第七章 万有引力与宇宙航行 专题强化　天体运动的分析与计算 学案（学生版+教师版）—2024年春高中物理人教版必修二

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专题强化　天体运动的分析与计算[学习目标]　1.掌握处理星体绕中心天体做圆周运动的基本思路(重点)。2.掌握星体绕中心天体做圆周运动的物理量与轨道半径的关系(重难点)。3.会分析天体运动中的“最远”和“最近”问题(重难点)。一、天体运动参量的分析与计算1．一般卫星(或行星)的运动可看成匀速圆周运动，其所需向心力与万有引力的关系可写为：Geq \f(Mm,r2)＝m________＝meq \f(v2,r)＝m________r＝meq \f(4π2,T2)r。2．根据1中的关系式推导向心加速度大小an、线速度大小v、角速度ω、周期T与轨道半径r的关系。eq \f(GMm,r2)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(man→an＝\f(GM,r2)→an∝　　　　,m\f(v2,r)→v＝\r(\f(GM,r))→v∝　　　　,mω2r→ω＝\r(\f(GM,r3))→ω∝　　　　,m\f(4π2,T2)r→T＝\r(\f(4π2r3,GM))→T∝　　　　))“一定四定”，越高越________(选填“快”或“慢”)。3．忽略地球自转时，mg＝Geq \f(Mm,R2)，整理可得：GM＝________，当GM未知时，可用________替换后进行有关计算，此式被称为“黄金代换公式”。1．在同一圆轨道上运行的不同卫星，它们的v、ω、T、an有何特点？________________________________________________________________________________________________________________________________________________2．同一轨道上的同向绕行的两卫星是否有可能相撞？________________________________________________________________________________________________________________________________________________例1　如图所示，是在同一平面不同轨道上的三颗质量相同的人造地球卫星，均绕地球做匀速圆周运动。关于各物理量的关系，下列说法不正确的是(　　)A．线速度大小vA>vB>vCB．周期TA>TB>TCC．向心加速度大小aA>aB>aCD．角速度ωA>ωB>ωC例2　(2020·浙江7月选考)火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的(　　)A．轨道周长之比为2∶3B．线速度大小之比为eq \r(3)∶eq \r(2)C．角速度大小之比为2eq \r(2)∶3eq \r(3)D．向心加速度大小之比为9∶4例3　2021年4月29日，天和核心舱的成功发射标志着中国空间站建设拉开了帷幕。若空间站质量为m，空间站距地面高度为h，地球半径为R，引力常量为G。忽略地球自转的影响，地球表面重力加速度为g，求：(1)空间站受地球引力大小；(2)空间站环绕地球运行的周期；(3)空间站环绕地球运行的向心加速度大小。________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________二、卫星相距“最近”“最远”问题两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动时，a卫星的角速度为ωa，b卫星的角速度为ωb。若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近，如图所示。推导第n次两卫星相距最远和最近的条件：1.当两卫星第一次相距最远时，a比b多走________圈，如图所示。它们转过的角度之差Δθ＝________，即满足ωaΔt－ωbΔt＝________，第二次：ωaΔt－ωbΔt＝________。故第n次两卫星相距最远的条件：ωat－ωbt＝eq \f(2π,T1)t－eq \f(2π,T2)t＝(2n－1)π(n＝1,2,3…)。2．当两卫星在此之后第一次相距最近时，它们转过的角度之差Δθ＝________，即满足ωaΔt－ωbΔt＝________时，两卫星再次相距最近。第二次：ωaΔt－ωbΔt＝4π。第n次两卫星相距最近的条件：ωat－ωbt＝eq \f(2π,T1)t－eq \f(2π,T2)t＝2nπ(n＝1,2,3…)。例4　(2022·苏州市木渎高级中学高一期中)2022年6月5日，我国成功发射神舟十四号载人飞船，3名航天员进驻核心舱。假设神舟十四号在飞行的过程中绕地球沿圆轨道运行，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，飞船绕地球运行的周期为T。(1)求飞船离地面的高度h；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)如图所示，卫星A与神舟十四号载人飞船B在同一轨道平面，已知卫星A运行方向与B相同，A的轨道半径为B的2倍，某时刻A、B相距最近，则至少经过多长时间它们再一次相距最近？________________________________________________________________________________________________________________________________________________专题强化　天体运动的分析与计算[学习目标]　1.掌握处理星体绕中心天体做圆周运动的基本思路(重点)。2.掌握星体绕中心天体做圆周运动的物理量与轨道半径的关系(重难点)。3.会分析天体运动中的“最远”和“最近”问题(重难点)。一、天体运动参量的分析与计算1．一般卫星(或行星)的运动可看成匀速圆周运动，其所需向心力与万有引力的关系可写为：Geq \f(Mm,r2)＝man＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r。2．根据1中的关系式推导向心加速度大小an、线速度大小v、角速度ω、周期T与轨道半径r的关系。eq \f(GMm,r2)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(man→an＝\f(GM,r2)→an∝\f(1,r2),m\f(v2,r)→v＝\r(\f(GM,r))→v∝\f(1,\r(r)),mω2r→ω＝\r(\f(GM,r3))→ω∝\f(1,\r(r3)),m\f(4π2,T2)r→T＝\r(\f(4π2r3,GM))→T∝\r(r3)))“一定四定”，越高越慢(选填“快”或“慢”)。3．忽略地球自转时，mg＝Geq \f(Mm,R2)，整理可得：GM＝gR2，当GM未知时，可用gR2替换后进行有关计算，此式被称为“黄金代换公式”。1．在同一圆轨道上运行的不同卫星，它们的v、ω、T、an有何特点？答案　卫星的轨道半径r确定后，其相对应的线速度大小、角速度、周期和向心加速度大小是唯一的，与卫星的质量无关，即同一轨道上的不同卫星具有相同的周期、线速度大小、角速度和向心加速度大小。2．同一轨道上的同向绕行的两卫星是否有可能相撞？答案　不可能。同一轨道上同向绕行的两卫星，线速度大小相等，相对静止，故不可能相撞。例1　如图所示，是在同一平面不同轨道上的三颗质量相同的人造地球卫星，均绕地球做匀速圆周运动。关于各物理量的关系，下列说法不正确的是(　　)A．线速度大小vA>vB>vCB．周期TA>TB>TCC．向心加速度大小aA>aB>aCD．角速度ωA>ωB>ωC答案　B解析　由题意可得eq \f(GMm,R2)＝meq \f(v2,R)＝meq \f(4π2,T2)R＝mω2R＝ma，则a＝eq \f(GM,R2)，v＝eq \r(\f(GM,R))，ω＝eq \r(\f(GM,R3))，T＝eq \r(\f(4π2R3,GM))，由题图可知RAvB>vC，aA>aB>aC，ωA>ωB>ωC，故选B。例2　(2020·浙江7月选考)火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的(　　)A．轨道周长之比为2∶3B．线速度大小之比为eq \r(3)∶eq \r(2)C．角速度大小之比为2eq \r(2)∶3eq \r(3)D．向心加速度大小之比为9∶4答案　C解析　轨道周长C＝2πr，与半径成正比，故轨道周长之比为3∶2，故A错误；根据万有引力提供向心力有eq \f(GMm,r2)＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \r(\f(GM,r))，则eq \f(v火,v地)＝eq \r(\f(r地,r火))＝eq \f(\r(2),\r(3))，故B错误；由万有引力提供向心力有eq \f(GMm,r2)＝mω2r，得ω＝eq \r(\f(GM,r3))，则eq \f(ω火,ω地)＝eq \r(\f(r地3,r火3))＝eq \f(2\r(2),3\r(3))，故C正确；由eq \f(GMm,r2)＝ma，得a＝eq \f(GM,r2)，则eq \f(a火,a地)＝eq \f(r地2,r火2)＝eq \f(4,9)，故D错误。例3　2021年4月29日，天和核心舱的成功发射标志着中国空间站建设拉开了帷幕。若空间站质量为m，空间站距地面高度为h，地球半径为R，引力常量为G。忽略地球自转的影响，地球表面重力加速度为g，求：(1)空间站受地球引力大小；(2)空间站环绕地球运行的周期；(3)空间站环绕地球运行的向心加速度大小。答案　(1)eq \f(gR2m,R＋h2)　(2)2πeq \r(\f(R＋h3,gR2))　(3)eq \f(gR2,R＋h2)解析　(1)设地球质量为M，空间站受地球引力大小为F＝eq \f(GMm,R＋h2)，在地球表面有Geq \f(Mm,R2)＝mg，解得GM＝gR2，所以F＝eq \f(gR2m,R＋h2)(2)由万有引力提供向心力得eq \f(GMm,R＋h2)＝meq \f(4π2h＋R,T2)，解得T＝2πeq \r(\f(R＋h3,GM))，又GM＝gR2，代入上式得T＝2πeq \r(\f(R＋h3,gR2))(3)由万有引力提供向心力得eq \f(GMm,R＋h2)＝ma，解得a＝eq \f(GM,R＋h2)，又GM＝gR2代入上式得：a＝eq \f(gR2,R＋h2)。二、卫星相距“最近”“最远”问题两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动时，a卫星的角速度为ωa，b卫星的角速度为ωb。若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近，如图所示。推导第n次两卫星相距最远和最近的条件：1.当两卫星第一次相距最远时，a比b多走半圈，如图所示。它们转过的角度之差Δθ＝π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝π，第二次：ωaΔt－ωbΔt＝2π＋π。故第n次两卫星相距最远的条件：ωat－ωbt＝eq \f(2π,T1)t－eq \f(2π,T2)t＝(2n－1)π(n＝1,2,3…)。2．当两卫星在此之后第一次相距最近时，它们转过的角度之差Δθ＝2π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝2π时，两卫星再次相距最近。第二次：ωaΔt－ωbΔt＝4π。第n次两卫星相距最近的条件：ωat－ωbt＝eq \f(2π,T1)t－eq \f(2π,T2)t＝2nπ(n＝1,2,3…)。例4　(2022·苏州市木渎高级中学高一期中)2022年6月5日，我国成功发射神舟十四号载人飞船，3名航天员进驻核心舱。假设神舟十四号在飞行的过程中绕地球沿圆轨道运行，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，飞船绕地球运行的周期为T。(1)求飞船离地面的高度h；(2)如图所示，卫星A与神舟十四号载人飞船B在同一轨道平面，已知卫星A运行方向与B相同，A的轨道半径为B的2倍，某时刻A、B相距最近，则至少经过多长时间它们再一次相距最近？答案　(1)eq \r(3,\f(gR2T2,4π2))－R　(2)eq \f(8＋2\r(2),7)T解析　(1)飞船绕地球沿圆轨道运行，根据万有引力提供向心力有Geq \f(Mm,R＋h2)＝meq \f(4π2,T2)(R＋h)；在地球表面，根据万有引力近似等于重力有Geq \f(Mm′,R2)＝m′g，解得飞船离地面的高度为h＝eq \r(3,\f(gR2T2,4π2))－R。(2)根据开普勒第三定律有eq \f(rA3,TA2)＝eq \f(rB3,T2)，又rA＝2rB，解得TA＝2eq \r(2)T，设经过t时间它们再一次相距最近，则有eq \f(2π,T)t－eq \f(2π,TA)t＝2π，解得t＝eq \f(8＋2\r(2),7)T。