压轴小题10 迎刃而解平面解析几何综合问题-【突破压轴冲刺名校】备战2024年新高考数学二轮复习满分秘籍（江苏专用）

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点到直线的距离公式
点，直线，点到直线的距离为：
两条平行线间的距离公式
，，
直线与圆的位置关系
直线，圆
代数关系，几何关系
圆上一点的切线方程
圆与圆的位置关系
设圆的半径为，设圆的半径为，两圆的圆心距为
若，两圆外离，若，两圆外切，若，两圆内切
若，两圆相交，若，两圆内含，若，同心圆
两圆外离，公切线的条数为4条；两圆外切，公切线的条数为3条；
两圆相交，公切线的条数为2条；两圆内切，公切线的条数为1条；
两圆内含，公切线的条数为0条；
弦长公式，直线与圆交于A，B两点，设，，有：
则
或：
椭圆离心率
，
双曲线离心率
，
椭圆焦点三角形的面积公式（椭圆上一点与两焦点组成的三角形叫做焦点三角形）
双曲线焦点三角形面积公式：
抛物线（焦点在x轴上）焦点弦相关结论，直线A,B过抛物线（焦点在x轴上）焦点与抛物线交于A，B两点，设，有
6.椭圆离心率求解的5种常用方法
公式1:
公式2: 变形
证明:
公式3:已知棚圆方程为,两焦点分别为,
设焦点三角形,,则椭圆的离心率
证明:,
由正弦定理得:
由等比定理得:,即
.
公式 4: 以椭圆 两焦点 及椭圆上任一点 (除长轴两端点外) 为顶点 , 则
证明: 由正弦定理有.
公式5:点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则
当曲线焦点在轴上时,
注:或者而不是或
7.双曲线离心率求解的5种常用方法
公式1:
公式
证明:
公式3:已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则
证明:,
由正弦定理得:
由等比定理得:
即。
公式4:以双曲线的两个焦点及双曲线上任意一点除实轴上两个端点外)为顶点的,则离心率
证明:由正弦定理,有
即
又
公式5:点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则,当曲线焦点在轴上时,
注:或者而不是或
8.椭圆中的阿基米德三角形
设椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的弦为 AB, 过A，B两点做椭圆切线，交于Q点，称△ABQ 为阿基米德三角形, 则有:
性质 1: 弦 AB 绕着定点 Pm,0 转动时, 则其所对顶点 Q 落在直线 x=a2m 上.
其中, 当 P 点为左 (右) 焦点时, Q 点位于左 (右) 准线上.
性质 2: 直线 AQ,PQ,BQ 的斜率成等差数列, 即 kPQ=kAQ+kBQ.
性质 3: 当 P 点为焦点时, PQ⊥AB.
9.双曲线中的阿基米德三角形
设双曲线 C:x2a2−y2b2=1a,b>0 的弦为 AB,过A，B两点做双曲线切线，交于Q点，称△ABQ 为阿基米德三角形, 则有:
性质 1: 弦 AB 绕者定点 Pm,0 转动时, 则其所对顶点 Q 落在直线 x=a2m 上.
其中, 当 P 点为左 (右) 焦点时, Q 点位于左 (右) 准线上.
性质 2: 直线 AQ,PQ,BQ 的斜率成等差数列, 即 kPQ=kAQ+kBQ.
性质 3: 当 P 点为焦点时, PQ⊥AB.
10.抛物线中的阿基米德三角形
抛物线的弦为 AB,过A，B两点做抛物线切线，交于Q点，称△ABQ 为阿基米德三角形, 则有:
阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴
若阿基米德三角形的底边即弦 AB 过抛物线内的定点 C, 则另一顶点 Q 的轨迹为一条直线
若直线 l 与抛物线没有公共点，以 l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点 (若直线 l 方程为: ax+by+c=0, 则定点的坐标为 Cca,−bpa.
底边为 a 的阿基米德三角形的面积最大值为 a38p.
若阿基米德三角形的底边过焦点, 顶点 Q 的轨迹为准线, 且阿基米德三角形的面积最小值为 p2
在阿基米德三角形中, ∠QFA=∠QFB
AF⋅BF=QF2.
抛物线上任取一点 I (不与 A,B 重合), 过 I 作抛物线切线交 QA,QB 于 S,T,连接 AI,BI, 则 △ABI 的面积是 △QST 面积的 2 倍
压轴训练
一、单选题
1．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）如图，已知是双曲线的左､右焦点，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为（ ）

A．B．C．D．
2．（2023·江苏南通·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，以为圆心的圆与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，线段与交于点.若与的焦距的比值为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）已知直线l1：与l2：相交于点M，线段AB是圆C：的一条动弦，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知向量，满足的动点的轨迹为，经过点的直线与有且只有一个公共点，点在圆上，则的最小值为（ ）．
A．B．
C．D．1
5．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知椭圆）的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的内切圆的半径满足，则（其中为椭圆的离心率）的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023春·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）双曲线的左，右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交双曲线于两点，的内切圆圆心分别为，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·江苏南京·南京市第五高级中学校考二模）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·江苏南通·二模）已知F1，F2分别是双曲线C：的左、右焦点，点P在双曲线上，，圆O：，直线PF1与圆O相交于A，B两点，直线PF2与圆O相交于M，N两点．若四边形AMBN的面积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线E上一点，，的平分线与x轴交于点Q，，则双曲线E的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
10．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）已知、是椭圆与双曲线的公共顶点，是双曲线上一点，，交椭圆于，.若过椭圆的焦点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
11．（2023春·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）人教版必修第一册第92页上“探究与发现”的学习内容是“探究函数的图象与性质”，经探究它的图象实际上是双曲线.现将函数的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于轴上的双曲线，则该双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
12．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）圆柱高为1，下底面圆的直径长为2，是圆柱的一条母线，点分别在上、下底面内（包含边界），下列说法正确的有（ ）．
A．若，则点的轨迹为圆
B．若直线与直线成，则的轨迹是抛物线的一部分
C．存在唯一的一组点，使得
D．的取值范围是
13．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）若点P是棱长为2的正方体表面上的动点，点M是棱的中点，则（ ）
A．当点P在底面内运动时，三棱锥 的体积为定值
B．当时，线段长度的最大值为4
C．当直线AP与平面所成的角为45°时，点P的轨迹长度为
D．直线DM被正方体 的外接球所截得的线段的长度为
14．（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）过圆：内一点作两条互相垂直的弦，，得到四边形，则（ ）
A．的最小值为4
B．当时，
C．四边形面积的最大值为16
D．为定值
15．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知过抛物线焦点的直线交于两点，交的准线于点，其中点在线段上，为坐标原点，设直线的斜率为，则（ ）
A．当时，B．当时，
C．存在使得D．存在使得
16．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知经过点的圆C的圆心坐标为 (t为整数)，且与直线l： 相切，直线m：与圆C相交于A、B两点，下列说法正确的是（ ）
A．圆C的标准方程为
B．若，则实数a的值为
C．若，则直线m的方程为或
D．弦AB的中点M的轨迹方程为
17．（2023春·江苏南京·高三南京市宁海中学校考阶段练习）已知曲线，抛物线，为曲线上一动点，为抛物线上一动点，与两条曲线都相切的直线叫做这两条曲线的公切线，则以下说法正确的有（ ）．
A．直线是曲线和的公切线；
B．曲线和的公切线有且仅有一条；
C．最小值为；
D．当轴时，最小值为．
18．（2023秋·江苏南京·高三金陵中学校考阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别是，点在双曲线的右支上，则（ ）
A．若直线的斜率为，则
B．使得为等腰三角形的点有且仅有四个
C．点到两条渐近线的距离乘积为
D．已知点，则的最小值为5
19．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）在平面直角坐标系xOy中，P是直线l：x＋y＋2＝0上一点(除去与x轴的交点)，过P作抛物线C：x2＝2y的两条切线，切点分别为A，B，直线PA，PB与x轴分别交于点M，N，则（ ）
A．直线AB过定点(－1，2)B．MN的最小值为
C．∠MPN为锐角D．最小值为－1
20．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，直线l与C交于，两点，其中点A在第一象限，点M是AB的中点，作MN垂直于准线，垂足为N，则下列结论正确的是（ ）
A．若直线l经过焦点F，且，则
B．若，则直线l的倾斜角为
C．若以AB为直径的圆M经过焦点F，则的最小值为
D．若以AB为直径作圆M，则圆M与准线相切
21．（2023·江苏徐州·江苏省沛县中学校考模拟预测）已知为坐标原点，椭圆.过点作斜率分别为和的两条直线，，其中与交于两点，与交于两点，且，则（ ）
A．的离心率为B．
C．D．四点共圆
22．（2023秋·江苏南通·高三统考阶段练习）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，则下列结论正确的是（ ）
A．点的横坐标的取值范围是
B．的取值范围是
C．面积的最大值为
D．的取值范围是
23．（2023·江苏·高三专题练习）设椭圆，，为椭圆上一点，，点关于轴对称，直线分别与轴交于两点，则（ ）
A．的最大值为
B．直线的斜率乘积为定值
C．若轴上存在点，使得，则的坐标为或
D．直线过定点
24．（2023春·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点，且M为的中点．（ ）
A．当时，的斜率为2B．当时，
C．当时，符合条件的直线l有两条D．当时，符合条件的直线l有四条
25．（2023·江苏盐城·校考三模）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆.分别为椭圆的左、右焦点，直线的方程为，为椭圆的蒙日圆上一动点，分别与椭圆相切于两点，为坐标原点，下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的蒙日圆方程为
B．记点到直线的距离为，则的最小值为
C．一矩形四条边与椭圆相切，则此矩形面积最大值为
D．的面积的最小值为，最大值为
26．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P是双曲线C的右支上一点，过点P的直线l与双曲线C的两条渐近线交于M，N，则（ ）
A．的最小值为8
B．若直线l经过，且与双曲线C交于另一点Q，则的最小值为6
C．为定值
D．若直线l与双曲线C相切，则点M，N的纵坐标之积为
27．（2023·江苏·统考模拟预测）椭圆曲线是代数几何中一类重要的研究对象.关于椭圆曲线：，下列结论正确的是（ ）
A．曲线关于点对称
B．曲线关于直线对称
C．当时，曲线上点的横坐标的取值范围为
D．若曲线上存在位于y轴左侧的点，则
28．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）已知抛物线的焦点为，准线为，直线与相交于两点，为的中点，则（ ）
A．若，则
B．若，则直线的斜率为
C．不可能是正三角形
D．当时，点到的距离的最小值为
29．（2023秋·江苏南通·高三统考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点是抛物线：的焦点，点是上异于原点的动点，过点且与相切的直线与轴交于点，设抛物线的准线为，，为垂足，则（ ）
A．当点的坐标为时，直线的方程为
B．设，则的最小值为4
C．
D．
30．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知动圆（），则下列说法正确的是（ ）
A．存在圆经过原点
B．存在圆，其所有点均在第一象限
C．存在定直线，被圆截得的弦长为定值
D．所有动圆仅存在唯一一条公切线
三、填空题
31．（2023秋·江苏·高三淮阴中学校联考开学考试）设椭圆T：的右焦点为F，过点的直线l与椭圆交于点A，B，M为AB的中点，使得是、的等比中项，则a的最小整数值为
32．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）抛物线的焦点为，过的直线交于两点，在两点处的切线交于点，则弦的长为 .
33．（2023秋·江苏淮安·高三统考开学考试）椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，直线与椭圆C交于另一点B，若，则椭圆C的离心率为 ．
34．（2023·江苏徐州·江苏省沛县中学校考模拟预测）已知直线与双曲线C：交于点，.为C上一点，且，，则△PAB的面积最大值为 .
35．（2023秋·江苏南京·高三南京外国语学校校考阶段练习）已知点在抛物线上，过点A作圆的两条切线分别交抛物线于B，C两点，则直线BC的方程为 ．
36．（2023秋·江苏南通·高三统考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆：，过点的动直线与圆交于点，，若的面积最大值为，则的最大值为 .
37．（2023·江苏·统考二模）已知抛物线C：的焦点为F，过动点P的两条直线，均与C相切，设，的斜率分别为，，若，则的最小值为 .
38．（2023·江苏苏州·校联考三模）已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于、两点，已知，若这样的直线有条，则实数的取值范围是 .
39．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知椭圆C:的离心率为，F是左焦点，过F且倾斜角为45°的直线交C于点A，B．设M，N分别是AF和BF的中点，O为坐标原点，若，则的面积为 ．
四、双空题
40．（2023·江苏南通·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，点P在圆上运动，点Q在函数的图象上运动，写出一条经过原点O且与圆C相切的直线方程为 ；若存在点P，Q满足，则实数a的取值范围是 .