2024年高考数学第一轮复习核心考点专题特训 专题3.1 函数的概念及其表示【原卷版+解析】

这是一份2024年高考数学第一轮复习核心考点专题特训 专题3.1 函数的概念及其表示【原卷版+解析】，共43页。

【核心素养】
1.以常见函数为载体，考查函数的定义域，凸显数学运算的核心素养．
2.考查换元法、待定系数法、解方程组法等在求函数解析式中的应用，凸显数学运算的核心素养．
3.与不等式、方程等相结合考查分段函数求值或求参数问题，凸显分类讨论思想的应用及数学运算的核心素养．
知识点一
函数的概念
知识点二
函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.
知识点三
函数的表示方法
1.函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表示．
2.【易混辨析】
（1）判断两个函数是否为相同函数，注意把握两点，一看定义域是否相等，二看对应法则是否相同．
（2）从图象看，直线x=a与图象最多有一个交点.
知识点四
分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.
知识点五
区间的概念
1.一般区间的表示．
设a，b∈R，且a，则函数f(x)=x2+|x-a|的最小值是（ ）
A．a2+1B．a+
C．a-D．a-
变式6-3.（2023·北京·高三专题练习）已知函数的定义域为，且，则的取值范围是_______．
一、单选题
1．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知函数，那么（ ）
A．7B．6C．5D．4
3．（2023春·北京海淀·高三清华附中校考阶段练习）已知函数，对于任意的，总有（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）若函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·陕西商洛·统考一模）若函数满足：，且，则（ ）
A．2953B．2956C．2957D．2960
二、多选题
6．（2022·海南·校联考模拟预测）已知定义在上的函数不恒等于零，同时满足，且当时，，那么当时，下列结论不正确的为（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
7．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）已知函数，则______．
8.（2019·江苏高考真题）函数的定义域是_____.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知，函数的值域为______________
10.（江苏高考真题）已知实数，函数，若，则a的值为________
11．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）已知函数，若对任意实数，总存在实数，使得，则实数的取值范围是___．
四、解答题
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数（）是奇函数．又已知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值．
(1)证明：；
(2)求的解析式；
(3)求在[4，9]上的解析式．
函数
两个集合
A，B
设A，B是两个
非空数集
对应关系
f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a＜x＜b}
开区间
(a，b)
{x|a≤x＜b}
半开半
闭区间
[a，b)
{x|a＜x≤b}
半开半
闭区间
(a，b]
定义
R
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|x时，
函数f(x)=x2+x-a的对称轴方程为x=-，函数在[a，+∞)上单调递增，其最小值为a2；
当x0.
所以a2>a-.
所以函数f(x)=x2+|x-a|的最小值是a-.
故选：D
变式6-3.（2023·北京·高三专题练习）已知函数的定义域为，且，则的取值范围是_______．
【答案】
【分析】由，可知，解不等式即可.
【详解】由，可知，
解得，
故答案为：.
一、单选题
1．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由根式性质求函数定义域得集合B，应用集合交运算求结果.
【详解】由题设，则.
故选：A
2．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知函数，那么（ ）
A．7B．6C．5D．4
【答案】D
【分析】根据分段函数的概念代入解析式计算即可.
【详解】因为，所以，
所以，
故选：D．
3．（2023春·北京海淀·高三清华附中校考阶段练习）已知函数，对于任意的，总有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据解析式，计算，判断A，B，取特殊值判断C，D.
【详解】因为，
所以，A错误，B正确；
又，
所以，C，D错误；
故选：B.
4．（2023·全国·高三专题练习）若函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，即可得解.
【详解】由图象知，的两根为2，4，且过点，
所以，解得，
所以，
所以，
故选：A
5．（2023·陕西商洛·统考一模）若函数满足：，且，则（ ）
A．2953B．2956C．2957D．2960
【答案】A
【分析】法一：利用特殊函数法与待定系数法，求得满足题意的一个函数，代入即可得解.
法二：利用赋值法，得到与，进而利用换元法与作差法得到，由此得解.
【详解】法一：
取，易验证满足．
由，得，解得，
故．
法二：
因为，
令，则，；
令，则，；
两式相减得，
由的任意性，令，得，
所以．
故选：A.
二、多选题
6．（2022·海南·校联考模拟预测）已知定义在上的函数不恒等于零，同时满足，且当时，，那么当时，下列结论不正确的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】令可得，令可得．当时,,根据已知条件得,即，所以.
【详解】对任意,恒有，
令可得，
因为当时,故，所以，
令可得，所以，
当时,,根据已知条件得,即，所以.
故选：ABC.
三、填空题
7．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）已知函数，则______．
【答案】6
【分析】根据分段函数的解析式求解函数值.
【详解】函数，，
.
故答案为：6
8.（2019·江苏高考真题）函数的定义域是_____.
【答案】.
【解析】
由已知得,
即
解得，
故函数的定义域为.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知，函数的值域为______________
【答案】
【分析】由，可得的取值范围，再利用二次函数的单调性与对称轴求出给定区间的函数值域.
【详解】因为，所以，
又，
所以当时，单调递减，，
所以函数的值域为.
故答案为：
10.（江苏高考真题）已知实数，函数，若，则a的值为________
【答案】
【解析】
分当时和当时两种分别讨论求解方程，可得答案.
【详解】
当时，，所以，
解得，不满足，舍去；
当时，，所以解得，满足.
故答案为：.
11．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）已知函数，若对任意实数，总存在实数，使得，则实数的取值范围是___．
【答案】
【分析】首先分析各段函数的单调性，依题意只需函数的值域为，分、两种情况讨论，分别求出函数在各段的最大（小）值，即可得到不等式组，解得即可.
【详解】因为函数在定义域上单调递增，
函数在上单调递减，在上单调递增，
要使对任意实数，总存在实数，使得，即函数的值域为，
当时在上单调递增，在上也单调递增，
则只需，解得；
当时在上的最小值为，则只需要，解得；
综上可得，即实数的取值范围是.
故答案为：
四、解答题
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数（）是奇函数．又已知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值．
(1)证明：；
(2)求的解析式；
(3)求在[4，9]上的解析式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据函数周期性，可得，再结合函数奇偶性即可求得结果；
（2）设出二次函数解析式，结合（1）中结论，求得未知参数，则问题得解；
（3）先求出在的解析式，再结合函数周期性，即可求得结果.
【详解】（1）证明：∵f (x)是以为周期的周期函数，∴，
又∵是奇函数，∴，∴
（2）当时，由题意可设，
由，得，∴，
∴.
（3）根据（2）中所求，可知；又在上是奇函数，故，
故当时，设，则，解得.
故当时，.
又在上是奇函数，故当时，.
综上，则时，.
因为时，.
所以当时，，所以；
当时，，所以，
综上所述，.
函数
两个集合
A，B
设A，B是两个
非空数集
对应关系
f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a＜x＜b}
开区间
(a，b)
{x|a≤x＜b}
半开半
闭区间
[a，b)
{x|a＜x≤b}
半开半
闭区间
(a，b]
定义
R
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|x