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压轴小题07 三维想象解决立体几何综合问题-【突破压轴冲刺名校】生备战2024年新高考数学二轮复习满分秘籍（江苏专用）
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这是一份压轴小题07 三维想象解决立体几何综合问题-【突破压轴冲刺名校】生备战2024年新高考数学二轮复习满分秘籍（江苏专用），文件包含压轴小题07三维想象解决立体几何综合问题原卷版docx、压轴小题07三维想象解决立体几何综合问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共92页， 欢迎下载使用。
立体几何基础公式
所有椎体体积公式：，所有柱体体积公式：，球体体积公式：
球体表面积公式：，圆柱：
圆锥：
长方体（正方体、正四棱柱）的体对角线的公式
已知长宽高求体对角线：
已知共点三面对角线求体对角线：
棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为.
欧拉定理(欧拉公式)
(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).
（1）=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为的多边形，则面数F与棱数E的关系：；
（2）若每个顶点引出的棱数为，则顶点数V与棱数E的关系：.
5．空间的线线平行或垂直
设，，则
；
.
夹角公式
设，b＝，则
.
6．异面直线所成角
=
（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）
7．直线与平面所成角，(为平面的法向量).
8. .二面角的平面角
（，为平面，的法向量）.
异面直线间的距离
(是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).
点到平面的距离
（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.
球的表面积和体积公式
球的表面积：S＝4πR2 球的体积：V＝eq \f(4,3)πR3
球的切接概念
空间几何体的外接球：球心到各个顶点距离相等且等于半径的球是几何体的外接球
空间几何体的内切球：球心到各面距离相等且等于半径的球是几何体的内切球
几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝eq \r(3)a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq \r(2)a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
墙角模型（三条直线两两垂直）
补形为长方体，长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).
直棱柱外接球之汉堡模型
（1）补型：补成长方体，若各个顶点在长方体的顶点上，则外接球与长方体相同
（2）作图：构造直角三角形，利用勾股定理
直三校柱内接于一球（棱柱的上下底面为直角三角形）R=r2+h22
底面外接圆的半径r的求法
（1）正弦定理
（2）直角三角形：半径等于斜边的一半
（3）等边三角形：半径等于三分之二高
（4）长（正）方形：半径等于对角线的一半
正棱锥类型
h−R2+r2=R2, 解出 R
侧棱垂直与底面-垂面型
R=r2+h22
侧面垂直与底面-切瓜模型
如图：平面 PAC⊥ 平面 BAC,AB⊥BC ( AC 为小圆直径)
（1）由图知球心O必为△PAC的外心,即△PAC在大圆面上,先求出小圆面直径AC的长;
（2）在△PAC中,可根据正弦定理asinA=2R,解出R
如图：:平面PAC⊥平面BAC,PA=PC,AB⊥AC
（1）确定球心O的位置,由图知P,O,H三点共线;
（2）算出小圆面半径AH=r,算出棱锥的高PH=ℎ
（3）勾股定理:OH2+AH2=OA2
⇒ℎ−R2+r2=R2，解出R
内切球
如图：求任意三棱雉的内切球半径(等体积法)
（1）先求出四个表面的面积和整个椎体的体积;
（2）设内切球半径为r,建立等式:VP−ABC=VO−ABC+VO−PAB+VO−PAC+VO−PBC
⇒VP−ABC=13SABC+SPAB+SPAC+SPBC⋅r;
（3）解出r=3VP−ABCSABC+SPAB+SPAC+SPBC
结论：若棱锥的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为.
压轴训练
一、单选题
1．（2023秋·江苏常州·高三常州高级中学校考开学考试）将一个半径为的球削成一个体积最大的圆锥，则该圆锥的内切球的半径为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）已知正四面体的棱长为，为棱上的动点（端点、除外），过点作平面垂直于，与正四面体的表面相交．记，将交线围成的图形面积表示为的函数，则的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·江苏南通·三模）已知三棱锥，为中点，，侧面底面，则过点的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·江苏·高三校联考阶段练习）如图①，已知边长为4的等边分别为边的中点，现以为折痕将折起为四棱锥，使得，如图②，则四棱锥的外接球体积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·江苏南京·南京市第九中学校考模拟预测）三面角是立体几何的基本概念之一，而三面角余弦定理是解决三面角问题的重要依据.三面角是由有公共端点且不共面的三条射线，，以及相邻两射线间的平面部分所组成的图形，设，，，平面与平面所成的角为，由三面角余弦定理得.在三棱锥中，，，，，，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·江苏南通·统考模拟预测）在三棱锥中，平面，，，，，点M在该三棱锥的外接球O的球面上运动，且满足，则三棱锥的体积最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．（2023秋·江苏南通·高三统考阶段练习）已知正四面体的棱长为2，下列说法正确的是（ ）
A．正四面体的外接球表面积为
B．正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值
C．正四面体的相邻两个面所成二面角的正弦值为
D．正四面体在正四面体的内部，且可以任意转动，则正四面体的体积最大值为
8．（2023秋·江苏南京·高三统考开学考试）在中，，，D是AB的中点．将沿CD翻折，得到三棱锥，则（ ）
A．
B．当时，三棱锥的体积为
C．当时，二面角的大小为
D．当时，三棱锥的外接球的表面积为
9．（2023秋·江苏·高三校联考阶段练习）已知正三棱柱分别为棱的中点，则（ ）
A．B．面
C．D．面
10．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已知正方体的棱长均为为线段的中点,,其中,则下列选项正确的是（ ）
A．当时,
B．当时,的最小值为
C．若直线与平面所成角为,则点的轨迹长度为
D．当时,正方体被平面截的图形最大面积为
11．（2023秋·江苏扬州·高三仪征市第二中学校考期中）已知正方体的棱长为4，正四面体的棱长为a，则以下说法正确的是（ ）
A．正方体的内切球直径为4
B．正方体的外接球直径为
C．若正四面体可以放入正方体内自由旋转，则a的最大值是
D．若正方体可以放入正四面体内自由旋转，则a的最小值是
12．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）已知正方体的棱长为，，，其中，，则下列说法中正确的有（ ）
A．若平面，则B．若平面，则
C．存在，，使得D．存在，使得对于任意的，都有
13．（2023春·江苏扬州·高三统考开学考试）在四面体的四个面中，有公共棱的两个面全等，，，，二面角大小为，下列说法中正确的有（ ）
A．四面体外接球的表面积为
B．四面体体积的最大值为
C．若，，则
D．若，，则
14．（2023春·江苏苏州·高三统考开学考试）六面体中，底面ABCD、分别是边长为4和2的正方形，侧面、侧面均是直角梯形，且，．若该六面体为台体，下列说法正确的是（ ）
A．六面体的体积为28
B．异面直线与的夹角的余弦值为
C．二面角的正弦值为
D．设P为上底面上一点，且，则P的轨迹为一个圆
15．（2023春·江苏南京·高三南京市第五高级中学校考阶段练习）已知正四棱台的上下底面边长分别为4，6，高为，E是的中点，则（ ）
A．正四棱台的体积为
B．平面平面
C．AE∥平面
D．正四棱台的外接球的表面积为104π
16．（2023·江苏南通·二模）如图，正三棱锥A-PBC和正三棱锥D-PBC的侧棱长均为，BC 2．若将正三棱锥A-PBC绕BC旋转，使得点A，P分别旋转至点处，且，B，C，D四点共面，点，D分别位于BC两侧，则（ ）
A．
B．平面BDC
C．多面体的外接球的表面积为
D．点A，P旋转运动的轨迹长相等
17．（2023·江苏·高三专题练习）如图，在平行四边形中，，，，沿对角线将△折起到△的位置，使得平面平面，下列说法正确的有（ ）
A．三棱锥四个面都是直角三角形B．平面平面
C．与所成角的余弦值为D．点到平面的距离为
18．（2023春·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）如图，点M是棱长为l的正方体中的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ）
A．不存在点M满足平面
B．存在无数个点M满足
C．当点M满足时，平面截正方体所得截面的面积为
D．满足的点M的轨迹长度是
19．（2023·江苏·统考二模）在正四棱柱中，已知，，则下列说法正确的有（ ）
A．异面直线与的距离为
B．直线与平面所成的角的余弦值为
C．若该正四棱柱的各顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为
D．以A为球心，半径为2的球面与该正四棱柱表面的交线的总长度为
20．（2023·江苏南京·统考二模）已知四棱柱的底面为正方形，，，则（ ）
A．点在平面内的射影在上
B．平面
C．与平面的交点是的重心
D．二面角的大小为
21．（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）如图，已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，点分别在半圆弧（均不含端点）上，且在球上，则（ ）
A．当点在的三等分点处，球的表面积为
B．球的表面积的取值范围为
C．当点在的中点处，过三点的平面截正四棱柱所得的截面的形状都是四边形
D．当点在的中点处，三棱锥的体积为定值
22．（2023秋·江苏苏州·高三江苏省梁丰高级中学校考阶段练习）如图，矩形中，为边的中点，沿将折起，点折至处平面分别在线段和侧面上运动，且，若分别为线段的中点，则在折起过程中，下列说法正确的是（ ）
A．面积的最大值为
B．存在某个位置，使得
C．三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为
D．三棱锥体积最大时，点到平面的距离的最小值为.
23．（2023·江苏无锡·校联考三模）用一个平行于正三棱锥底面的平面去截正三棱锥，我们把底面和截面之间那部分多面体叫做正三棱台.如图，在正三棱台中，已知，则（ ）
A．在上的投影向量为
B．直线与平面所成的角为
C．点到平面的距离为
D．正三棱台存在内切球，且内切球半径为
24．（2023·江苏南通·统考模拟预测）在边长为2的菱形ABCD中，，将菱形ABCD沿对角线BD折成空间四边形A'BCD，使得．设E，F分别为棱BC，A'D的中点，则（ ）
A．B．直线A'C与EF所成角的余弦值为
C．直线A'C与EF的距离为D．四面体A'BCD的外接球的表面积为
25．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）已知正方体的棱长为1，为棱（包含端点）上的动点，下列命题正确的是（ ）
A．
B．二面角的大小为
C．点到平面距离的取值范围是
D．若平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
26．（2023·江苏苏州·模拟预测）在棱长为2的正方体中，，，分别为棱，，的中点，为的中点，是平面内异于点的一点，则（ ）
A．存在点，使得直线与平面相交
B．对任意点均有
C．线段长度的最小值为
D．过的平面截三棱锥的外接球所得的截面面积可能为
27．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）圆柱高为1，下底面圆的直径长为2，是圆柱的一条母线，点分别在上、下底面内（包含边界），下列说法正确的有（ ）．
A．若，则点的轨迹为圆
B．若直线与直线成，则的轨迹是抛物线的一部分
C．存在唯一的一组点，使得
D．的取值范围是
28．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）棱长为1的正方体中，点为线段上一点（不包括端点），点为上的动点，下列结论成立的有（ ）
A．过的截面截正方体所得的截面多边形为等腰梯形
B．的最小值为
C．当点为线段中点时，三棱锥的外接球的半径为
D．两点间的最短距离为
29．（2023秋·江苏南京·高三南京市第九中学校考阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，点分别在线段和上．给出下列四个结论中所有正确结论的序号是（ ）
A．的最小值为1
B．四面体的体积为
C．存在无数条直线与垂直
D．点为所在边中点时，四面体的外接球半径为
三、填空题
30．（2023·江苏徐州·江苏省沛县中学校考模拟预测）在三棱锥中，，且，则直线PC与平面ABC所成角的余弦值为 .
31．（2023·江苏·校联考模拟预测）在棱长为6的正四面体中，已知点为该四面体的外接球的球心，则以为球心，为半径的球面与该四面体的表面形成的交线长为 ．
32．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）在正四棱台中，，，M为棱的中点，当正四棱台的体积最大时，平面截该正四棱台的截面面积是 .
33．（2023·江苏镇江·江苏省镇江第一中学校考模拟预测）三棱锥中，，为边长为2的等边三角形，二面角的余弦值为，①三棱锥的体积最大为 ；②当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 .
34．（2023·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）已知菱形ABCD的边长为1，，将沿AC翻折，当三棱锥表面积最大时，其内切球表面积为 .
35．（2023·江苏淮安·统考模拟预测）已知四面体各顶点都在半径为3的球面上，平面平面，直线与所成的角为，则该四面体体积的最大值为 .
36．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）已知正四面体的棱长为3，点满足，过点作平面平行于和，设分别与该正四面体的棱，，相交于点，，，则四边形的周长为 ，四棱锥的体积的最大值为 .
37．（2023秋·江苏常州·高三华罗庚中学校考阶段练习）在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
38．（2023秋·江苏南京·高三校联考阶段练习）在正三棱锥中，底面的边长为4，E为AD的中点，，则以D为球心，AD为半径的球截该棱锥各面所得交线长为 ．
四、双空题
39．（2023·江苏南京·校联考一模）如图，在矩形中，，，，，分别为，，，的中点，与交于点，现将，，，分别沿，，，把这个矩形折成一个空间图形，使与重合，与重合，重合后的点分别记为，，为的中点，则多面体的体积为 ；若点是该多面体表面上的动点，满足时，点的轨迹长度为 ．
40．（2023·江苏·江苏省邗江中学校联考模拟预测）小王自主创业开了一家礼品店，平常需要用彩绳对礼品盒做一个捆扎（要求扎紧绳子不能松动），其中一种长方体的礼品盒一般都是采用“十字捆扎”（如图1所示），后来他又学习了一种新的彩绳捆扎方法“对角捆扎”（如图2所示），并认为“对角捆扎”比一般的“十字捆扎”包装更节省彩绳.设长方体礼品盒的长､宽､高分别为，则“十字捆扎”所需绳长为 ；若采用“对角捆扎”，则所需绳长的最小值为 .（注：长方体礼品盒的高小于长､宽，结果用含的式子表示）
立体几何基础公式
所有椎体体积公式：，所有柱体体积公式：，球体体积公式：
球体表面积公式：，圆柱：
圆锥：
长方体（正方体、正四棱柱）的体对角线的公式
已知长宽高求体对角线：
已知共点三面对角线求体对角线：
棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为.
欧拉定理(欧拉公式)
(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).
（1）=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为的多边形，则面数F与棱数E的关系：；
（2）若每个顶点引出的棱数为，则顶点数V与棱数E的关系：.
5．空间的线线平行或垂直
设，，则
；
.
夹角公式
设，b＝，则
.
6．异面直线所成角
=
（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）
7．直线与平面所成角，(为平面的法向量).
8. .二面角的平面角
（，为平面，的法向量）.
异面直线间的距离
(是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).
点到平面的距离
（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.
球的表面积和体积公式
球的表面积：S＝4πR2 球的体积：V＝eq \f(4,3)πR3
球的切接概念
空间几何体的外接球：球心到各个顶点距离相等且等于半径的球是几何体的外接球
空间几何体的内切球：球心到各面距离相等且等于半径的球是几何体的内切球
几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝eq \r(3)a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq \r(2)a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
墙角模型（三条直线两两垂直）
补形为长方体，长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).
直棱柱外接球之汉堡模型
（1）补型：补成长方体，若各个顶点在长方体的顶点上，则外接球与长方体相同
（2）作图：构造直角三角形，利用勾股定理
直三校柱内接于一球（棱柱的上下底面为直角三角形）R=r2+h22
底面外接圆的半径r的求法
（1）正弦定理
（2）直角三角形：半径等于斜边的一半
（3）等边三角形：半径等于三分之二高
（4）长（正）方形：半径等于对角线的一半
正棱锥类型
h−R2+r2=R2, 解出 R
侧棱垂直与底面-垂面型
R=r2+h22
侧面垂直与底面-切瓜模型
如图：平面 PAC⊥ 平面 BAC,AB⊥BC ( AC 为小圆直径)
（1）由图知球心O必为△PAC的外心,即△PAC在大圆面上,先求出小圆面直径AC的长;
（2）在△PAC中,可根据正弦定理asinA=2R,解出R
如图：:平面PAC⊥平面BAC,PA=PC,AB⊥AC
（1）确定球心O的位置,由图知P,O,H三点共线;
（2）算出小圆面半径AH=r,算出棱锥的高PH=ℎ
（3）勾股定理:OH2+AH2=OA2
⇒ℎ−R2+r2=R2，解出R
内切球
如图：求任意三棱雉的内切球半径(等体积法)
（1）先求出四个表面的面积和整个椎体的体积;
（2）设内切球半径为r,建立等式:VP−ABC=VO−ABC+VO−PAB+VO−PAC+VO−PBC
⇒VP−ABC=13SABC+SPAB+SPAC+SPBC⋅r;
（3）解出r=3VP−ABCSABC+SPAB+SPAC+SPBC
结论：若棱锥的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为.
压轴训练
一、单选题
1．（2023秋·江苏常州·高三常州高级中学校考开学考试）将一个半径为的球削成一个体积最大的圆锥，则该圆锥的内切球的半径为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）已知正四面体的棱长为，为棱上的动点（端点、除外），过点作平面垂直于，与正四面体的表面相交．记，将交线围成的图形面积表示为的函数，则的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·江苏南通·三模）已知三棱锥，为中点，，侧面底面，则过点的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·江苏·高三校联考阶段练习）如图①，已知边长为4的等边分别为边的中点，现以为折痕将折起为四棱锥，使得，如图②，则四棱锥的外接球体积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·江苏南京·南京市第九中学校考模拟预测）三面角是立体几何的基本概念之一，而三面角余弦定理是解决三面角问题的重要依据.三面角是由有公共端点且不共面的三条射线，，以及相邻两射线间的平面部分所组成的图形，设，，，平面与平面所成的角为，由三面角余弦定理得.在三棱锥中，，，，，，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·江苏南通·统考模拟预测）在三棱锥中，平面，，，，，点M在该三棱锥的外接球O的球面上运动，且满足，则三棱锥的体积最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．（2023秋·江苏南通·高三统考阶段练习）已知正四面体的棱长为2，下列说法正确的是（ ）
A．正四面体的外接球表面积为
B．正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值
C．正四面体的相邻两个面所成二面角的正弦值为
D．正四面体在正四面体的内部，且可以任意转动，则正四面体的体积最大值为
8．（2023秋·江苏南京·高三统考开学考试）在中，，，D是AB的中点．将沿CD翻折，得到三棱锥，则（ ）
A．
B．当时，三棱锥的体积为
C．当时，二面角的大小为
D．当时，三棱锥的外接球的表面积为
9．（2023秋·江苏·高三校联考阶段练习）已知正三棱柱分别为棱的中点，则（ ）
A．B．面
C．D．面
10．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已知正方体的棱长均为为线段的中点,,其中,则下列选项正确的是（ ）
A．当时,
B．当时,的最小值为
C．若直线与平面所成角为,则点的轨迹长度为
D．当时,正方体被平面截的图形最大面积为
11．（2023秋·江苏扬州·高三仪征市第二中学校考期中）已知正方体的棱长为4，正四面体的棱长为a，则以下说法正确的是（ ）
A．正方体的内切球直径为4
B．正方体的外接球直径为
C．若正四面体可以放入正方体内自由旋转，则a的最大值是
D．若正方体可以放入正四面体内自由旋转，则a的最小值是
12．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）已知正方体的棱长为，，，其中，，则下列说法中正确的有（ ）
A．若平面，则B．若平面，则
C．存在，，使得D．存在，使得对于任意的，都有
13．（2023春·江苏扬州·高三统考开学考试）在四面体的四个面中，有公共棱的两个面全等，，，，二面角大小为，下列说法中正确的有（ ）
A．四面体外接球的表面积为
B．四面体体积的最大值为
C．若，，则
D．若，，则
14．（2023春·江苏苏州·高三统考开学考试）六面体中，底面ABCD、分别是边长为4和2的正方形，侧面、侧面均是直角梯形，且，．若该六面体为台体，下列说法正确的是（ ）
A．六面体的体积为28
B．异面直线与的夹角的余弦值为
C．二面角的正弦值为
D．设P为上底面上一点，且，则P的轨迹为一个圆
15．（2023春·江苏南京·高三南京市第五高级中学校考阶段练习）已知正四棱台的上下底面边长分别为4，6，高为，E是的中点，则（ ）
A．正四棱台的体积为
B．平面平面
C．AE∥平面
D．正四棱台的外接球的表面积为104π
16．（2023·江苏南通·二模）如图，正三棱锥A-PBC和正三棱锥D-PBC的侧棱长均为，BC 2．若将正三棱锥A-PBC绕BC旋转，使得点A，P分别旋转至点处，且，B，C，D四点共面，点，D分别位于BC两侧，则（ ）
A．
B．平面BDC
C．多面体的外接球的表面积为
D．点A，P旋转运动的轨迹长相等
17．（2023·江苏·高三专题练习）如图，在平行四边形中，，，，沿对角线将△折起到△的位置，使得平面平面，下列说法正确的有（ ）
A．三棱锥四个面都是直角三角形B．平面平面
C．与所成角的余弦值为D．点到平面的距离为
18．（2023春·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）如图，点M是棱长为l的正方体中的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ）
A．不存在点M满足平面
B．存在无数个点M满足
C．当点M满足时，平面截正方体所得截面的面积为
D．满足的点M的轨迹长度是
19．（2023·江苏·统考二模）在正四棱柱中，已知，，则下列说法正确的有（ ）
A．异面直线与的距离为
B．直线与平面所成的角的余弦值为
C．若该正四棱柱的各顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为
D．以A为球心，半径为2的球面与该正四棱柱表面的交线的总长度为
20．（2023·江苏南京·统考二模）已知四棱柱的底面为正方形，，，则（ ）
A．点在平面内的射影在上
B．平面
C．与平面的交点是的重心
D．二面角的大小为
21．（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）如图，已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，点分别在半圆弧（均不含端点）上，且在球上，则（ ）
A．当点在的三等分点处，球的表面积为
B．球的表面积的取值范围为
C．当点在的中点处，过三点的平面截正四棱柱所得的截面的形状都是四边形
D．当点在的中点处，三棱锥的体积为定值
22．（2023秋·江苏苏州·高三江苏省梁丰高级中学校考阶段练习）如图，矩形中，为边的中点，沿将折起，点折至处平面分别在线段和侧面上运动，且，若分别为线段的中点，则在折起过程中，下列说法正确的是（ ）
A．面积的最大值为
B．存在某个位置，使得
C．三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为
D．三棱锥体积最大时，点到平面的距离的最小值为.
23．（2023·江苏无锡·校联考三模）用一个平行于正三棱锥底面的平面去截正三棱锥，我们把底面和截面之间那部分多面体叫做正三棱台.如图，在正三棱台中，已知，则（ ）
A．在上的投影向量为
B．直线与平面所成的角为
C．点到平面的距离为
D．正三棱台存在内切球，且内切球半径为
24．（2023·江苏南通·统考模拟预测）在边长为2的菱形ABCD中，，将菱形ABCD沿对角线BD折成空间四边形A'BCD，使得．设E，F分别为棱BC，A'D的中点，则（ ）
A．B．直线A'C与EF所成角的余弦值为
C．直线A'C与EF的距离为D．四面体A'BCD的外接球的表面积为
25．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）已知正方体的棱长为1，为棱（包含端点）上的动点，下列命题正确的是（ ）
A．
B．二面角的大小为
C．点到平面距离的取值范围是
D．若平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
26．（2023·江苏苏州·模拟预测）在棱长为2的正方体中，，，分别为棱，，的中点，为的中点，是平面内异于点的一点，则（ ）
A．存在点，使得直线与平面相交
B．对任意点均有
C．线段长度的最小值为
D．过的平面截三棱锥的外接球所得的截面面积可能为
27．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）圆柱高为1，下底面圆的直径长为2，是圆柱的一条母线，点分别在上、下底面内（包含边界），下列说法正确的有（ ）．
A．若，则点的轨迹为圆
B．若直线与直线成，则的轨迹是抛物线的一部分
C．存在唯一的一组点，使得
D．的取值范围是
28．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）棱长为1的正方体中，点为线段上一点（不包括端点），点为上的动点，下列结论成立的有（ ）
A．过的截面截正方体所得的截面多边形为等腰梯形
B．的最小值为
C．当点为线段中点时，三棱锥的外接球的半径为
D．两点间的最短距离为
29．（2023秋·江苏南京·高三南京市第九中学校考阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，点分别在线段和上．给出下列四个结论中所有正确结论的序号是（ ）
A．的最小值为1
B．四面体的体积为
C．存在无数条直线与垂直
D．点为所在边中点时，四面体的外接球半径为
三、填空题
30．（2023·江苏徐州·江苏省沛县中学校考模拟预测）在三棱锥中，，且，则直线PC与平面ABC所成角的余弦值为 .
31．（2023·江苏·校联考模拟预测）在棱长为6的正四面体中，已知点为该四面体的外接球的球心，则以为球心，为半径的球面与该四面体的表面形成的交线长为 ．
32．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）在正四棱台中，，，M为棱的中点，当正四棱台的体积最大时，平面截该正四棱台的截面面积是 .
33．（2023·江苏镇江·江苏省镇江第一中学校考模拟预测）三棱锥中，，为边长为2的等边三角形，二面角的余弦值为，①三棱锥的体积最大为 ；②当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 .
34．（2023·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）已知菱形ABCD的边长为1，，将沿AC翻折，当三棱锥表面积最大时，其内切球表面积为 .
35．（2023·江苏淮安·统考模拟预测）已知四面体各顶点都在半径为3的球面上，平面平面，直线与所成的角为，则该四面体体积的最大值为 .
36．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）已知正四面体的棱长为3，点满足，过点作平面平行于和，设分别与该正四面体的棱，，相交于点，，，则四边形的周长为 ，四棱锥的体积的最大值为 .
37．（2023秋·江苏常州·高三华罗庚中学校考阶段练习）在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
38．（2023秋·江苏南京·高三校联考阶段练习）在正三棱锥中，底面的边长为4，E为AD的中点，，则以D为球心，AD为半径的球截该棱锥各面所得交线长为 ．
四、双空题
39．（2023·江苏南京·校联考一模）如图，在矩形中，，，，，分别为，，，的中点，与交于点，现将，，，分别沿，，，把这个矩形折成一个空间图形，使与重合，与重合，重合后的点分别记为，，为的中点，则多面体的体积为 ；若点是该多面体表面上的动点，满足时，点的轨迹长度为 ．
40．（2023·江苏·江苏省邗江中学校联考模拟预测）小王自主创业开了一家礼品店，平常需要用彩绳对礼品盒做一个捆扎（要求扎紧绳子不能松动），其中一种长方体的礼品盒一般都是采用“十字捆扎”（如图1所示），后来他又学习了一种新的彩绳捆扎方法“对角捆扎”（如图2所示），并认为“对角捆扎”比一般的“十字捆扎”包装更节省彩绳.设长方体礼品盒的长､宽､高分别为，则“十字捆扎”所需绳长为 ；若采用“对角捆扎”，则所需绳长的最小值为 .（注：长方体礼品盒的高小于长､宽，结果用含的式子表示）
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