压轴大题11 归纳总结梳理数列综合问题-【突破压轴冲刺名校】备战2024年新高考数学二轮复习满分秘籍（江苏专用）

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1．公式法
(1)等差数列的前n项和公式
Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝na1＋eq \f(nn－1,2)d.
(2)等比数列的前n项和公式
①当q＝1时，Sn＝na1；
②当q≠1时，Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q).
2．分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个能求和的数列，再求解．
3．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
常见的裂项技巧：
；
；

指数型；
对数型.
等
4．倒序相加法
把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．
5．错位相减法
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．
万能公式：
形如的数列求和为，
其中，，
6．并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
压轴训练
一、解答题
1．（2022·江苏南京·南京市第一中学校考三模）数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前20项和．
2．（2022·江苏淮安·统考模拟预测）记数列{}的前n项和为.已知，___________.
从①；②；③中选出一个能确定{}的条件，
补充到上面横线处，并解答下面的问题.
(1)求{}的通项公式：
(2)求数列{}的前20项和.
3．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)记数列的前项和为，证明：.
4．（2023春·江苏南京·高三校联考阶段练习）已知数列中，其前项和记为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设无穷数列，，…，…对任意自然数和，不等式均成立，证明：数列是等差数列．
5．（2023·江苏南京·模拟预测）已知无穷数列A：，，…满足：①，，…且；②，设为所能取到的最大值，并记数列：，，….
(1)若数列A为等差数列且，求其公差d；
(2)若，求的值；
(3)若，，求数列的前100项和.
6．（2023秋·江苏苏州·高三江苏省梁丰高级中学校考阶段练习）已知数列中，是其前项的和，，.
(1)求，的值，并证明是等比数列；
(2)证明：.
7．（2022·江苏·高三专题练习）已知为等差数列，为等比数列，，，.
（1）分别求数列和的通项公式；
（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，
（i）求证；
（ii）对任意的正整数，设，求数列的前项和.
8．（2023秋·江苏·高三淮阴中学校联考开学考试）已知是等差数列，．
(1)求的通项公式和．
(2)已知为等比数列，对于任意，若，则，
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及其前项和．
9．（2022·江苏南京·南京市第五高级中学校考模拟预测）已知数列，，为数列的前n项和，，，若，，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明为等差数列；
(3)若数列的通项公式为，令为的前项的和，求．
10．（2022·江苏盐城·江苏省滨海中学校考模拟预测）已知数列满足，．
(1)记，证明：数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)求数列的前2n项和．
11．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如皋中学校考开学考试）在①成等比数列，且；②且这两个条件中任选一个填入下面的横线上并解答.已知数列是公差不为0的等差数列，，其前n项和为，数列的前n项和为，若_______.注.如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
(1)求数列的前n项和.
(2)设等比数列的首项为2，公比为，其前n项和为，若存在正整数m，使得，求q的值.
12．（2022春·江苏南京·高三南京市第一中学校考开学考试）已知等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列，数列的前项和为，满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若数列满足：，，求使得成立的所有值.
13．（2022秋·江苏盐城·高三期中）若无穷数列{}满足如下两个条件，则称{}为无界数列：
①（n=1，2，）
②对任意的正数，都存在正整数N，使得n>N，都有.
(1)若，（n=1，2，），判断数列{}，{}是否是无界数列；
(2)若，是否存在正整数k，使得对于一切，都有成立？若存在，求出k的范围；若不存在说明理由；
(3)若数列{}是单调递增的无界数列，求证：存在正整数m，使得.
14．（2023·江苏盐城·盐城市伍佑中学校考模拟预测）已知定义在上的函数．
(1)若曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，求k的值；
(2)将的所有极值点按照从小到大的顺序排列构成数列，若成等差数列，求k的值．
15．（2023秋·江苏·高三统考阶段练习）第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知．
①试证明：为等比数列；
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较p10与q10的大小．
16．（2022·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）设，若无穷数列满足以下性质，则称为数列：①，（且）．②的最大值为k．
(1)若数列为公比为q的等比数列，求q的取值范围，使得为数列．
(2)若数列满足：，使得成等差数列，
①数列是否可能为等比数列？并说明理由；
②记数列满足，数列满足，且，判断与的单调性，并求出时，n的值．
17．（2022秋·江苏南通·高三启东中学校考阶段练习）已知各项都为正数的数列的前项和为，且对任意的，都有其中，且为常数，记数列的前项和为
(1)求数列的通项公式及
(2)当时，将数列的前项抽去其中一项后，剩下三项按原来的顺序恰为等比数列的前项，记的前项和为，若存在，使得对任意，总有恒成立，求实数的取值范围
18．（2022秋·江苏常州·高三常州市第一中学校考阶段练习）已知正项数列满足，.数列满足各项均不为0，，其前n项的乘积.
(1)求数列通项公式；
(2)设，求数列的通项公式；
(3)记数列的前项的和，求使得不等式成立的正整数m的最小值.
19．（2023秋·江苏南通·高三江苏省如皋中学校考阶段练习）现代排球赛为5局3胜制，每局25分，决胜局15分. 前4局比赛中，一队只有赢得至少25分，并领先对方2分时，才胜1局. 在第5局比赛中先获得15分并领先对方2分的一方获胜. 在一个回合中，赢的球队获得1分，输的球队不得分，且下一回合的发球权属于获胜方. 经过统计，甲、乙两支球队在每一个回合中输赢的情况如下：当甲队拥有发球权时，甲队获胜的概率为；当乙队拥有发球权时，甲队获胜的概率为.
(1)假设在第1局比赛开始之初，甲队拥有发球权，求甲队在前3个回合中恰好获得2分的概率；
(2)当两支球队比拼到第5局时，两支球队至少要进行15个回合，设甲队在第个回合拥有发球权的概率为. 假设在第5局由乙队先开球，求在第15个回合中甲队开球的概率，并判断在此回合中甲、乙两队开球的概率的大小.
20．（2022秋·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级中学校考期中）已知数列满足，，．
(1)证明：数列为等比数列，求的通项公式．
(2)若数列的前项和为，且恒成立，求实数的取值范围．
21．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）等差数列的前项和为，且.数列的前项和为，且
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，求.
22．（2022秋·江苏·高三江苏省新海高级中学校联考阶段练习）已知函数和，它们的图像分别为曲线和.
(1)求函数的单调区间；
(2)证明：曲线和有唯一交点；
(3)设直线与两条曲线共有三个不同交点，并且从左到右的三个交点的横坐标依次为，求证：成等比数列.
23．（2023春·江苏南京·高三南京市第二十九中学校考阶段练习）设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足（）.
（1）求数列的通项公式；
（2）试确定的值，使得数列为等差数列；
（3）当为等差数列时，对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列. 设是数列 的前项和，试求满足的所有正整数.
24．（2023·江苏盐城·盐城中学一模）已知数列满足，且成等差数列.
（Ⅰ）求的值和的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
25．（2023秋·江苏南通·高三统考阶段练习）已知数列的前项和为，当时，满足.
（1）求证：；
（2）求证：数列为等差数列；
（3）若，公差，问是否存在，，使得？如果存在，求出所有满足条件的，，如果不在，请说明理由.
26．（2023·江苏南通·三模）设是各项均为正数的等差数列，，是和的等比中项，的前项和为，.
（1）求和的通项公式;
（2）设数列的通项公式.
（i）求数列的前项和；
（ii）求.
27．（2023秋·江苏南通·高三统考开学考试）已知正项数列的前项和为，且．数列满足，为数列的前项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
28．（2023秋·江苏南京·高三南京市第九中学校考阶段练习）定义：若无穷数列满足是公比为q的等比数列，则称数列为“数列”.设数列中，，.
（1）若，且数列为“数列”，求数列的通项公式：
（2）设数列的前n项和为，且，请判断数列是否为“数列”，并说明理由；
（3）若数列是“数列”，是否存在正整数m，n，使得？若存在，请求出所有满足条件的正整数m，n；若不存在，请说明理由.
29．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）已知正项数列{}中，，是其前n项和，且满足
(1)求数列{}的通项公式：
(2)已知数列{}满足，设数列{}的前n项和为，求的最小值.
30．（2023秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）已知在数列中，和为方程的两根，且．
(1)求的通项公式；
(2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．