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沪科版八年级下册18.1 勾股定理教课ppt课件
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这是一份沪科版八年级下册18.1 勾股定理教课ppt课件，共46页。PPT课件主要包含了数学天地，习题181等内容，欢迎下载使用。
18 .1 勾 股 定 理
在行距、列距都是1的方格网中，任意作出几个以格点为顶点的直角三角形，分别以三角形的各边为正方形的一边，向形外作正方形，如图18-1.并以S1，S2与S3；分别表示几个正方形的面积.
观察图 18－1(1)，并填写：
S1＝__________个单位面积；S2＝__________个单位面积；S3＝__________个单位面积.
观察图 18－1(2)，并填写：
图18－1(1)，(2)中三个正方形面积之间有怎样的关系，用它们的边长表示，是：_______________________.
通过上面的探究，你能发现直角三角形三边的长之间有怎样的关系吗?
直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方.
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦. 因此，我们称上述定理为勾股定理国外称为毕达哥拉斯定理.
如果直角三角形的两直角边用 a，b表示，斜边用 c 表示，那么勾股定理可表示为
a2 ＋ b2 ＝ c2 .
已知：如图18－2(1)，在 Rt△ABC 中∠C ＝90°，AB ＝c，BC ＝a，AC ＝ b.
求证：a2 ＋ b2 ＝ c2.
下面，用面积计算来证明这个定理.
证明 取4个与 Rt△ABC 全等的直角三角形，把它们拼成如图 18－2(2)所示的边长为 a＋b的正方形 EFGH .
从图中可见，A1B1＝ B1C1 ＝C1D1＝A1D1＝c.因为∠B1A1E ＋ ∠A1B1E ＝90°，而 ∠A1B1E ＝ ∠D1A1H，因此∠B1A1E ＋ ∠D1A1H ＝ 90°， ∠D1A1B1 ＝ 90°.
同理： ∠A1B1C1 ＝ ∠B1C1D1＝ ∠C1D1A1 ＝ 90°， 所以四边形A1B1C1D1，是边长为 c的正方形.
正方形 EFGH 和正方形 A1B1C1D1的面积分别记作 S正方形EFGH和 S正方形A1B1C1D1则
S正方形EFGH－ 4S△ABC ＝ S正方形A1B1C1D1
a2 ＋ b2 ＝ c2.
例1 现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如图 .已知云梯最多只能伸长到10m，消防车高 3 m. 救人时云梯伸至最长，在完成从9 m 高处救人后，还要从 12 m 高处救人，这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近多少米?(精确到 0.1 m)
分析：如图，设A是云梯的下端点，AB 是伸长后的云梯，B 是第一次救人的地点，D 是第二次救人的地点，过点A的水平线与楼房 ED 的交点为O.则OB ＝9－3＝6(m)，OD ＝12－3＝9(m).
AO2＝AB2－OB2＝102－62＝64.
设 AC ＝x，则 OC ＝8－x，于是根据勾股定理，得
OC2 ＋ OD2 ＝ CD2，
即 (8－x)2 ＋ 92 ＝ 102，
请根据上述分析写出解题过程.
例2 已知：如图18 － 4，在 Rt△ABC 中两直角边AC ＝ 5，BC ＝ 12. 求斜边上的高 CD 的长.
解 在 Rt△ABC 中，
AB2 ＝ AC2 ＋ BC2 ＝ 52 ＋ 122 ＝ 169，
又∵ Rt△ABC 的面积
1. 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b. (1) a ＝ 6，b ＝ 8，求c；
1. 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b. (2) a ＝ 8，c ＝ 17，求b.
2. 如图，楼梯的高度为 2 m，楼梯坡面的长度为 4 m，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米?(精确到0.1 m)
由题意知：∠C ＝ 90°，AB ＝ 4m，AC ＝ 2m
3.(1) 如图，长3 m的梯子斜靠着墙，梯子 底端离墙底 0.6 m，问梯子顶端离地 面多少米? (精确到 0.1m)
(2) 题(1)中，若梯子的顶端自墙面下滑了 0.9 m，那么梯子的底端沿地面向外滑 动的距离是否也为 0.9 m? 说明理由.
设水池的深度为x尺，由题意得：x2＋52＝ (x＋1)2，解得： x＝12，则x＋1＝13.答：水深12尺，芦苇长13尺
长度为正整数的算术平方根的线段，可以用尺规作图的方法作出来.下面介绍一种有趣的方法，你能说出其中的道理吗?
如上继续下去，可以作出长度为任一正整数的算术平方根的线段.
1.在△ABC中，∠C ＝90°，填空：
(1) 如果AB＝10， BC∶AC＝3∶4，那么 BC ＝_______， AC ＝ ______；
(2) 如果 AC ＝1， ∠B ＝ 30°，那么 AB ＝_______， BC ＝ _______；
2. 已知：在△ABC中，AB ＝ AC ＝ 17，BC ＝ 16. 求 △ABC的高AD的长.
如图所示∵AB ＝ AC ＝ 17∴△ABC是等腰三角形∵AD是△ABC的高，BC ＝ 16.
3. 已知直角三角形的三边长是三个连续自然数，求三 边长.
设三边长分别为 x－1，x ，x＋1由勾股定理可得(x－1)2＋x2＝ (x＋1)2解得 x1＝0 (舍去) ，x2＝4，∴ 三边长分别为 3，4，5.
4. 求边长为 a 的等边三角形的面积.
5. 如图，从电线杆上离地面 h ＝ 8 m 的点 A 处，向地面 拉一条长 l ＝ 12 m 的缆绳，这条缆绳拉直后在地面上 点 B 处固定，点 B 离电线杆底部点C 的距离是多少米? (精确到 0.1 m)
6. 如图，要修一个塑料蔬菜大棚，棚宽 b ＝3 m，高 h ＝1.5 m，长l＝10 m.求覆盖在顶上的长方形塑料薄膜 需要多少平方米?(精确到 0.1 m2)
7. 如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有A处需要爆破.已知点 A 与公路上的停靠站 B，C 的距离分别为400 m和300 m，且AC⊥AB. 为了安全起见，如果爆破点A 周围半径 250 m 的区域内不能有车辆和行人，问在进行爆破时，公路 BC 段是否需要暂时封闭?为什么?
18 .1 勾 股 定 理
在行距、列距都是1的方格网中，任意作出几个以格点为顶点的直角三角形，分别以三角形的各边为正方形的一边，向形外作正方形，如图18-1.并以S1，S2与S3；分别表示几个正方形的面积.
观察图 18－1(1)，并填写：
S1＝__________个单位面积；S2＝__________个单位面积；S3＝__________个单位面积.
观察图 18－1(2)，并填写：
图18－1(1)，(2)中三个正方形面积之间有怎样的关系，用它们的边长表示，是：_______________________.
通过上面的探究，你能发现直角三角形三边的长之间有怎样的关系吗?
直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方.
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦. 因此，我们称上述定理为勾股定理国外称为毕达哥拉斯定理.
如果直角三角形的两直角边用 a，b表示，斜边用 c 表示，那么勾股定理可表示为
a2 ＋ b2 ＝ c2 .
已知：如图18－2(1)，在 Rt△ABC 中∠C ＝90°，AB ＝c，BC ＝a，AC ＝ b.
求证：a2 ＋ b2 ＝ c2.
下面，用面积计算来证明这个定理.
证明 取4个与 Rt△ABC 全等的直角三角形，把它们拼成如图 18－2(2)所示的边长为 a＋b的正方形 EFGH .
从图中可见，A1B1＝ B1C1 ＝C1D1＝A1D1＝c.因为∠B1A1E ＋ ∠A1B1E ＝90°，而 ∠A1B1E ＝ ∠D1A1H，因此∠B1A1E ＋ ∠D1A1H ＝ 90°， ∠D1A1B1 ＝ 90°.
同理： ∠A1B1C1 ＝ ∠B1C1D1＝ ∠C1D1A1 ＝ 90°， 所以四边形A1B1C1D1，是边长为 c的正方形.
正方形 EFGH 和正方形 A1B1C1D1的面积分别记作 S正方形EFGH和 S正方形A1B1C1D1则
S正方形EFGH－ 4S△ABC ＝ S正方形A1B1C1D1
a2 ＋ b2 ＝ c2.
例1 现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如图 .已知云梯最多只能伸长到10m，消防车高 3 m. 救人时云梯伸至最长，在完成从9 m 高处救人后，还要从 12 m 高处救人，这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近多少米?(精确到 0.1 m)
分析：如图，设A是云梯的下端点，AB 是伸长后的云梯，B 是第一次救人的地点，D 是第二次救人的地点，过点A的水平线与楼房 ED 的交点为O.则OB ＝9－3＝6(m)，OD ＝12－3＝9(m).
AO2＝AB2－OB2＝102－62＝64.
设 AC ＝x，则 OC ＝8－x，于是根据勾股定理，得
OC2 ＋ OD2 ＝ CD2，
即 (8－x)2 ＋ 92 ＝ 102，
请根据上述分析写出解题过程.
例2 已知：如图18 － 4，在 Rt△ABC 中两直角边AC ＝ 5，BC ＝ 12. 求斜边上的高 CD 的长.
解 在 Rt△ABC 中，
AB2 ＝ AC2 ＋ BC2 ＝ 52 ＋ 122 ＝ 169，
又∵ Rt△ABC 的面积
1. 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b. (1) a ＝ 6，b ＝ 8，求c；
1. 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b. (2) a ＝ 8，c ＝ 17，求b.
2. 如图，楼梯的高度为 2 m，楼梯坡面的长度为 4 m，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米?(精确到0.1 m)
由题意知：∠C ＝ 90°，AB ＝ 4m，AC ＝ 2m
3.(1) 如图，长3 m的梯子斜靠着墙，梯子 底端离墙底 0.6 m，问梯子顶端离地 面多少米? (精确到 0.1m)
(2) 题(1)中，若梯子的顶端自墙面下滑了 0.9 m，那么梯子的底端沿地面向外滑 动的距离是否也为 0.9 m? 说明理由.
设水池的深度为x尺，由题意得：x2＋52＝ (x＋1)2，解得： x＝12，则x＋1＝13.答：水深12尺，芦苇长13尺
长度为正整数的算术平方根的线段，可以用尺规作图的方法作出来.下面介绍一种有趣的方法，你能说出其中的道理吗?
如上继续下去，可以作出长度为任一正整数的算术平方根的线段.
1.在△ABC中，∠C ＝90°，填空：
(1) 如果AB＝10， BC∶AC＝3∶4，那么 BC ＝_______， AC ＝ ______；
(2) 如果 AC ＝1， ∠B ＝ 30°，那么 AB ＝_______， BC ＝ _______；
2. 已知：在△ABC中，AB ＝ AC ＝ 17，BC ＝ 16. 求 △ABC的高AD的长.
如图所示∵AB ＝ AC ＝ 17∴△ABC是等腰三角形∵AD是△ABC的高，BC ＝ 16.
3. 已知直角三角形的三边长是三个连续自然数，求三 边长.
设三边长分别为 x－1，x ，x＋1由勾股定理可得(x－1)2＋x2＝ (x＋1)2解得 x1＝0 (舍去) ，x2＝4，∴ 三边长分别为 3，4，5.
4. 求边长为 a 的等边三角形的面积.
5. 如图，从电线杆上离地面 h ＝ 8 m 的点 A 处，向地面 拉一条长 l ＝ 12 m 的缆绳，这条缆绳拉直后在地面上 点 B 处固定，点 B 离电线杆底部点C 的距离是多少米? (精确到 0.1 m)
6. 如图，要修一个塑料蔬菜大棚，棚宽 b ＝3 m，高 h ＝1.5 m，长l＝10 m.求覆盖在顶上的长方形塑料薄膜 需要多少平方米?(精确到 0.1 m2)
7. 如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有A处需要爆破.已知点 A 与公路上的停靠站 B，C 的距离分别为400 m和300 m，且AC⊥AB. 为了安全起见，如果爆破点A 周围半径 250 m 的区域内不能有车辆和行人，问在进行爆破时，公路 BC 段是否需要暂时封闭?为什么?
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