2024年高考数学第一轮复习核心考点专题特训 专题3.6 对数与对数函数【原卷版+解析】

这是一份2024年高考数学第一轮复习核心考点专题特训 专题3.6 对数与对数函数【原卷版+解析】，共52页。


【核心素养】
1.以对数函数为载体，考查函数的单调性、待定系数法、换元法等，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．
2. 与不等式、方程等相结合考查函数的图象、单调性、奇偶性，凸显分类讨论思想、数形结合思想的应用及数学运算的核心素养．
3. 与幂函数、指数函数、二次函数、不等式、方程等结合，考查函数的实际应用以及函数性质的综合应用，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．
知识点一
对数及其运算
1.对数的概念
（1）如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
（2）对数的性质：①负数和零没对数；②； = 3 \* GB3 ③；
（3）对数恒等式algaN＝N
2.对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM(n∈R)；
④lgamMn＝eq \f(n,m)lgaM(m，n∈R，且m≠0).
(3)对数的重要公式
①换底公式：lgbN＝eq \f(lgaN,lgab)(a，b均大于零且不等于1)；
②lgab＝eq \f(1,lgba)，推广lgab·lgbc·lgcd＝lgad.
= 3 \* GB3 ③lgaab＝b(a>0，且a≠1)
知识点二
对数函数及其性质
1.概念：函数y＝lgax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
2.对数函数的图象与性质
3.对数函数的图象规律
(1)不管a>1还是0(2)在第一象限内，依图象的分布，逆时针方向a逐渐变小，即a的值越小，图象越靠近y轴．
知识点三
反函数
对数函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
常考题型剖析
题型一：对数的化简、求值
【典例分析】
例1-1. （2022·浙江·统考高考真题）已知，则（ ）
A．25B．5C．D．
例1-2. （2022·天津·统考高考真题）化简的值为（ ）
A．1B．2C．4D．6
例1-3. （2020·全国高考真题（理））已知55<84，134<85．设a=lg53，b=lg85，c=lg138，则（ ）
A．a【规律方法】
1.对数性质在计算中的应用
(1)对数运算时的常用性质：lgaa＝1，lga1＝0.
(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．
2.对数运算的一般思路
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．
(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
【变式训练】
变式1-1. （2020·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
变式1-2. （2023·全国·高三专题练习）若，则的值为（ ）
A．B．3C．4D．
变式1-3. （2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．B．21C．25D．
题型二：对数函数的解析式及其求值
例2-1. （2023·广东东莞·统考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
例2-2.（2023·全国·高三专题练习）写出一个具有性质①②③的函数____________.
①的定义域为；
②；
③当时，.
例2-3.（2023·北京·统考高考真题）已知函数，则____________．
【规律方法】
1.对数函数的解析式同时满足：
①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x.
2.确定对数函数的解析式，常常利用“待定系数法”.
3.涉及对数函数求函数值问题，有时直接将自变量值代入，有时需先求函数的解析式，再求函数值.
【变式训练】
变式2-1. （2006·辽宁·高考真题）设，则______．
变式2-2. （2022秋·北京·高三北京市第十三中学校考开学考试）已知函数，且.则___________；___________.
变式2-3. （2020·全国·高三对口高考）已知，其中且，若，，则___________．
题型三：对数函数的定义域、值域问题
【典例分析】
例3-1．（2023·全国·高三对口高考）函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
例3-2．（2022秋·江苏南京·高三校考阶段练习）已知（且），且.
(1)求a的值及的定义域；
(2)求在上的值域.
【方法技巧】
1.确定对数函数或与对数有关的函数定义域，应注意：（1）对数的真数大于零；（2）对数的底数大于零且不等于1；（3）当涉及多方面要求时，注意求“交集”.
2.对数函数的值域问题，往往利用复合函数的单调性.
【变式训练】
变式3-1. 【多选题】（2023·广东·统考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．当时，的定义域为R
B．一定存在最小值
C．的图象关于直线对称
D．当时，的值域为R
变式3-2.（2023春·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习）函数的定义域为__________．
题型四：对数函数的图象及其应用
【典例分析】
例4-1.（2019浙江高考真题）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
例4-2．（2022秋·福建宁德·高三福建省福安市第一中学校考阶段练习）已知函数且的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（ ）
A．B．2C．1D．
例4-3．（2023·北京顺义·北京市顺义区第一中学校考模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【总结提升】
1.对数函数图象特征：
(1)不管a>1还是0(2)在第一象限内，依图象的分布，逆时针方向a逐渐变小，即a的值越小，图象越靠近y轴．
2.熟记函数图象的分布规律，就能在解答有关对数图象的选择、填空题时，灵活运用图象，数形结合解决．
3．对数值lgax的符号(x>0，a>0且a≠1)规律：“同正异负”．
(1)当01，a>1时，lgax>0，即当真数x和底数a同大于(或小于)1时，对数lgax>0，即对数值为正数，简称为“同正”；
(2)当01或x>1,04．指数型、对数型函数的图象与性质的讨论，常常要转化为相应指数函数，对数函数的图象与性质的问题．
【变式训练】
变式4-1. （2023·安徽安庆·校考一模）函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
变式4-2.（2023·全国·模拟预测）函数在区间上的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
变式4-3.（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考开学考试）已知函数．若，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型五：对数函数的性质及其应用
【典例分析】
例5-1. （2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
例5-2.（2022·天津·统考高考真题）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
例5-3．（2023·全国·高三专题练习）已知，若，且的最大值为，则函数的最小值为______
例5-4. （2022秋·重庆·高三统考阶段练习）已知且，函数有最小值，则的取值范围是___________.
【总结提升】
1.比较函数值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决．涉及对数值，要注意中间量-1、0、1等的运用．
2.应用对数型函数的图象可求解的问题
(1)在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
【变式训练】
变式5-1. （2021·天津·统考高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
变式5-2. （2023·全国·高三专题练习）若函数有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
变式5-3. （2023·全国·高三专题练习）已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
变式5-4.（2023·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）已知函数（且），若对任意，，则实数a的取值范围为________．
题型六：对数函数中的恒成立问题
【典例分析】
例6-1.（2022春·江西宜春·高三校联考阶段练习）若，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________.
例6-2. （2023·全国·高三对口高考）若函数的定义域为，则a的取值范围为__________；若函数的值域为，则a的取值范围为__________.
【规律方法】
1.当对数的真数为二次函数时，“判别式法”常用于解答“恒成立问题”．
2.“分离参数法”、“分离变量法”常用于解答“恒成立问题”.
【变式训练】
变式6-1.（2022·全国·高三专题练习）若关于的不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是______．
变式6-2. （2023·全国·高三专题练习）已知函数的值域为，则的取值范围是______．
题型七：对数函数的综合问题
【典例分析】
例7-1. （2023·河南开封·校考模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例7-2.（2020·全国·统考高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
例7-3.（2022·全国·统考高考真题）若是奇函数，则_____，______．
例7-4.（2023春·山东淄博·高三山东省淄博实验中学校联考阶段练习）已知函数，若函数恰有4个不同的零点，则的取值范围是__________．
【特别提醒】
应用对数函数的图象和性质，解答与对数函数有关问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．
【变式训练】
变式7-1. （2022春·江西抚州·高三临川一中校考期中）已知定义在上的函数满足，函数为偶函数，且当时，，则（ ）
A．B．1C．504D．无法确定
变式7-2. （2023·江西南昌·统考三模）设函数，，若存在实数满足：①；②，③，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式7-3. （2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则（ ）．
A．6B．C．2D．
变式7-4. （2019秋·上海·高三上海市七宝中学校考期末）已知定义在上的函数，设为三个互不相同的实数，满足，则的取值范围为_______.
一、单选题
1．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·广东汕头·统考三模）已知，，，则a，b，c大小为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022秋·江西赣州·高三校联考阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象可能是（ ）．
A．B．
C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
6．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（a＞0，且）的定义域为，值域为．若的最小值为，则实数a的值可以是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
10．（2023·全国·高三专题练习）命题：“”是真命题，则实数的取值范围为________________.
11．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）若函数的图象不过第四象限，则实数a的取值范围为________．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在内的最大值是最小值的两倍，且，则______
专题3.6 对数与对数函数

【核心素养】
1.以对数函数为载体，考查函数的单调性、待定系数法、换元法等，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．
2. 与不等式、方程等相结合考查函数的图象、单调性、奇偶性，凸显分类讨论思想、数形结合思想的应用及数学运算的核心素养．
3. 与幂函数、指数函数、二次函数、不等式、方程等结合，考查函数的实际应用以及函数性质的综合应用，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．
知识点一
对数及其运算
1.对数的概念
（1）如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
（2）对数的性质：①负数和零没对数；②； = 3 \* GB3 ③；
（3）对数恒等式algaN＝N
2.对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM(n∈R)；
④lgamMn＝eq \f(n,m)lgaM(m，n∈R，且m≠0).
(3)对数的重要公式
①换底公式：lgbN＝eq \f(lgaN,lgab)(a，b均大于零且不等于1)；
②lgab＝eq \f(1,lgba)，推广lgab·lgbc·lgcd＝lgad.
= 3 \* GB3 ③lgaab＝b(a>0，且a≠1)
知识点二
对数函数及其性质
1.概念：函数y＝lgax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
2.对数函数的图象与性质
3.对数函数的图象规律
(1)不管a>1还是0(2)在第一象限内，依图象的分布，逆时针方向a逐渐变小，即a的值越小，图象越靠近y轴．
知识点三
反函数
对数函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
常考题型剖析
题型一：对数的化简、求值
【典例分析】
例1-1. （2022·浙江·统考高考真题）已知，则（ ）
A．25B．5C．D．
【答案】C
【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．
【详解】因为，，即，所以．
故选：C.
例1-2. （2022·天津·统考高考真题）化简的值为（ ）
A．1B．2C．4D．6
【答案】B
【分析】根据对数的性质可求代数式的值.
【详解】原式
，
故选：B
例1-3. （2020·全国高考真题（理））已知55<84，134<85．设a=lg53，b=lg85，c=lg138，则（ ）
A．a【答案】A
【解析】
由题意可知、、，，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得.
综上所述，.
故选：A.
【规律方法】
1.对数性质在计算中的应用
(1)对数运算时的常用性质：lgaa＝1，lga1＝0.
(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．
2.对数运算的一般思路
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．
(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
【变式训练】
变式1-1. （2020·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解
【详解】由可得，所以，
所以有，
故选：B.
变式1-2. （2023·全国·高三专题练习）若，则的值为（ ）
A．B．3C．4D．
【答案】A
【分析】由已知对数式可得，从而代入可求出结果
【详解】，，
，
故选：A
变式1-3. （2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．B．21C．25D．
【答案】C
【分析】变换得到，再利用均值不等式计算得到答案.
【详解】，，因为，，故，，
，
当且仅当时，即时等号成立．
所以的最小值为．
故选：C.
题型二：对数函数的解析式及其求值
例2-1. （2023·广东东莞·统考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】D
【分析】结合函数的解析式及对数的运算性质计算即可.
【详解】由题意可得 ，
故选：D.
例2-2.（2023·全国·高三专题练习）写出一个具有性质①②③的函数____________.
①的定义域为；
②；
③当时，.
【答案】（答案不唯一）
【分析】结合函数的定义域、函数的法则和单调性即可求解，满足题意的答案不唯一.
【详解】由①②知，对数函数形式的函数满足要求，又由③知，在定义域上是增函数，故符合题意，
故答案为：（答案不唯一）.
例2-3.（2023·北京·统考高考真题）已知函数，则____________．
【答案】1
【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答.
【详解】函数，所以.
故答案为：1
【规律方法】
1.对数函数的解析式同时满足：
①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x.
2.确定对数函数的解析式，常常利用“待定系数法”.
3.涉及对数函数求函数值问题，有时直接将自变量值代入，有时需先求函数的解析式，再求函数值.
【变式训练】
变式2-1. （2006·辽宁·高考真题）设，则______．
【答案】/0.5
【分析】根据分段函数的解析式，先求出的值，再求的值．
【详解】∵，∴，
∴．
故答案为：．
变式2-2. （2022秋·北京·高三北京市第十三中学校考开学考试）已知函数，且.则___________；___________.
【答案】
【分析】由，得到，求得，结合对数的运算法则，即可求解.
【详解】由题意，函数，因为，即，解得，
所以，
则.
故答案为：； .
变式2-3. （2020·全国·高三对口高考）已知，其中且，若，，则___________．
【答案】4
【分析】依题意得到方程组，即可求出、的值，从而得到函数解析式，再根据分段函数解析式计算可得.
【详解】解：因为，，所以，所以，
所以，
所以，所以；
故答案为：4．
题型三：对数函数的定义域、值域问题
【典例分析】
例3-1．（2023·全国·高三对口高考）函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】列出使函数有意义的不等式组求解即可.
【详解】有意义满足，即，，
解得，
故选：D
例3-2．（2022秋·江苏南京·高三校考阶段练习）已知（且），且.
(1)求a的值及的定义域；
(2)求在上的值域.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据求出参数的值，即可得到函数解析式，再根据对数的真数大于零得到不等式组，即可求出函数的定义域；
（2）由（1）可得，设，，根据二次函数的性质求出的取值范围，从而求出的值域.
【详解】（1）解：由得，即，所以，解得，
所以，
由，解得，故的定义域为；
（2）解：由（1）及条件知，
设，，则当时，，
当时，；当时，，
所以当时，，即，
所以，，
所以在的值域为.
【方法技巧】
1.确定对数函数或与对数有关的函数定义域，应注意：（1）对数的真数大于零；（2）对数的底数大于零且不等于1；（3）当涉及多方面要求时，注意求“交集”.
2.对数函数的值域问题，往往利用复合函数的单调性.
【变式训练】
变式3-1. 【多选题】（2023·广东·统考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．当时，的定义域为R
B．一定存在最小值
C．的图象关于直线对称
D．当时，的值域为R
【答案】AC
【分析】根据对数函数的性质及特殊值一一判断.
【详解】对于A：若，则，则二次函数的图象恒在轴的上方，
即恒成立，所以的定义域为R，故A正确；
对于B：若，则的定义域为，值域为R，没有最小值，故B错误；
对于C：由于函数为偶函数，其图象关于y轴对称，
将该函数的图象向左平移个单位长度即可得到函数的图象，
此时对称轴为直线，故C正确；
对于D：若，则，故的值域不是R，故D错误.
故选：AC
变式3-2.（2023春·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习）函数的定义域为__________．
【答案】
【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域.
【详解】对于函数，有，解得.
故函数的定义域为.
故答案为：.
题型四：对数函数的图象及其应用
【典例分析】
例4-1.（2019浙江高考真题）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.
例4-2．（2022秋·福建宁德·高三福建省福安市第一中学校考阶段练习）已知函数且的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（ ）
A．B．2C．1D．
【答案】B
【分析】令便可得到函数图象恒过点，将点代入幂函数中，解得的解析式，然后计算的值.
【详解】函数中，令，解得，此时，
所以函数y的图象恒过定点，又点P在幂函数的图象上，
所以，解得，所以，
.
故选：B.
例4-3．（2023·北京顺义·北京市顺义区第一中学校考模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】将已知不等式化为，在同一坐标系下作出两个函数的图象，可得不等式的解集．
【详解】由题意，不等式，即，
等价于在上的解，
令，，则不等式为，
在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图所示，
可得不等式的解集为，
故选：B
【总结提升】
1.对数函数图象特征：
(1)不管a>1还是0(2)在第一象限内，依图象的分布，逆时针方向a逐渐变小，即a的值越小，图象越靠近y轴．
2.熟记函数图象的分布规律，就能在解答有关对数图象的选择、填空题时，灵活运用图象，数形结合解决．
3．对数值lgax的符号(x>0，a>0且a≠1)规律：“同正异负”．
(1)当01，a>1时，lgax>0，即当真数x和底数a同大于(或小于)1时，对数lgax>0，即对数值为正数，简称为“同正”；
(2)当01或x>1,04．指数型、对数型函数的图象与性质的讨论，常常要转化为相应指数函数，对数函数的图象与性质的问题．
【变式训练】
变式4-1. （2023·安徽安庆·校考一模）函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据，，结合对数函数与指数函数的单调性判断即可.
【详解】，为定义域上的单调递增函数
，故不成立；
，为定义域上的单调递增函数，
，故C和D不成立.
故选：B.
变式4-2.（2023·全国·模拟预测）函数在区间上的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由选项图形特点，先判断函数的奇偶性，然后再根据和两个区间上函数值的正负即可判断出函数图象.
【详解】因为，且，所以函数为奇函数，故排除A，B．
当时，，，，所以；
当时，，，，所以．故排除D．
故选：C．
变式4-3.（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考开学考试）已知函数．若，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数图象得，则，令，利用对勾函数的图象与性质即可求出其范围.
【详解】由得．根据函数的图象及，
得，，所以．
令，根据对勾函数的图像与性质易得在上单调递增，
所以．故，
故选：C.
题型五：对数函数的性质及其应用
【典例分析】
例5-1. （2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．
例5-2.（2022·天津·统考高考真题）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.
【详解】因为，故.
故答案为：C.
例5-3．（2023·全国·高三专题练习）已知，若，且的最大值为，则函数的最小值为______
【答案】
【分析】根据题意结合基本不等式可得，进而可求，再根据二次函数的最值结合对数函数的单调性分析运算.
【详解】因为，则，当且仅当，即时，等号成立，
所以，则，
故的最大值为，
即，故．
则，
注意到在定义域内单调递减，
可得，，
故当时，取得最大值32，则的取到最小值为．
故答案为：.
例5-4. （2022秋·重庆·高三统考阶段练习）已知且，函数有最小值，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】根据对数函数的性质可得当时函数无最小值，不符合题意；当时，利用基本不等式求出在上的最小值，利用对数函数的性质求出在上的值域为，列出不等式，解之即可.
【详解】当时，x在（0，a）上单调递增，所以值域为（-∞，1），
故函数f（x）无最小值，不符合题意；
当时，上有，
所以，当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为
x在（0，a）上单调递减，所以值域为（1，+∞），
故函数f（x）有最小值只需，即，所.
故答案为：.
【总结提升】
1.比较函数值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决．涉及对数值，要注意中间量-1、0、1等的运用．
2.应用对数型函数的图象可求解的问题
(1)在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
【变式训练】
变式5-1. （2021·天津·统考高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解.
【详解】，，
，，
，，
.
故选：D.
变式5-2. （2023·全国·高三专题练习）若函数有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的性质可得且，则，即可求出的大致范围，再令的根为、且，，，对分两种情况讨论，结合二次函数、对数函数的单调性判断即可；
【详解】解：依题意且，所以，解得或，综上可得，
令的根为、且，，，
若，则在定义域上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，
根据复合函数的单调性可知，在上单调递增，在上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；
若，则在定义域上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
根据复合函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增，所以函数在取得最小值，所以；
故选：A
变式5-3. （2023·全国·高三专题练习）已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】首先求出在上的取值范围，依题意需当时，，分、两种情况讨论，结合对数函数的性质计算可得.
【详解】当时，，函数在上单调递增，
在上单调递减，所以，即；
若函数的值域是，则需当时，．
当时，在上单调递增，
此时，不合题意；
当时，在上单调递减，
此时，即，则，
所以，显然，解得，又，所以．
综上所述，实数的取值范围是．
故选：B
变式5-4.（2023·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）已知函数（且），若对任意，，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【分析】分为两种情况，当时，，只需，当即，令，对求导求出的最大值，即可求出答案.
【详解】当时，，

由图可知，，此时若对任意，
只需，即，即．
当，此时若对任意，
即，所以只需．
令，则，
当单调递增，当单调递减，
．
综上，．
故答案为：.
题型六：对数函数中的恒成立问题
【典例分析】
例6-1.（2022春·江西宜春·高三校联考阶段练习）若，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【分析】分离参数，将恒成立问题转化为函数最值问题，根据单调性可得.
【详解】因为，不等式恒成立，
所以对恒成立.
记，，只需.
因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递减，
所以，所以.
故答案为：
例6-2. （2023·全国·高三对口高考）若函数的定义域为，则a的取值范围为__________；若函数的值域为，则a的取值范围为__________.
【答案】
【分析】第一空，由题意可得对于恒成立，结合判别式小于0即可求得答案；第二空，由题意可得能取到所有正数，结合判别式大于等于0即可求得答案；
【详解】函数的定义域为，则对于恒成立，
故，解得，即；
若函数的值域为，即能取到所有正数，
故，解得或，即，
故答案为：；
【规律方法】
1.当对数的真数为二次函数时，“判别式法”常用于解答“恒成立问题”．
2.“分离参数法”、“分离变量法”常用于解答“恒成立问题”.
【变式训练】
变式6-1.（2022·全国·高三专题练习）若关于的不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】将对任意的恒成立，变为对任意的恒成立，构造函数，，判断其单调性，确定其最值，即可求得答案.
【详解】关于的不等式对任意的恒成立，
则对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
令，，由于是递减函数，递减，
故，是递减函数，
故，
故 ，
故答案为：
变式6-2. （2023·全国·高三专题练习）已知函数的值域为，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】利用基本不等式求出函数的值域，根据题意可知，可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】对任意的，，由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因为函数的值域为，则，
所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
题型七：对数函数的综合问题
【典例分析】
例7-1. （2023·河南开封·校考模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据条件，分析得到函数关于直线对称且在上单调递增，进而将不等式转化为，结合对数函数的图象与性质即可求解.
【详解】由可得：，
则，
所以函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称，
所以函数的图象关于直线对称，
又时，在上单调递增，则在上单调递减，
若，则，
即，所以或，解得：或，
所以实数的取值范围是，
故选：D.
例7-2.（2020·全国·统考高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.
【详解】由得：，
令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，
，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
例7-3.（2022·全国·统考高考真题）若是奇函数，则_____，______．
【答案】 ； ．
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若，则的定义域为，不关于原点对称
若奇函数的有意义，则且
且，
函数为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得，
由得，，
，
故答案为：；．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数为奇函数
[方法三]：
因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．
故答案为：；．
例7-4.（2023春·山东淄博·高三山东省淄博实验中学校联考阶段练习）已知函数，若函数恰有4个不同的零点，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】将看做整体，先求出对应的，再根据方程的解得个数确定对应的的取值范围即可得解.
【详解】令，得或，
画出的大致图象．
设，由图可知，
当或时，有且仅有1个实根；
当或时，有2个实根；
当时，有3个实根．
则恰有4个不同的零点等价于
或或或
解得或．
故答案为：
【特别提醒】
应用对数函数的图象和性质，解答与对数函数有关问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．
【变式训练】
变式7-1. （2022春·江西抚州·高三临川一中校考期中）已知定义在上的函数满足，函数为偶函数，且当时，，则（ ）
A．B．1C．504D．无法确定
【答案】A
【分析】先利用奇函数的性质得到，再利用和得到函数是周期函数，进而可以求解.
【详解】因为函数的定义域为，且，
所以函数是定义在上的奇函数，
所以，解得，
即，；
因为为偶函数，
所以，
即的图象关于对称，
又满足，
所以，
则，，
即函数是周期函数，周期为4，
则.
故选：A.
变式7-2. （2023·江西南昌·统考三模）设函数，，若存在实数满足：①；②，③，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由①，②解出，，解出；结合③转化为线性规划问题解出.
【详解】函数，，
若存在实数满足：①；②，
即，且，则，
则，且，，所以，
又因为③，
则，令，
不防设，，则转化为线性规划问题，
在点处取最小值.
由解得，
代入解得.
故选：.
变式7-3. （2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则（ ）．
A．6B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据函数图象变换，画出图像，找到对称轴，进而数形结合求解即可.
【详解】由函数的图象，经过翻折变换，可得函数的图象，
再经过向右平移1个单位，可得的图象，
最终经过翻折变换，可得的图象，如下图：
则函数的图象关于直线对称，
令
因为函数最小的零点为，且，
故当时，方程有4个零点，
所以，要使函数有6个不同的零点，且最小的零点为,则，或，
所以，关于方程的两个实数根为
所以，由韦达定理得，
故选：B
变式7-4. （2019秋·上海·高三上海市七宝中学校考期末）已知定义在上的函数，设为三个互不相同的实数，满足，则的取值范围为_______.
【答案】
【分析】先判断函数的性质以及图像的特点，设，由图像得是个定值，及的取值范围，即可得出结论．
【详解】解：作出的图像如图：
当时，由，得，
若互不相等，不妨设，
因为，
所以由图像可知，
由，得，
即，即，
则，所以，
因为，
所以，
即，
所以的取值范围是．
故答案为：．
一、单选题
1．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用指数式和对数式的互换得到，，然后利用作差法和基本不等式比较大小即可.
【详解】由已知得，，
又，所以.
故选：D.
2．（2023·广东汕头·统考三模）已知，，，则a，b，c大小为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】a，b，c可以看成分别与，，图象的交点的横坐标，画出图象即可得出答案.
【详解】可以看成与图象的交点的横坐标为，
可以看成与图象的交点的横坐标为，
可以看成与图象的交点的横坐标为，
画出函数的图象如下图所示，

由图象可知，.
故选：D.
3．（2022秋·江西赣州·高三校联考阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】可得函数在上单调递增，不等式的解集等价于的解集，即可求解．
【详解】对于函数，定义域为，
，故为奇函数，
当时，单调递增，根据奇偶性可得在上单调递增，
故不等式的解集等价于的解集，
即，
故选：．
4．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象可能是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】通过函数的定义域与零点个数排除A、B、C选项，分析D选项符合函数的性质.
【详解】令得即，此有方程有两根，故有两个零点，排除A选项；
函数有意义满足解得或，
当时函数无意义，排除B、C选项；
对D选项：函数的定义域符合，零点个数符合，
又∵当与及时，函数单调递增，
结合对数函数的单调性可得函数单调递增，故单调性也符合，所以的图象可能是D；
故选：D
5．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】B
【分析】由换底公式和基本不等式即可求解.
【详解】由知,
结合，以及换底公式可知，
，
当且仅当，，
即时等号成立，
即时等号成立，
故的最小值为，
故选：B.
6．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】对数函数的单调性可比较a、b，再根据基本不等式及换底公式比较b与c的大小关系，由此可得出结论.
【详解】因为，
所以.
因为，所以，所以，所以，所以.
故选：A.
【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：（1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，（2）利用中间值“1”或“0”进行比较，（3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.
7．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用中间值比较大小即可.
【详解】因为，所以，
所以，
又，所以.
故选：B
二、多选题
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】转化为与有且只有交点，作出函数图象，数形结合得到答案.
【详解】方程有且只有一个实根，即与有且只有1个交点，
作出的图象与的图象，如下：
则当时，与有2个交点，
当时，与有且只有1个交点，
故BCD符合条件
故选：BCD
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（a＞0，且）的定义域为，值域为．若的最小值为，则实数a的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根据给定条件，分析判断函数取得最小值0，最大值1的区间在1及左侧可使区间长度最小，再求出a的取值范围作答.
【详解】函数在上单调递减，在上单调递增，，
因为函数在的值域为，则，即，
由，得，则有或，
当时，，有，
当时，，有，
令方程的两个根为，如图，
因此在上函数取得最小值0，最大值1，且最小时，，
于是，解得或，而的最小值为，
则有或，解得或，
所以实数a的值可以是或，即BC满足，AD不满足.
故选：BC
三、填空题
10．（2023·全国·高三专题练习）命题：“”是真命题，则实数的取值范围为________________.
【答案】
【分析】题目转化为，根据对数函数性质计算最值即可.
【详解】当，，
所以，即成立.
则，
当时，，故.
故答案为：.
11．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）若函数的图象不过第四象限，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【分析】作出函数的大致图象，结合图象可得，即可得解.
【详解】函数的图象关于对称，其定义域为，
作出函数的大致图象如图所示，
由图可得，要使函数的图象不过第四象限，
则，即，解得，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：.
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在内的最大值是最小值的两倍，且，则______
【答案】或
【分析】分、两种情况讨论，利用指数函数的单调性可得出关于实数的值，可得出函数的解析式，进而可求得的值.
【详解】当时，函数在内单调递增，
此时函数的最大值为，最小值为，
由题意得，解得，则，
此时；
当时，函数在内单调递减，
此时函数的最大值为，最小值为，
由题意得，解得，则，
此时．
故答案为：或.a>1
0图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0；
当0当x>1时，y<0；
当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
a>1
0图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0；
当0当x>1时，y<0；
当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数