初中数学沪科版八年级下册19.2 平行四边形课文内容ppt课件

这是一份初中数学沪科版八年级下册19.2 平行四边形课文内容ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了回顾复习，概念学习，性质1，性质2，性质3，平行四边形的判定，定理1，定理2，定理3，阅读与思考等内容，欢迎下载使用。
19 . 2 平行四边形
活动1：如果将一个三角形的两边分别按如图的方式平移，会得到什么图形？
思考：请观察颜色相同的两组对边，它们有怎样的位置关系呢？
活动2：观察图形，说出下列图形的对边有什么位置特征.
一组对边平行，一组对边不平行
1. 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
几何语言： ∵ AB∥CD，AD∥BC， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
3. 平行四边形中不相邻的两个顶点连成的线段叫它的 对角线. 如图中的 AC.
平行四边形边和角的性质
平行四边形的对边平行，相邻的内角互为补角除此以外，平行四边形中，边、角还有什么性质呢?
已知：如图19 －11，四边形 ABCD 中，AB∥DC，AD∥BC.
求证：(1) AB ＝DC，AD ＝BC； (2) ∠DAB ＝ ∠DCB， ∠B ＝ ∠D.
(1) AB ＝DC，AD ＝BC；
∵ AB∥DC，AD∥BC.
∴ ∠BAC ＝ ∠DCA，∠BCA ＝∠DAC.
在△ABC 和△CDA 中，
∠BCA ＝ ∠DAC，
∠BAC ＝ ∠DCA，
∴ △ABC ≌ △CDA.(ASA)
∴ AB ＝DC，AD ＝ BC.
(2) ∠DAB ＝ ∠DCB，∠B ＝ ∠D.
解 由(1)知 △ABC ≌ △CDA .
∴ AB ＝DC，AD ＝BC， ∠B ＝∠D .
∠DAB ＝ ∠BAC ＋∠DAC ＝ ∠DCA ＋ ∠BCA ＝ ∠DCB.
由此得到平行四边形的下列性质：
平行四边形的对边相等.
平行四边形的对角相等 .
例1 已知：如图19－12，ABCD 中BE平分∠ABC交 AD 于点 E .
(1) 如果 AE ＝2，求CD 的长；(2) 如果 ∠AEB ＝40°， 求∠C的度数.
(1) 如果 AE ＝2，求CD 的长；
解 ∵ BE平分∠ABC， 并且AD∥BC，
∴ ∠ABE＝∠EBC＝∠AEB.
∴ AB ＝AE ＝2.
又 ∵ CD ＝AB ，
(2) 如果 ∠AEB ＝40°， 求∠C的度数.
∠AEB ＝ ∠ABE ＝40°，
∴ ∠A ＝ 180°－ (40°＋ 40°) ＝100°
又∵ ∠C ＝ ∠A ，
∴ ∠C ＝ 100°.
如图19－13，直线l1∥直线l2，AB，CD 是夹在直线 ll，l2 之间的两条平行线段. 由上面性质 1，可得如下结论：
夹在两条平行线之间的平行线段相等.
如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.
因此，可以用点到直线的距离来定义两条平行线间的距离.
两条平行线之间的距离处处相等.
如图 19 －13 中AE ＝ CF.
解 过点A作AE ⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点 E、点 F，
∴ 线段 AE，AF 的长分别为点 A 到直线 BC和直线 CD的距离.
∴ 线段AE 的长为直线 AD 和直线 BC之间的距离， 线段AF的长为直线AB 和直线 CD 之间的距离.
∵ 在 Rt△ABE 中，∠AEB ＝90°， ∠B ＝45°AB ＝4，
∴ ∠B ＝ ∠BAE.
又 ∵ AE2 ＋ BE2 ＝ AB2，
∴ 2AE2 ＝ 16 .
例3 已知：如图 19 － 15，过△ABC 的三个顶点，分别作对边的平行线，这三条直线两两相交，得△A′B′C′.求证：△ABC的顶点分别是△A'B'C'三边的中点.
分析：如图19－15，要证明点A是B′C′的中点，只要证明AB′＝AC′.
证明 ∵ AB∥B′C，BC∥AB′ .
同理：AC′＝ BC.
∴ AB′＝ AC′ .
同理：BC′ ＝ BA′，CA′＝CB′ .
所以 △ABC 的顶点分别是△A′BC三边的中点 .
∵∠A＝60°∴∠B＝180°－60°＝120°，∠C＝∠B＝60°。∴∠D＝∠B＝120°.
∴CD＝AB＝a，DA＝BC＝b.∴周长为：AB＋BC＋CD＋DA ＝a＋b＋a＋b ＝2a＋2b.
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD，AB∥CD，∴ ∠B＋∠C＝180°，∵ 点E为边BC的中点，∴ BC＝2BE＝2CE，
∴ ∠OAB ＝ ∠OCD， ∠OBA ＝ ∠ODC.
又 AB ＝ DC，
∴ △OAB ≌ △OCD. (为什么?)
∴ OB ＝ OD， OA ＝ OC.
平行四边形对角线互相平分.
解 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ BC ＝AD ＝5.
∴ △ABC 是直角三角形，
∴ AC ＝BC2－AB2 ＝ 52 －32 ＝ 4.
这个四边形的邻边相等，理由如下：
∴ AB＝BC＝CD＝AD，即这个四边形的邻边相等.
将线段 AB 按图 19－18 中所给的方向和距离，平移成线段A′B′，顺次连接点 A，B，B′，A′，构成一个一组对边平行且相等的四边形ABB′A′ .你能说出它一定是平行四边形吗?为什么?
A B
A′ B′
已知：如图19－19，四边形 ABCD 中，AB∥DC，且AB ＝ DC. 求证：四边形ABCD为平行四边形.
证明 连接 AC.
∴ ∠BAC ＝ ∠DCA.
又 AB ＝ CD，AC ＝CA
∴ △ABC ≌ △CDA.
∴ ∠ACB ≌ ∠CAD.
因此，四边形ABCD是平行四边形.
由此得到判定四边形是否为平行四边形的方法有：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
1. 如图19－20，过点A 画两条线段 AB，AD，以点B为圆心、AD 长为半径画弧，再以点 D为圆心、AB长为半径画弧，两弧相交于点 C，
连接 BC，DC . 这样画出的四边形 ABCD 的两组对边分别相等，它是平行四边形吗?为什么?
2.如图19－21，作两条直线l1，l2相交于点 O，在直线l1上截取 OA ＝OC，在直线12上截取 OB ＝OD，连接AB，BC，CD，DA.这样画出的四边形 ABCD的对角线互相平分，它是平行四边形吗? 为什么?
由此可知，判定四边形为平行四边形的方法还有：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
证明 连接BD交AC于点O.
∵ 四边形 ABCD是平行四边形，
∴ AO ＝CO，BO＝DO .
∴ OE ＝AO － AE ＝ CO － CF ＝ OF .
∴ 四边形 BEDF 是平行四边形.
例6 已知，直线l1，l2，l3；互相平行(图19－23)，直线 AC 和直线 A1C1 分别交直线 l1，l2，l3； 于点 A，B，C 和点A1，B1，C1，且AB ＝ BC. 求证：A1B1＝ B1C1.
证明 过点 B1作EF//AC，分别交直线 l1，l3于点E，F.
∴ 四边形ABB1E，BCFB1，都是平行四边形.
∴ EB1＝ AB，B1F ＝ BC.
∴ EB1＝B1F .
又∵ ∠A1EB1 ＝ ∠B1FC1，∠A1B1E ＝ ∠C1B1F，
∴ △ A1B1E ≌ △C1B1F .
∴ A1B1＝B1C1.
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.
作为上述结论的特例，应有如下推论：
经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边.
在图19－23 中直线A1C1向左平移，使得点A1和点 A重合，则可得到上面推论.
证明 过点D作DE′∥BC，DE′交AC于点 E′.
根据例6 得到的结论，点 E′应与点 E重合.
同理，过点 D作 DF//AC，DF交 BC 于点 F，则点F为BC 的中点.
∴ 四边形 DFCE 为平行四边形.
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形中位线定理 三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
1. 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝ ∠D.试判断四边形 ABCD是否是平行四边形，并说明 理由，
3. 已知三角形各边长分别为 6 cm，9 cm，10 cm，求连 接各边中点所组成三角形的周长.
4. 证明平行四边形判定定理 2，3.
① 已知四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD ， 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：连接AC， ∵AD ＝ BC，AB ＝ CD，AC ＝ CA， ∴△ABC ≌ △CDA ， ∴∠ACB ＝ ∠DAC， ∠BAC ＝ ∠DCA， ∴ AD ∥ BC，AB ∥ CD， ∴ 四边形ABCD是平行四边形.
② 已知：四边形ABCD中，AC与BD相交于O， OA ＝ OC、OB ＝ OD ， 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：∵OA ＝ OC，OB ＝ OD， ∠AOB ＝ ∠COD， ∴△OAB ≌ △OCD . ∴∠OAB ＝ ∠OCD， ∴AB ∥ CD，同理：AD ∥ BC， ∴ 四边形ABCD是平行四边形.
1. 三角形重心的力学证明.
重心是一个物理概念. 重力在物体上的作用点，叫做重心.一根质量分布均匀的细棒，用针尖顶住它的什么地方，它在空中就能保持平衡呢?这一点显然是该棒的中点. 细棒的中点就是它的重心.
一块质量均匀的三角形薄板沿底边画平行线把它分成许多平行狭条(图 19－25).当这些狭条分得很细时，每条的重心就在它的中点.所有这些狭条的重心就构成三角形薄板底边上的中线，三角形薄板的重心必定在这条中线上.
同样道理，这个三角形薄板的重心也在另外两条中线上. 由此可见：三角形的三条中线交于一点，这点就是三角形的重心.
(以上关于三角形重心的力学证明内容摘自吴文俊教授所著的《力学在几何中的一些应用》)
类似地，一块质量均匀的平行四边形薄板的重心一定在一组对边中点的连线上(图19－26)，也在另一组对边中点的连线上，因而平行四边形的重心就是上述两条线的交点，也就是这个平行四边形的对角线的交点. 矩形、菱形、正方形的重心在什么地方呢?
2. 三角形重心的几何证明.
本节中例7 以平行四边形性质为基础，推导了三角形的一个性质.下面，再利用平行四边形性质，推导三角形的另一个性质.
已知：如图19－27，AD，BE和CF是△ABC的三条中线.
证明 中线 BE和CF 必定相交，设它们的交点为 O. 取 OB的中点G和OC的中点H，连接 GH，HE，EF和FG.
∵ GH是△OBC的中位线，FE是△ABC的中位线，
∴ GH // FE，CH ＝ FE.
∴ 四边形 EFGH是一个平行四边形.
∴ GO ＝ OE、HO ＝ OF.
∴ AD和 BE 的交点也就是 O.
∴ AD，BE和CF相交于一点O，并且
三角形三条中线的交点就是三角形的重心.
三角形的三条中线相交于一点，这点和各边中点的距离等于相应各边上中线的三分之一.
2. 如图，如果直线 l1∥l2 ，那么△ABC 与△A1BC 面积 相等吗?为什么?
相等；∵l1∥l2，∴l1，l2之间的距离是固定的，∴△ABC和△A′BC的BC边上的高相等。∴△ABC和△A′BC的面积相等.
3. 求证：平行四边形对角线交点到一组对边的距离相等.
如图，已知平行四边形ABCD的对角线相交于O，过O作OE⊥AD，OF⊥BC，垂足分别是E、 F，
∠AEO＝∠CFO ∠DAC＝∠BCA， OA＝OC∴△AOE ≌ △COF(AAS)，∴OE＝OF.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠DAC ＝ ∠BCA，∵OE⊥AD，OF⊥BC，∴∠AEO＝∠CFO＝90°在△AOE和△COF中，
4. 以不在同一直线上的三点为三个顶点作平行四边形， 能作几个?
5. 已知三条线段的长分别为22 cm，16 cm，18 cm，以哪 两条为对角线，其余一条为边，可以画出平行四边形?
分三种情况讨论： ① 由22cm，16cm的两条线段为对角线，18cm的线段为边作一平行四边形，两对角线的一半分别是11cm和8cm，由11＋8＞18，故能构成平行四边形；
②由16cm，18cm的两条线段为对角线，22cm的线段为边作一平行四边形，两对角线的一半分别是8cm和9cm，由8+916，故能构成平行四边形； 综上所述，可以画出形状不同的平行四边形个数为2个.
图中 S□AEPG ＝S□CFPH， S□ABHG ＝S□BCFE， S□ADFE ＝ S□CDGH，
理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形∴ AD∥BC，AB∥CD∵ EF∥BC，GH∥AB∴ AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC∴ 四边形EBHP，四边形GPFD，四边形ABHG，四边形 AEPG，四边形EBCF，四边形CFPH，四边形CDGH， 四边形ADFE都是平行四边形.
∴ S△ABD ＝S△BCD，S△EBP ＝ S△HBP， S△GPD ＝ S△FPD.∴ S△ABD －S△EBP － S△GPD ＝ S△BCD－ S△HBP － S△FPD∴ S□AEPG ＝ S□CFPH∴ S□AEPG ＋ S□BEPH ＝ S□CFPH ＋ S□BEPH， S□AEPG ＋ S□GPFD ＝ S□CFPH ＋ S□GPFD，
∴ S□ABHG ＝ S□BCFE， S□ADFE ＝ S□CDGH.∴图中面积相等的平行四边形有 S□AEPG ＝S□CFPH， S□ABHG ＝S□BCFE， S□ADFE ＝ S□CDGH 共3对.
与△ABP面积相等的三角形有2个，分别为△PBD，△BDQ，理由：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD∥BC， ∴ S△BDP＝S△ABP， ∵ PQ∥BD， ∴ S△BDQ＝S△PBD，
∴ S△PBD＝S△ABP，∴ 与△ABP面积相等的三角 形有2个，分别为△PBD， △BDQ.
8. 判断下列说法是否正确： (1) 一组对边平行、一组对角相等的四边形是平行 四边形. ( ) (2) 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. ( ) (3) 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行 四边形. ( )
(4) 对角线相等且互相垂直的四边形是平行四边形.( )(5) 一组对角相等、一组邻角互补的四边形是平行四 边形. ( )(6) 相邻两角都互补的四边形是平行四边形. ( )
又∵∠3 ＝∠CFB. ∴∠2 ＝ ∠CFB， ∴ AE∥CF，又∵CE∥AF ∴ 四边形AFCE是平行四边形.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC，AD ＝BC，∴ AF∥CE，∵ BE＝DF∴AD－DF＝BC－BE，即AF＝CE，∴四边形AECF是平行四边形.
11. 已知：如图，点 A，C 是直线l同旁的两点，AB ⊥ l， CD ⊥ l，垂足分别是点 B，D， 并 AB ＝ CD. 求证：AC ∥ l .
证明：∵ AB⊥l，CD⊥l. ∴ AB∥CD. 又∵AB＝CD. ∴四边形ABDC是平行四边形。 (一组对边平行且相等的四边形是平行四边形). ∴ AC∥l.
12. 求证：平行四边形一组对边中点的连线必与对角线 互相平分.
如图所示：已知平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：EF与AC、BD互相平分.
证明：如图：连接AF、CE， ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AD∥BC，AD＝BO，AC与BD互相平分 ∵E、F分别是AD、BC的中点， ∴AE＝CF＝DE＝BF ，又∵AD∥BC， ∴四边形AFCE是平行四边形，
∴ EF与AC互相平分，∴EF与BD互相平分，∴EF与AC、BD互相平分.
13. 求证：顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形 是平行四边形.
如图所示：已知E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形.
如图：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴ ∠EAG ＝∠BFG
在△AEG和△FBG中， ∠AGE ＝ ∠BGF ∠EAG＝∠BFG AE ＝ BF∴△AEG ≌ △FBG(AAS)，∴EG＝BG，∴G为BE中点.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AD＝BC，∵ AE＝BF，∴ ED＝FC，同理△DHE ≌ △FHC (AAS)，∴ EH＝CH，∴ H为CE的中点，
证明：作简单示意图.过点D作DG∥BF交AC于点 G.∵ AD是△ABC的中线.∴ BD＝DC.又∵DG∥BF.