值为圆的直径的最小值.
【详解】因为P为MN的中点,所以CP⊥MN,
又因为CM⊥CN,所以三角形CMN为等腰直角三角形,所以CP=1,
即点P在以C为圆心,以1为半径的圆上,点P所在圆的方程为(x﹣2)2+(y﹣3)2=1,
要使得∠APB恒成立,则点P所在的圆在以AB为直径的圆的内部,
而AB在直线l：x﹣y﹣5=0上,
C到直线l：x﹣y﹣5=0的距离d.
所以以AB为直径的圆的半径的最小值为r=31,
所以AB的最小值为2r=62.
故答案为：62.
【点睛】本题考查了直线和圆的关系的应用,考查了点与圆的位置关系,圆的性质等,属于难题.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知椭圆C：的离心率为，连接椭圆四个顶点形成的四边形面积为4．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点A（1，0）的直线与椭圆C交于点M, N,设P为椭圆上一点，且O为坐标原点，当时，求t的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【详解】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，先利用离心率、、四边形的面积列出方程，解出a和b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，讨论直线MN的斜率是否存在，当直线MN的斜率存在时，直线方程与椭圆方程联立，消参，利用韦达定理，得到、，利用列出方程，解出，代入到椭圆上，得到的值，再利用，计算出的范围，代入到的表达式中，得到t的取值范围．
试题解析：（1），，即．
又，．
∴椭圆C的标准方程为．
（2）由题意知，当直线MN斜率存在时，
设直线方程为，，
联立方程消去y得，
因为直线与椭圆交于两点，
所以恒成立，
，
又，
因为点P在椭圆上，所以，
即，
又，
即，整理得：，
化简得：，解得或（舍），
，即．
当直线MN的斜率不存在时，，此时，
．
考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系．
18. 设抛物线：的焦点为，是抛物线上横坐标为的点，．
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，为坐标原点，求的面积．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线定义求出p值作答.
（2）求出直线的方程，与的方程联立，再求出三角形面积作答.
【小问1详解】
抛物线：的准线方程为，依题意，，解得，
所以抛物线的方程为.
【小问2详解】
由（1）知，，则直线的方程为，
由消去y得：，解得，，
所以的面积.
19. 已知圆C：，若直线与圆C相切.求：
（1）实数b的值；
（2）过的直线l与圆C交于P、Q两点，如果.求直线l的方程.
【答案】（1）9；（2）
【解析】
【分析】（1）由于直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式可得b的值；
（2）由于，所以直线过圆心，从而可求出直线l的斜率，再利用点斜式求出直线方程.
【详解】解：（1）圆C：的圆心为，半径为2
因为直线与圆C相切，
所以，解得
（2）因为圆的半径为2，弦，
所以直线l过圆心，
所以l的斜率为，
所以直线l的方程为，即
【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，属于基础题.
20. 如图，四边形是平行四边形，，，，，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求点到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【解析】
【分析】（1）取中点，连接，由三角形中位线定理和已知条件可得四边形为平行四边形，所以，由面面平行的判定定理可得平面平面，从而可证得结论；
（2）在中，由余弦定理可得，由勾股定理的逆定理可得，， 由线面垂直的判定定理可证得结论；
（3）点与点到平面的距离相等，令该距离为，则有，即，在中利用余弦定理求出，则可求出，从而可求得结果
【详解】证明：（1）取中点，连接，
因为分别为的中点，
所以∥，
又中点，∥，，而∥，，
所以，∥，
所以四边形为平行四边形，
所以
因为，平面，而平面
所以平面平面
因为平面
所以平面；
（2）在中，，，
所以
故
在中，
从而
因为，平面，平面
所以平面
（3）解：连接交于点，则为的中点，
所以点与点到平面的距离相等，令该距离为，
所以有，即
由（2）知平面，，
所以
在中，
所以，所以
所以点到平面的距离
21. 在长方体中，，分别是，的中点，，，过，，三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）若为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）连接，根据题意证得，结合线面平行的判定定理，即可得证；
（2）设点到平面的距离为，根据，结合锥体的体积公式，即可求解；
（3）以为原点，建立空间直角坐标系，设，根据，根据，求得，得到的长,再由（2）中点到平面的距离，结合直线与平面所成角，即可求解.
【小问1详解】
证明：如图所示，连接，
因为分别为的中点，所以，
又因为，所以，
因为平面,平面，所以平面.
【小问2详解】
解：设点到平面的距离为，
在长方体中，可得平面，且平面，
所以到平面的距离等于到平面的距离，
即三棱锥的高为，
所以，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
所以为等腰三角形，可得边上的高为，
所以，
由，可得，即，
解得，即点到平面的距离为.
【小问3详解】
解：以为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
可得，
设，所以，
因为，所以，解得，
所以，可得，即,
由（2）知，点到平面的距离，
设直线与平面所成角为，可得，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
22. 椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为点、、在椭圆上，且．
（1）求椭圆的方程及直线的斜率；
（2）当时，证明原点是的重心，并求直线的方程．
【答案】（1），；
（2）证明见解析，.
【解析】
【分析】（1）设出椭圆方程，利用给定条件列出方程组求解；再设出点的坐标，利用点差法求解作答；
（2）证明的重心坐标为，确定中点坐标，点差法求出的斜率，即可求解的方程．
【小问1详解】
设椭圆的方程为，则，且，
解得，所以椭圆的方程为；
设，而，则，
由，得，即，
又由，得，
则直线的斜率.
【小问2详解】
当时，由（1）知，点的坐标满足，
而，因此的重心坐标为，所以原点是的重心；
显然线段的中点坐标为，此点在椭圆内，即直线与椭圆必相交，
由（1）知直线的斜率，
所以直线的方程为，即.