压轴小题01 学以致用函数的4大基本性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）-【突破压轴冲刺名校】备战2024年新高考数学二轮复习满分秘籍（江苏专用）

这是一份压轴小题01 学以致用函数的4大基本性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）-【突破压轴冲刺名校】备战2024年新高考数学二轮复习满分秘籍（江苏专用），文件包含压轴小题01学以致用函数的4大基本性质单调性奇偶性周期性对称性原卷版docx、压轴小题01学以致用函数的4大基本性质单调性奇偶性周期性对称性解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。

压轴秘籍
定义域
①分式函数定义域：
②偶次根式函数的定义域：
③次幂型函数的定义域：
④对数函数的定义域：
⑤正切函数的定义域：
单调性
单调性的运算
①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗
②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘
③为↗，则为↘，为↘
④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗
⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘
⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数）
复合函数的单调性
奇偶性
①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提）
②奇偶性的定义：
奇函数：，图象关于原点对称
偶函数：，图象关于轴对称
③奇偶性的四则运算
周期性（差为常数有周期）
①若，则的周期为：
②若，则的周期为：
③若，则的周期为：（周期扩倍问题）
④若，则的周期为：（周期扩倍问题）
对称性（和为常数有对称轴）
轴对称
①若，则的对称轴为
②若，则的对称轴为
点对称
①若，则的对称中心为
②若，则的对称中心为
周期性对称性综合问题
①若，，其中，则的周期为：
②若，，其中，则的周期为：
③若，，其中，则的周期为：
奇偶性对称性综合问题
①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为：
②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为：
压轴训练
一、单选题
1．（2023秋·江苏南京·高三校联考阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则下列等式一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的对称性以及复合函数求导运算，利用举反例的形式，逐一判断，可得答案.
【详解】由函数为偶函数，可得，则，所以函数关于成轴对称；
由函数为偶函数，可得，所以函数关于成轴对称；
对于A，设，，显然符合题意，但，故A错误；
对于B，因为为偶函数，故，
故，故（为常数），
令，则，故，
故的图象关于成中心对称，
由，且为函数图象的对称轴，则，
由，
则函数图象的对称轴为直线，
由，则，所以，故B正确；
对于C，设，令，解得，则的对称轴为；
，令，解得，则的对称中心为；
所以此时函数符合题意，，故C错误；
对于D，由选项C，符合题意，则，
，故D错误.
故选：B.
2．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考模拟预测）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解.
【详解】因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以
因为，所以.
所以.
故选：D
【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.
3．（2023秋·江苏扬州·高三扬州中学校考阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为R，且是偶函数，记，也是偶函数，则的值为（ ）
A．－2B．－1C．0D．2
【答案】C
【分析】根据是偶函数，可得 ，求导推得，从而求得，再根据为偶函数，可推得，即4是函数的一个周期，由此可求得答案.
【详解】因为是偶函数，所以 ，
两边求导得 ，即，
所以 ，即，
令 可得 ，即 ，
因为为偶函数，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
，所以4是函数的一个周期，
所以,
故选∶C．
【点睛】方法点睛：此类有关抽象函数的求值问题，一般方法是要根据题意推导出函数具有的性质，比如函数的奇偶性单调性以及周期性，然后利用周期性求值.
4．（2023·江苏镇江·江苏省镇江第一中学校考模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为R，且为奇函数，，，则（ ）
A．13B．16C．25D．51
【答案】C
【分析】根据题意利用赋值法求出、、、的值，推出函数的周期，结合，每四个值为一个循环，即可求得答案.
【详解】由，令，得，所以．
由为奇函数，得，所以，
故①．
又②，
由①和②得，即，
所以，③
令，得，得，
令，得，得．
又④，
由③-④得，即，
所以函数是以8为周期的周期函数，
故，
所以，
所以
，
故选：C．
【点睛】方法点睛：解决此类抽象函数的求值问题时，涉及到函数的性质，比如奇偶性和对称轴以及周期性等问题，综合性较强，有一定难度，解答时往往要采用赋值法求得某些特殊值，继而推出函数满足的性质，诸如对称性和周期性等，从而解决问题.
5．（2023·江苏南通·模拟预测）函数的定义域均为，且，关于对称，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用已知、方程、函数的对称性、周期性进行计算求解.
【详解】因为， ，
对于②式有：，由①+有：，
即，又关于对称，所以，
由④⑤有：，即，，
两式相减得：，即，即，
因为函数的定义域为，所以的周期为8，又，
所以，由④式有：，
所以，
由，有：，
所以，
由⑤式有：，又，所以，
由②式有：，
所以
，故A，B，D错误.
故选：C.
6．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）设函数的定义域为，其导函数为，若，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意令可得，即函数图象关于对称，即可判断A；根据抽象函数的奇偶性和对称性可得函数的周期为2，即可判断BD；由知函数图象关于直线对称，举例说明即可判断C.
【详解】A：
令，得，则函数图象关于点对称.
若，则函数图象关于点对称，符合题意，故A正确；
B：由选项A的分析知，等式两边同时求导，
得，即①，
又，为偶函数，所以②，
由①②得，所以函数的周期为2.
所以，即，故B正确；
C：由选项B的分析知，则函数图象关于直线对称.
令，若，
则函数图象关于直线对称，不符合题意，故C错误；
D：由选项B的分析可知函数的周期为2，则，
所以，故D正确.
故选：C.
7．（2023秋·江苏·高三宿迁中学校联考开学考试）已知函数及其导函数定义域均为R，满足，记，其导函数为且的图象关于原点对称，则（ ）
A．0B．3C．4D．1
【答案】D
【分析】根据题设知关于、对称且，即可求，再由已知有关于、对称，求，即可得解.
【详解】由关于原点对称，则关于轴对称，且，
所以关于对称，关于对称，且，
又，即，则关于对称，
综上，，，则，
所以，而，故，
又，则关于对称，即，
所以，则，
所以.
故选：D
8．（2023秋·江苏·高三校联考阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为，且满足，，，若，则（ ）
A．B．C．88D．90
【答案】B
【分析】根据复合函数导数运算求得正确答案.
【详解】由得，
①，则关于直线对称.
另外②，则关于点对称.
所以
，
所以，所以是周期为的周期函数.
，，
则，
由②，令，得.
所以，
由②，令，得；
所以，
由①，令，得；令，得.
由②，令，得；
令，得，
则，；
，
，以此类推，
是周期为的周期函数.
所以.
故选：B
【点睛】函数的对称性有多种呈现方式，如，则关于直线对称；如，则关于直线对称；如，
则关于点对称；如，则关于点对称.
二、多选题
9．（2023秋·江苏苏州·高三统考开学考试）已知函数定义域为，是奇函数，，，分别是函数，的导函数，函数在区间上单调递增，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】由是奇函数，，令可求判断选项A，两边求导判断选项B，由，得到和的关系，求导判断选项C，利用单调性判断选项D.
【详解】对于A，由是奇函数，则，令，有，A正确.
对于B，由是奇函数，则，有，
所以，B正确.
对于C，由，有，，
∴，∴，C错.
对于D，由知关于直线对称，
∵在上单调递增，∴在上单调递减，
，当且仅当时取等号，
令，则，
解得，在上单调递增，
则，即，有.
令，，时，在上单调递减，
所以， 有，即.
而，
∴，D正确.
故选：ABD.
10．（2023秋·江苏盐城·高三盐城市伍佑中学校联考阶段练习）已知定义在上的函数，其导函数的定义域也为.若，且为奇函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】由题意可以推出的周期以及对称中心，根据，可得的周期是4，又是由向左平移1个单位得到的，且注意到为奇函数，因此的对称中心为；然后对每一选项逐一验证判断即可.
【详解】对于A选项：注意到，又是由向左平移1个单位得到的，
且注意到为奇函数，因此的对称中心为即，因此；故A选项符合题意.
对于B选项：令，此时满足题意，但，故B选项不符题意.
对于C选项：因为的对称中心为，所以，又已知，
所以，这表明了关于直线对称，即，
由复合函数求导法则且同时两边对求导得；故C选项符合题意.
对于D选项：由的对称中心为，即，两边对求导得，
结合C选项分析结论，可知，
所以这表明了的周期为4，
因此，注意到，
所以；故D选项符合题意.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：解决本题有两个关键之处，一方面：的周期以及对称中心并举反例排除B选项；另一方面：得出的对称轴，进而求出的奇偶性、周期性.
11．（2023秋·江苏常州·高三常州高级中学校考开学考试）已知函数及其导函数的定义域均为，若函数，都为偶函数，令，则下列结论正确的有（ ）
A．的图象关于对称B．的图象关于点对称
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据函数奇偶性可求得函数的图象关于对称，的图象关于点成中心对称，即AB正确；又可知，所以，即C错误；经计算可知，又，，即可得是等差数列，由前项和公式可得D正确.
【详解】根据题意为偶函数可得，
即可知，所以函数的图象关于对称，即A正确；
由是偶函数可得为奇函数，
所以满足，即，
因此的图象关于点成中心对称，所以B正确；
由可知，所以；
即，所以的图象关于点成中心对称，因此，即C错误；
易知，，
由可得，联立可得；
所以；
即，
易知是以为首项，公差的等差数列；
所以代入等差数列前项和公式可知，即D正确；
故选：ABD
【点睛】方法点睛：求解函数性质综合问题时，往往借助函数奇偶性、对称性、周期性等性质进行推理证明，结合对称轴、对称中心等实现求和计算即可.
12．（2023秋·江苏·高三校联考阶段练习）已知是定义在上的奇函数，，设函数，若是偶函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】由题意推出函数的奇偶性以及周期，进而推出的周期，由此结合赋值法判断A；赋值，结合可判断B；利用赋值结合已知判断C；利用函数的周期性求函数值，即可判断D.
【详解】因为是上的奇函数，所以，
则定义域为R，且
故也是上的奇函数，，
因为是偶函数，所以，即，
即，则，
所以是以4为周期的周期函数.
因为周期为4，则，
则，
所以也是以4为周期的周期函数.
对于A，因为，令得，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，由，，知，
所以，故C正确；
对于D，因为，令，故；
；
同理；而；
所以，
所以，故D错误.
故选：
【点睛】关键点睛：本题是关于抽象函数的性质的综合应用问题，解答的关键是根据函数具有的性质推出函数的周期性，从而利用周期性求函数值.
13．（2023秋·江苏徐州·高三校联考开学考试）已知是定义域为的奇函数，是偶函数，且当时，，则（ ）
A．是周期为2的函数
B．
C．的值域为[-1，1]
D．的图象与曲线在上有4个交点
【答案】BCD
【分析】对于A，由为R上的奇函数，为偶函数，得，则是周期为4的周期函数，可判断A；
对于B，由是周期为4的周期函数，则， ，可判断B．
对于C，当时，，有，又由为R上的奇函数，则时，，可判断C．
对于D，构造函数，利用导数法求出单调区间，结合零点存在性定理，即可判断D．
【详解】根据题意，
对于A，为R上的奇函数，为偶函数，
所以图象关于对称，
即
则是周期为4的周期函数，A错误；
对于B，定义域为R的奇函数，则，
是周期为4的周期函数，则；
当时，，则，
则，
则；故B正确．
对于C，当时，，此时有，
又由为R上的奇函数，则时，，
，函数关于对称，所以函数的值域．
故C正确．
对于D，，且时，，
，
，
，
是奇函数，，
的周期为，，
，
，
设，
当，
，
设在恒成立，
在单调递减，即在单调递减，
且，
存在，
单调递增，
单调递减，
，
所以在有唯一零点，在没有零点，
即，的图象与曲线有1个交点，
当时，，，
则，，
则，所以在上单调递增，
且，
所以存在唯一的，使得，
所以，，在单调递减，
，，在单调递增，
又，所以，
又，
所以在上有一个唯一的零点，在上有唯一的零点，
所以当时，的图象与曲线有2个交点，，
当时，同，的图象与曲线有1个交点，
当，
的图象与曲线没有交点，
所以的图象与曲线在上有4个交点，故D正确；
故选：BCD．
【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、周期性、两函数图像的交点，属于较难题.
14．（2023秋·江苏宿迁·高三校考阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；
对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为，均为偶函数，
所以即，，
所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，
又，且函数可导，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
15．（2023秋·江苏扬州·高三仪征中学校联考期末）设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据逆向思维得到 ，代入推出的对称轴 ，即可判断A选项；根据为奇函数推出对称中心，进一步得出，即的周期为4，即可判断C选项；由是由的图像变换而来，所以的周期也为4，进而判断B选项；再算出时的函数值以及一个周期内的值即可求解，判断D选项.
【详解】因为，所以.
因为，所以，
用去替，所以，所以.
因为，取代入得到，得，
所以，所以，
所以的图象关于直线对称，所以，故A正确；
因为为奇函数，则 过, 图像向右移动两个单位得到过，故图像关于对称，，所以，且.
因为，所以，则的周期，
所以，故C错误；
因为，，所以的周期也为4，
所以，，
所以，故B正确；
因为，，，，
所以，故D正确.
故选：ABD.
16．（2023·江苏苏州·苏州市第五中学校校考模拟预测）设定义在R上的函数与的导函数分别为和，且，，且为奇函数，则（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点对称
C．
D．
【答案】ABD
【分析】由为奇函数可得，由取导数可得，结合条件，判断B，再由条件判断函数，的周期，由此计算，，判断C，D．
【详解】解：因为为奇函数，所以，取可得，
因为，所以；
所以，又，，
故，所以函数的图象关于点对称，故B正确；
因为，所以，所以，为常数，
因为，所以，
所以，取可得，所以，
故关于对称，故A正确；
又，所以，所以，
所以，故函数为周期为的周期函数，
因为，所以，，
所以，
所以，
所以，
由已知无法确定的值，故的值不一定为，故C错误．
因为，所以，，
所以，故函数为周期为的函数，
所以，所以函数为周期为4的函数，
又，，，，
所以，，
所以
，故D正确；
故选：ABD．
【点睛】方法点睛：抽象函数对称性与周期性的判断如下：
若，则函数关于对称；
若，则函数关于中心对称；
若，则是的一个周期.
17．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）设定义在上的函数与的导数分别为与，已知，，且关于直线对称，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据函数与导数间的关系式，变形赋值，逐项验证即可.
【详解】因为，
所以
所以，
所以，
故D正确，
令时，，
所以，
由，
所以，
所以B选项正确，
因为，
所以，
所以函数图象关于点对称，
则函数的图象关于点对称，即为奇函数，
所以函数（为常数）为偶函数，图象关于直线对称，
所以函数的图象关于直线对称，
所以，
故C选项正确，
函数，则函数图象关于直线对称，符合题意，
所以，
故选项A不正确，
故选：BCD.
【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，
(1)存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.
(2)存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.
18．（2023秋·江苏南通·高三统考阶段练习）定义在上的函数满足，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】对于B，首先说明，，进而根据已知即可判断；对于A，由函数是奇函数证明，并结合即可判断；对于C，首先说明，但由已知条件不能够得到的值，注意到函数是周期为4的奇函数，且，故考虑构造反例说明C错误；对于D，可以通过计算，得到，从而说明D错误.
【详解】对于B，因为，
所以，，
又，
所以，即，且是以4为周期的周期函数，故B选项正确；
对于A，由题意函数的定义域为关于原点对称，
且由B选项分析可知，
所以函数是定义在上的奇函数，
所以，
又由B选项分析可知，
所以，故A选项正确；
对于C，记，
因为，
所以，
由B选项分析可知，且注意到，
所以，
又由A选项分析可知，
所以，
又由B选项分析可知是以4为周期的周期函数，
所以；
而由已知条件不能得到的值，故构造反例如下：
不妨设，现在我们来验证满足题意：
由于
，
且，，
所以此时，
而，
故满足题意，但；
综上所述：若，则此时，故C选项错误；
对于D，记，
由B选项分析可知是以4为周期的周期函数，
所以，
又，，且由C选项分析可知，
所以，
所以，
又因为是以4为周期的周期函数，
所以
，故D选项错误.
故选：AB.
【点睛】关键点点睛：本题A，B选项的判断比较常规，判断C选项的关键是首先得到，但由已知条件不能够得到的值，故通过构造反例说明C错误即可，判断D选项的关键是利用周期性去计算从而对比验证即可，当然也可以由C选项的反例，通过计算来说明D选项错误；总之本题的综合性比较强，考查了周期性、奇偶性对称性等，如果正面去证明的时候很难证明出来，这时候要想到通过构造反例来推理，平时练习的时候可以多加留意一下.
19．（2023春·江苏扬州·高三扬州中学校考阶段练习）已知函数的定义域均为，且满足，，，则（ ）
A．B．
C．的图象关于点对称D．
【答案】ABD
【分析】由得出的图象关于点对称，即；由和得出，判断选项A正确；由函数的图象关于点对称，判断选项B正确；由和得出的图象关于点中心对称，C错误；记，则数列和均为等差数列，利用等差数列的求和公式计算可得D正确．
【详解】因为，所以的图象关于点对称，所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，A正确；
因为定义域为的函数的图象关于点对称，所以，B正确；
由，得，即，．
因为，所以，
又因为，相减得，
所以的图象关于点中心对称，C错误；
因为函数的定义域为，所以，所以．
记，
结合A、C分析知：数列是以为首项，为公差的等差数列，数列是以为首项，为公差的等差数列，
故，，
所以，D正确；
故选：ABD．
20．（2023·江苏·校联考模拟预测）定义在上的函数满足，，则（ ）
A．的图象关于对称B．4是的一个周期
C．D．
【答案】ACD
【分析】对于A，令可得，即可得到的对称性，对于B，令，即可得到4为的一个周期，从而得到，对于C，令，对于D，结合前面的结论，求出函数值即可.
【详解】因为，即，
令，则，所以关于对称，
则的图象关于对称，故A正确；
因为，则，
令，则，则的图象于对称，
因为，所以，
即，则的图象关于对称.
所以，又，所以，
所以，所以，
所以4为的一个周期，即，
则，故B不正确；
对于C：因为，令可得，故C正确；
对于D：因为，则，，，
又，，，
所以，，
，，
，
，，，
，，，
，，，
，所以，故D正确；
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：令是解题的关键，通过研究的对称性，周期性得到的性质.
21．（2023秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）已知函数的定义域为，是偶函数，的图象关于点中心对称，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．，D．，
【答案】BCD
【分析】根据是偶函数可得函数关于直线对称，由的图象关于点中心对称可得关于点成中心对称，据此可推导出函数为周期函数，判断A，再由函数的周期求出判断B，由周期性及对称性可判断C，由以上分析利用求解可判断D.
【详解】因为是偶函数，所以，可得，
故关于直线对称，
因为的图象关于点中心对称，所以关于点成中心对称，
所以，
又由可得，
所以，即，所以，
两式相减可得，即，所以，故A错误；
由周期，，又，所以，即，故B正确；
由周期，，，由可得，，，故C正确；
由上述分析可知，又因为，
所以，所以，
故D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：当函数满足时，函数关于直线对称，
当函数满足时，函数关于点成中心对称.
22．（2023秋·江苏南通·高三统考开学考试）已知函数，的定义域均为是奇函数，且，，则（ ）
A．为奇函数B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据已知等式关系结合函数的奇偶性与对称性即可求得函数均是周期为4的周期函数，利用周期性与对称性计算，逐项判断即可得答案.
【详解】因为，所以，又，则有；
因为是奇函数，所以，
可得，即有，
所以，
所以是周期为4的周期函数，
故也是周期为4的周期函数，
因为，所以，所以为偶函数，故A错误；
由是奇函数，则，所以，
又，
所以，所以C选项正确；
由，得，所以B选项正确；
因为，
，
所以，
所以，所以D选项正确．
故选：BCD．
23．（2023秋·江苏徐州·高三徐州市第七中学校联考阶段练习）已知函数的定义域为，函数的图象关于点对称，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．函数是奇函数
B．函数的图象关于轴对称
C．函数是最小正周期为2的周期函数
D．若函数满足，则
【答案】ABD
【分析】根据抽象函数的对称性，以及条件的变形，即可判断ABC；首先判断函数的周期性，再利用周期性和函数的性质，即可求解.
【详解】因为函数的图象关于点对称，所以，所以函数是奇函数，故A正确；
因为，所以，又，
所以，所以，所以，所以为偶函数.故B正确；
因为，所以是最小正周期为4的周期函数，故C错误；
因为，所以，那么，
所以也是周期为4的函数，
，
因为，所以，，
所以，
所以，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】思路点睛：本题考查抽象函数的性质和应用，理解抽象函数，理解自变量的任意性，从而学会变形，达到判断性质的目的.
24．（2023秋·江苏徐州·高三校考阶段练习）已知定义域为的函数满足，且，，则（ ）
A．B．是偶函数
C．D．
【答案】BC
【分析】通过赋值法求值，判断函数的奇偶性、对称性及周期性，利用周期性求值，对选项逐一判断即可求解.
【详解】，
令，，则，故选项A错误；
令，则，
又，所以，令，则，
所以函数关于对称，
令，则，
令，则，，
又函数的定义域R，所以函数为偶函数，故选项B正确；
令，则，
又，，，所以，
选项C正确；
因为，所以，所以函数的一个周期为8，
令，，则，所以，
所以，所以，
，，
所以
，
，所以，故选项D错误.
故选：BC
【点睛】结论点睛：函数关于直线对称，则有；函数关于中心对称，则有，函数的周期为，则有.
25．（2023秋·江苏南京·高三统考开学考试）函数及其导函数的定义域均为R，且，，则（ ）
A．为偶函数B．的图象关于直线对称
C．D．
【答案】BC
【分析】A选项，假设为偶函数，得到，与条件矛盾，A错误；B选项，假设的图象关于直线对称，得到，求导后得到，满足题目条件，B正确；C选项，两边求导得，赋值得到答案；D选项，由得到，结合得到，求导得到D错误.
【详解】A选项，假设为偶函数，
则有，变形为，
与矛盾，故假设不成立，不是偶函数，A错误；
B选项，假设的图象关于直线对称，则有，
两边求导得到，即，
由于题目条件中有，故假设成立，B正确；
C选项，两边求导得，
令得，解得，C正确；
D选项，因为，将代替，得，
又，故，即，
两边求导得，，D错误.
故选：BC
【点睛】函数的对称性：
若，则函数关于中心对称，
若，则函数关于对称，
26．（2022秋·江苏南通·高三统考阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为R，记，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】代入，找到含有的等式可判断A正确，令，建立等式并求导，可得到关于对称，利用，用换得到方程组解得，可知为偶函数，进而可判断周期为2，容易判断D正确，利用为周期为2的偶函数，结合选项变换函数值，可求得，判断不一定相等.
【详解】
令，得
，所以A正确.
令，则
求导数得，，即
所以关于对称，
又因为
所以为偶函数.
，的周期为2.
因为为周期为2的偶函数，
所以
令时，
令，得
，所以B不正确，C正确.
因为的周期为2，，所以D正确.
故选：ACD.
【点睛】解决函数性质综合问题，要认真分析条件，联系函数的性质，判断函数是否具备奇偶性，周期性，对称性等性质，然后再利用函数性质，结合选项，选择特值寻找与选项有关的等式或不等式进行计算或者判断.
三、填空题
27．（2023秋·江苏泰州·高三泰州中学校考开学考试）定义在实数集上的偶函数满足，则 .
【答案】
【解析】，令，则，进一步可得函数的周期为4，，解方程即可.
【详解】因为，
所以，
即，
即，
令，则，
所以
故函数的周期为4，
所以，
又因为是偶函数，则为偶函数，
又因为，所以，即，
解得，
又，
即，即.
故答案为：
【点睛】本题主要考查抽象函数周期性，涉及到函数的奇偶性等知识，考查学生逻辑推理能力与数学运算求解能力，是一道有一定难度的题.
28．（2023秋·江苏盐城·高三校考期末）定义在上函数满足，且在上是增函数，给出下列几个命题：
①是周期函数；
②的图象关于对称；
③在上是增函数；
④．
其中正确命题的序号是 ．
【答案】①②④
【分析】令替换即可得出的周期为4；计算，再令得出为奇函数，用替换可得的对称轴；根据奇函数的对称性和对称轴得出在的单调性；根据和，即可得出.
【详解】由，可得，
所以函数的周期为4，所以①正确；
由，可得，解得，
在令，可得，所以，
即，所以函数为奇函数，
所以，即，
所以的图象关于对称，所以②正确；
因为在上是增函数，
又由，所以函数关于直线对称，
所以函数在为减函数，所以③错误；
由，可知，
因为，所以，所以④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】本题主要考查了函数的基本性质，函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性的综合应用及判定，属于中档试题.
四、双空题
29．（2022秋·江苏常州·高三校考开学考试）函数的定义域为，对任意，恒有，若，则 ， ．
【答案】 /
【分析】取特殊值可得；取特殊值可得是周期为函数，计算出的值可得答案.
【详解】令，则，解得，
令，则，
因为，所以；
令，则，，
令，则，，
令，则，，
，
令，则，即，可得，
令，则，
令，则，
可得，从而，
所以，可得，
所以，是周期为的函数，
.
故答案为：①；②0.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是取特殊值推出是周期函数，考查了抽象函数问题，还考查了学生思维能力即、运算能力.
30．（2023·江苏·统考模拟预测）定义在上的函数满足，且函数的图象关于点对称，则 ， .
【答案】 1 －2021
【分析】分析函数的对称性，由构造，由周期性和对称性即可求解.
【详解】因为关于对称，所以有.
令，则，的图象关于对称，所以.
由题设条件得，
令，有，则的图象于对称，
因为，有，
即，则的图象关于对称.
所以，又，
所以，，
所以，所以为的一个周期，
，所以.
故答案为：1；－2021.