2024年高考数学第一轮复习核心考点专题特训 专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法【原卷版+解析】

这是一份2024年高考数学第一轮复习核心考点专题特训 专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法【原卷版+解析】，共33页。


【核心素养】
1.结合命题的真假判断、大小比较等，考查不等式的性质及其应用，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．
2.考查二次函数的图象和性质，凸显直观想象、数学运算的核心素养．
3.结合“三个二次”间的关系，考查一元二次方程、一元二次不等式的解法，考查转化与化归能力，凸显数学抽象的核心素养．
4.以实际问题为背景，考查应用不等式性质、一元二次不等式、二次函数的图象和性质解决问题的能力，凸显数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养．
知识点一
实数的大小
(1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.
(2)对于任意两个实数a和b，如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b是负数，那么a知识点二
不等关系与不等式
我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，叫做不等式.
知识点三
不等式的性质
(1)性质1：如果a>b，那么b如果bb.
即a>b⇔b(2)性质2：如果a>b，b>c，那么a>c.
即a>b，b>c⇒a>c.
(3)性质3：如果a>b，那么a＋c>b＋c.
(4)性质4：①如果a>b，c>0那么ac>bc.
②如果a>b，c<0，那么ac(5)性质5：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
(6)性质6：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
(7)性质7：如果a>b>0，那么an>bn，(n∈N，n≥2)．
(8)性质8：如果a>b>0，那么eq \r(n,a)>eq \r(n,b)，(n∈N，n≥2)．
知识点四
一元二次不等式的概念及解法
(1)概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
(2)形式：
①ax2＋bx＋c>0(a≠0)；
②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；
③ax2＋bx＋c<0(a≠0)；
④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．
(3)一元二次不等式的解集的概念：
一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.
（4）解一元二次不等式的一般步骤
①化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．
②判：计算对应方程的判别式．
③求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．
④写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．
知识点五
分式不等式的解法
定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x的多项式的不等式称为分式不等式.
eq \f(fx,gx)>0⇔f(x)g(x) >0，eq \f(fx,gx)<0⇔f(x)·g(x)< 0.
eq \f(fx,gx)≥0⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fxgx ≥ 0，,gx≠0.))
⇔f(x)·g(x) >0或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx＝0,gx≠0)).
eq \f(fx,gx)≤0⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx·gx ≤ 0，,gx≠0))⇔f(x)·g(x) <0或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx＝0,gx≠0.))
知识点六
绝对值不等式的解法
1．形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解．
2．形如|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式
(1)绝对值不等式|x|>a与|x|
(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c(c>0)，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c(c>0)．
知识点七
常用结论
1．倒数性质的几个必备结论
(1)a>b，ab>0⇒eq \f(1,a)(2)a<0(3)a>b>0,0eq \f(b,d).
(4)02．两个重要不等式
若a>b>0，m>0，则
(1)eq \f(b,a)eq \f(b－m,a－m)(b－m>0)．
(2)eq \f(a,b)>eq \f(a＋m,b＋m)；eq \f(a,b)0)．
3.如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
常考题型剖析
题型一：用不等式表示不等关系
【典例分析】
例1-1. 用一段长为30的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18,要求菜园的面积不小于216 ,靠墙的一边长为,其中的不等关系可用不等式(组)表示为________.
例1-2．（浙江高考真题）某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少至少达7000万元，则，x 的最小值_______
【规律方法】
用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：
①审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量．找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．
②列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示．
【变式训练】
变式1-1.（2023秋·甘肃酒泉·高一统考期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（ ）
A．且B．且
C．且D．且
变式1-2.（北京高考真题）如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,的机动车辆数如图所示，图中分别表示该时段单位时间通过路段的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则（ ）
A． B． C．D．
题型二：比较数或式子的大小
例2-1.【多选题】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）若，，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
例2-2.（2023·高三课时练习）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：；
（2）设x，，比较与的大小.
【规律方法】
1.比较大小的常用方法
(1)作差法
一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、通分、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．
(2)作商法
一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．
(3)函数的单调性法
将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．
【变式训练】
变式2-1.（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）若，若，则m与n的大小关系是（ ）
A．m＞nB．m＝nC．m＜nD．m≥m
变式2-2.【多选题】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）已知a，b，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则B．若，则
C．D．
题型三：不等式性质的应用
【典例分析】
例3-1.【多选题】（2023·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）如果，那么下列不等式错误的是（ ）
A．B．
C．D．
例3-2．（2023·全国·高三专题练习）设且，，则的范围为_______.
【规律方法】
1．判断不等式的真假．
(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件．
(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
(3)若要判断某结论正确，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，若要说明某结论错误，只需举一反例．
2．证明不等式
(1)要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推证时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
3．求取值范围
(1)建立待求范围的代数式与已知范围的代数式的关系，利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围．
(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．
4．掌握各性质的条件和结论．在各性质中，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的两边同时乘(除)以一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定．
【变式训练】
变式3-1.（2023·全国·高三专题练习）已知，，的取值范围是_______________
变式3-2.（2023·全国·高三专题练习）已知，则的取值范围是__________
题型四：一元二次不等式的解法
【典例分析】
例4-1.（2023·河北张家口·统考二模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
例4-2.（2020·全国·高三专题练习）若不等式的解集是.
(1)求实数的值；
(2)求不等式的解集.
【规律方法】
含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．
(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．
(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式．
(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．
【易错警示】忽视二次项系数的符号致误
【变式训练】
变式4-1.（辽宁高考真题）定义在上的运算：.若不等式对任意实数都成立，则（ ）
A．B．C．D．
变式4-2.（北京高考真题）若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围是____________；若关于x的不等式的解集不是空集，则实数a的取值范围是____________．
题型五：绝对值不等式的解法
【典例分析】
例5-1.（2017天津，文2）设，则“”是“”的（ ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
例5-2．（广东高考真题（理））不等式的解集为 .
【规律方法】
形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：
(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a(2)几何法：利用|x－a|＋|x－b|>c(c>0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|.
(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解．
【变式训练】
变式5-1.（2023·四川成都·成都七中统考模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
变式5-2.（2023·上海崇明·上海市崇明中学校考模拟预测）若集合，则______.
题型六：绝对值不等式的应用
【典例分析】
例6-1.（陕西高考真题）不等式若关于x的不等式存在实数解，则实数的取值范围是_____
【规律方法】
1.两类含绝对值不等式的证明问题
一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．
2.含绝对值不等式的应用中的数学思想
(1)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
(2)利用函数的图象求解，体现了数形结合的思想．
3.求f(x)＝|x＋a|＋|x＋b|和f(x)＝|x＋a|－|x＋b|的最值的三种方法
(1)转化法：转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解.
(2)利用绝对值三角不等式进行“求解”，但要注意两数的“差”还是“和”的绝对值为定值.
(3)利用绝对值的几何意义.
【变式训练】
变式6-1.（2020·陕西省西安中学高二期中（文））若关于x的不等式有实数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．或B．C．D．
一、单选题
1．（河北省2023届高三适应性考试数学试题）若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）下列不等式正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，，，且，则
3．（2023·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·北京海淀·101中学校考模拟预测）已知关于x的不等式的解集是，则下列四个结论中错误的是（ ）
A．
B．
C．若关于x的不等式的解集为，则
D．若关于x的不等式的解集为，且，则
5．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则下列中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
6.（2023·高一课时练习）雷电的温度大约是，比太阳表面温度的倍还要高．设太阳表面温度为，那么应满足的关系式是______．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知正实数满足，求的最小值为___________．
8.（2023·上海徐汇·统考二模）命题“若，则”是真命题，实数的取值范围是__________.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围为________.
10．（2023春·上海·高三上海市实验学校校考阶段练习）若正数，满足，则的最大值为__________．
11．（2023·全国·高一专题练习）已知全集，集合，，则______，______.
三、解答题
12.（2023·全国·高一专题练习）已知函数．
(1)若关于x的不等式的解集为，求a，b的值；
(2)当时，解关于x的不等式．
专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法

【核心素养】
1.结合命题的真假判断、大小比较等，考查不等式的性质及其应用，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．
2.考查二次函数的图象和性质，凸显直观想象、数学运算的核心素养．
3.结合“三个二次”间的关系，考查一元二次方程、一元二次不等式的解法，考查转化与化归能力，凸显数学抽象的核心素养．
4.以实际问题为背景，考查应用不等式性质、一元二次不等式、二次函数的图象和性质解决问题的能力，凸显数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养．
知识点一
实数的大小
(1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.
(2)对于任意两个实数a和b，如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b是负数，那么a知识点二
不等关系与不等式
我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，叫做不等式.
知识点三
不等式的性质
(1)性质1：如果a>b，那么b如果bb.
即a>b⇔b(2)性质2：如果a>b，b>c，那么a>c.
即a>b，b>c⇒a>c.
(3)性质3：如果a>b，那么a＋c>b＋c.
(4)性质4：①如果a>b，c>0那么ac>bc.
②如果a>b，c<0，那么ac(5)性质5：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
(6)性质6：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
(7)性质7：如果a>b>0，那么an>bn，(n∈N，n≥2)．
(8)性质8：如果a>b>0，那么eq \r(n,a)>eq \r(n,b)，(n∈N，n≥2)．
知识点四
一元二次不等式的概念及解法
(1)概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
(2)形式：
①ax2＋bx＋c>0(a≠0)；
②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；
③ax2＋bx＋c<0(a≠0)；
④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．
(3)一元二次不等式的解集的概念：
一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.
（4）解一元二次不等式的一般步骤
①化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．
②判：计算对应方程的判别式．
③求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．
④写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．
知识点五
分式不等式的解法
定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x的多项式的不等式称为分式不等式.
eq \f(fx,gx)>0⇔f(x)g(x) >0，eq \f(fx,gx)<0⇔f(x)·g(x)< 0.
eq \f(fx,gx)≥0⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fxgx ≥ 0，,gx≠0.))
⇔f(x)·g(x) >0或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx＝0,gx≠0)).
eq \f(fx,gx)≤0⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx·gx ≤ 0，,gx≠0))⇔f(x)·g(x) <0或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx＝0,gx≠0.))
知识点六
绝对值不等式的解法
1．形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解．
2．形如|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式
(1)绝对值不等式|x|>a与|x|
(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c(c>0)，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c(c>0)．
知识点七
常用结论
1．倒数性质的几个必备结论
(1)a>b，ab>0⇒eq \f(1,a)(2)a<0(3)a>b>0,0eq \f(b,d).
(4)02．两个重要不等式
若a>b>0，m>0，则
(1)eq \f(b,a)eq \f(b－m,a－m)(b－m>0)．
(2)eq \f(a,b)>eq \f(a＋m,b＋m)；eq \f(a,b)0)．
3.如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
常考题型剖析
题型一：用不等式表示不等关系
【典例分析】
例1-1. 用一段长为30的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18,要求菜园的面积不小于216 ,靠墙的一边长为,其中的不等关系可用不等式(组)表示为________.
【答案】
【解析】矩形菜园靠墙的一边长为,则另一边长为,
即,根据已知得
例1-2．（浙江高考真题）某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少至少达7000万元，则，x 的最小值_______
【答案】20
【详解】把一月份至十月份的销售额相加求和,列出不等式,求解.
七月份:500(1+x%),八月份:500(1+x%)2.
所以一月份至十月份的销售总额为:
3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7000,解得1+x%≤-2.2(舍)或1+x%≥1.2,
所以xmin=20.
【规律方法】
用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：
①审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量．找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．
②列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示．
【变式训练】
变式1-1.（2023秋·甘肃酒泉·高一统考期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（ ）
A．且B．且
C．且D．且
【答案】C
【分析】根据数量关系列不等式，“不超过”不等号为“小于等于”.
【详解】由长、宽、高之和不超过130cm得，由体积不超过得.
故选：C.
变式1-2.（北京高考真题）如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,的机动车辆数如图所示，图中分别表示该时段单位时间通过路段的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【解析】根据每个三岔路口驶入与驶出相应的环岛路段的车辆数列出等量关系，即可比较出大小．
【详解】依题意，有，所以，
同理，，所以，
同理，，所以，
所以．
故选：C．
题型二：比较数或式子的大小
例2-1.【多选题】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）若，，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】利用比差法比较的大小判断A，利用比差法比较的大小判断B，利用基本不等式比较的大小，判断C，举反例判断D.
【详解】因为，，且，
所以，，
对于A：，
当且仅当时等号成立，
所以， A正确；
对于B：，
因为，所以，
所以，即，B错误；
对于C：，
当且仅当时等号成立，又，所以等号不成立，C正确；
对于D：令，，满足条件，，且，
但是，D错误.
故选：AC.
例2-2.（2023·高三课时练习）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：；
（2）设x，，比较与的大小.
【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析
【分析】（1）由不等式的性质即可证明.
（2）要比较与的大小，将两式做差展开化简，得到即可判断正负并比较出结果.
【详解】（1）由a＞b＞0，c＜d＜0，得－c＞－d＞0，a－c＞b－d＞0，从而得.
又a＞b＞0，所以.
（2）因为，当且仅当x＝y时等号成立，
所以当x＝y时，；
当时，.
【规律方法】
1.比较大小的常用方法
(1)作差法
一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、通分、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．
(2)作商法
一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．
(3)函数的单调性法
将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．
【变式训练】
变式2-1.（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）若，若，则m与n的大小关系是（ ）
A．m＞nB．m＝nC．m＜nD．m≥m
【答案】A
【分析】利用作差法分析判断.
【详解】由题意可得：，
∵，则，
∴，即，
故选：A.
变式2-2.【多选题】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）已知a，b，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则B．若，则
C．D．
【答案】BC
【分析】通过举反例可判断A项，通过构造函数研究其单调性可判断B项，运用基本不等式可判断C项，方法1：通过举反例，方法2：作差法可判断D项.
【详解】对于A项，例如，，，满足，，但不满足，故A项不成立；
对于B项，因为,，，所以幂函数在上为增函数，所以，故B项正确；
对于C项，因为，，，所以，当且仅当时等号成立，故C项正确；
对于D项，方法1：当，时，，，则，故D项错误．
方法2：作差法，，
因为，，
所以，
所以，故D项错误．
故选：BC.
题型三：不等式性质的应用
【典例分析】
例3-1.【多选题】（2023·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）如果，那么下列不等式错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】利用不等式的性质，特殊值法即可判定.
【详解】对于A项，因为，所以，故，即A正确；
对于B项，不妨令，显然，即B错误；
对于C项，若，则，即C错误；
对于D项，若，显然D错误.
故选：BCD
例3-2．（2023·全国·高三专题练习）设且，，则的范围为_______.
【答案】
【分析】根据题意整理可得，，分析可得，是方程的两个不等的实根，利用判别式分析运算.
【详解】由且，得，，且①，
又因为，可得②，
由①②可知：，是方程的两个不等的实根，
于是，解得：，
且，则，
则，
所以的范围为.
故答案为：.
【规律方法】
1．判断不等式的真假．
(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件．
(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
(3)若要判断某结论正确，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，若要说明某结论错误，只需举一反例．
2．证明不等式
(1)要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推证时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
3．求取值范围
(1)建立待求范围的代数式与已知范围的代数式的关系，利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围．
(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．
4．掌握各性质的条件和结论．在各性质中，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的两边同时乘(除)以一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定．
【变式训练】
变式3-1.（2023·全国·高三专题练习）已知，，的取值范围是_______________
【答案】
【分析】设，解出，再利用不等式的可加性求解即可得出．
【详解】设，即，
∴，解得.
∴，
∵，∴①，
∵，∴②，
①②，得，即的取值范围.
故答案为：.
变式3-2.（2023·全国·高三专题练习）已知，则的取值范围是__________
【答案】
【分析】先根据求出的范围，利用的范围可得的取值范围.
【详解】因为，所以或，即或；
当时，，所以；
当时，，所以；
故答案为：.
题型四：一元二次不等式的解法
【典例分析】
例4-1.（2023·河北张家口·统考二模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知求出，然后根据补集的运算得出，根据并集的运算求解即可得出答案.
【详解】，，
即，，
所以，，，
所以，.
故选：C.
例4-2.（2020·全国·高三专题练习）若不等式的解集是.
(1)求实数的值；
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知不等式的解集得到的两个实数根为和2，利用韦达定理即可求出的值；
（2）代入的值，由一元二次不等式的求解即可得解．
【详解】（1）依题意可得：的两个实数根为和2，
由韦达定理得：，解得：；
（2）由（1）不等式，
即，解得：，
故不等式的解集是．
【规律方法】
含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．
(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．
(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式．
(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．
【易错警示】忽视二次项系数的符号致误
【变式训练】
变式4-1.（辽宁高考真题）定义在上的运算：.若不等式对任意实数都成立，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】化简得对任意实数都成立，再解不等式即得解.
【详解】不等式可化为，
即对任意实数都成立，
，
解得.
故选：B
变式4-2.（北京高考真题）若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围是____________；若关于x的不等式的解集不是空集，则实数a的取值范围是____________．
【答案】
【分析】根据不等式与方程的关系，分别计算和，解不等式得到答案.
【详解】不等式的解集为，则，解得；
不等式的解集不是空集，即，
故，解得或.
故答案为：；
题型五：绝对值不等式的解法
【典例分析】
例5-1.（2017天津，文2）设，则“”是“”的（ ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】
【解析】，则，，则， ，据此可知：“”是“”的的必要的必要不充分条件，本题选择B选项.
例5-2．（广东高考真题（理））不等式的解集为 .
【答案】.
【解析】
令，则，
（1）当时，由得，解得，此时有；
（2）当时，，此时不等式无解；
（3）当时，由得，解得，此时有；
综上所述，不等式的解集为.
【规律方法】
形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：
(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a(2)几何法：利用|x－a|＋|x－b|>c(c>0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|.
(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解．
【变式训练】
变式5-1.（2023·四川成都·成都七中统考模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出集合、，利用并集的定义可求得集合.
【详解】因为，
由可得且，解得，则，
因此，.
故选：D.
变式5-2.（2023·上海崇明·上海市崇明中学校考模拟预测）若集合，则______.
【答案】
【分析】分别求出集合，由交集的定义即可得出答案.
【详解】或，
，
.
故答案为：.
题型六：绝对值不等式的应用
【典例分析】
例6-1.（陕西高考真题）不等式若关于x的不等式存在实数解，则实数的取值范围是_____
【答案】
【详解】先确定的取值范围，再使得能取到此范围内的值即可．
当时，；
当时，；
当时，；
综上可得，所以只要，解得或，
即实数的取值范围是．
【规律方法】
1.两类含绝对值不等式的证明问题
一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．
2.含绝对值不等式的应用中的数学思想
(1)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
(2)利用函数的图象求解，体现了数形结合的思想．
3.求f(x)＝|x＋a|＋|x＋b|和f(x)＝|x＋a|－|x＋b|的最值的三种方法
(1)转化法：转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解.
(2)利用绝对值三角不等式进行“求解”，但要注意两数的“差”还是“和”的绝对值为定值.
(3)利用绝对值的几何意义.
【变式训练】
变式6-1.（2020·陕西省西安中学高二期中（文））若关于x的不等式有实数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．或B．C．D．
【答案】A
【解析】
分析：
利用绝对值的几何意义求得最小值为，再由不等式有解可得实数的取值范围．
详解：
由于表示数轴上的对应点到和对应点的距离之差，其最小值为，最大值为，
因为关于的不等式有实数解，可得，即，解得或.
故选：A.
一、单选题
1．（河北省2023届高三适应性考试数学试题）若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据集合的交集运算即可求解.
【详解】，，
因此，.
故选：A.
2．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）下列不等式正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，，，且，则
【答案】D
【分析】举例说明选项ABC错误；利用作差法证明选项D正确.
【详解】对于A，当，，时满足，但，所以A错误；
对于B，当，，时，满足，但，所以B错误；
对于C，由不等式的基本性质易知，当，，时满足，，但，所以C错误；
对于D，，所以，故D正确．
故选：D．
3．（2023·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用方程组以及不等式的性质计算求解.
【详解】设，
所以，解得，
所以，
又，
所以，故A，C，D错误.
故选：B.
4．（2023·北京海淀·101中学校考模拟预测）已知关于x的不等式的解集是，则下列四个结论中错误的是（ ）
A．
B．
C．若关于x的不等式的解集为，则
D．若关于x的不等式的解集为，且，则
【答案】C
【分析】利用一元二次不等式的解法与一元二次方程之间的关系以及韦达定理，基本不等式进行求解即可.
【详解】由题意，所以正确;
对于:，当且仅当，即时成立,
所以正确;
对于,由韦达定理，可知，所以错误;
对于,由韦达定理，可知，
则，解得，
所以正确,
故选：.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则下列中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设法构造一个一元二次方程，使以其系数或常数项的形式出现，再由得到不等式.
【详解】由题意可得：
设， 则，
显然，则，
可得就是方程的两个实根，
所以，
则或，解得，
即.
故选：C.
二、填空题
6.（2023·高一课时练习）雷电的温度大约是，比太阳表面温度的倍还要高．设太阳表面温度为，那么应满足的关系式是______．
【答案】
【分析】根据题意可得出关于的不等式，即为所求.
【详解】因为雷电的温度大约是，比太阳表面温度的倍还要高．
所以可得.
故答案为：.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知正实数满足，求的最小值为___________．
【答案】/
【分析】设，将表示成关于的函数后进行求解.
【详解】由已知，可设，
则，
当，即时，取到最小值.
故答案为：.
8.（2023·上海徐汇·统考二模）命题“若，则”是真命题，实数的取值范围是__________.
【答案】
【分析】由解得或，则能推出或成立，即可得出实数的取值范围.
【详解】由可得：，解得：或，
“若，则”是真命题，则能推出或成立，
则.故实数的取值范围是.
故答案为：
9．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围为________.
【答案】
【分析】确定，得到，，根据方程根的关系得到，解得答案.
【详解】，故，
，，
将看成方程的两根，则，
即，故，解得.
故答案为：
10．（2023春·上海·高三上海市实验学校校考阶段练习）若正数，满足，则的最大值为__________．
【答案】
【分析】利用消元法，再结合二次函数的性质即可得解.
【详解】由，得，
则，解得，
则，
所以当，即时，取得最大值.
故答案为：.
11．（2023·全国·高一专题练习）已知全集，集合，，则______，______.
【答案】 或 或
【分析】先由分式不等式求法求解出集合, 结合绝对值不等式解法求出集合 ,然后结合集合的交集与并集运算即可求得答案.
【详解】由 得 ,
整理得 ,
解得 或 , 即 或
因为或 或
所以或;
或.
故答案为：或;或.
三、解答题
12.（2023·全国·高一专题练习）已知函数．
(1)若关于x的不等式的解集为，求a，b的值；
(2)当时，解关于x的不等式．
【答案】(1)，
(2)当时，解集为或，当时，解集为，
当时，解集为或．
【分析】（1）由一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，结合韦达定理解方程组即可；
（2）当时，，即，分类讨论、和三种情况下，即可求出一元二次不等式的解集．
【详解】（1）因为不等式的解集为，
所以，3是的两根，
所以，解得；
（2）当时，，即，
当时，解得或，
当时，解得，
当时，解得或
综上可得，当时，不等式的解集为或，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为或．