山东省泰安市宁阳县2023-2024学年七年级上学期期中数学试题（原卷+解析）

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150分 时间120分钟
一、选择题（每题4分，12小题共48分）
1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．不是轴对称图形，故C不符合题意；
D．不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（ ）
A. 三角形的中点B. 三条角平分线的交点
C. 三边高的交点D. 三边中线的交点
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得：支撑点应是三角形的重心．根据三角形的重心是三角形三边中线的交点．
【详解】解：支撑点应是三角形的重心，
三角形的重心是三角形三边中线的交点，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形重心的概念和性质．注意数学知识在实际生活中的运用．
3. 下面四个图形中，线段是的高的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形高的定义，即从三角形的一个顶点，向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高，熟练掌握知识点是解题的关键．根据三角形高的定义进行判断．
【详解】解：线段是的高的是
故选：B．
4. 下列选项中分别说明了三条线段的长度，其中以为边不能构成三角形的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、因为，所以以为边不能构成三角形，故本选项符合题意；
B、因为，所以以为边能构成三角形，故本选项不符合题意；
C、因为，所以以为边能构成三角形，故本选项不符合题意；
D、因为，所以以为边能构成三角形，故本选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边是解题的关键．
5. 下列语句：①顶角、底角都相等的两个等腰三角形一定全等；②两个等边三角形一定是全等图形；③如果两个三角形全等，它们的形状和大小一定都相同； ④三个角一一对应相等的两个三角形一定全等．其中错误的说法有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形全等的判定及性质，进行解题即可.
【详解】①顶角、底角都相等的两个等腰三角形一定全等，错误；
②两个等边三角形一定是全等图形，错误；
③如果两个三角形全等，它们的形状和大小一定都相同，正确；
④三个角一一对应相等的两个三角形一定全等，错误.
故选D
【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质，掌握三角形全等的判定及性质是解题的关键.
6. 如图，已知，，要得到，则不能添加的条件是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定方法：、、、、依次对各选项分析判断即可．
【详解】解：∵，，
∴A．添加，根据能得到，故A不符合题意；
B．，根据能得到，故B不符合题意；
C．∵，
∴，
∴根据能得到，故C不符合题意；
D．，不能得到，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键．
7. 如图，为测量池塘两端的距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点C，测得的度数，在的另一侧测得，，再测得的长，就是的长．其依据是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用证明即可求解．
【详解】解：在与中，
．
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
8. 如图是作的作图痕迹，则此作图的已知条件是（ ）
A. 已知两边及夹角B. 已知三边C. 已知两角及夹边D. 已知两边及一边对角
【答案】C
【解析】
【分析】观察的作图痕迹，可得此作图的条件.
【详解】解：观察的作图痕迹，可得此作图的已知条件为：∠α，∠β，及线段AB,
故已知条件为：两角及夹边，
故选C.
【点睛】本题主要考查三角形作图及三角形全等的相关知识.
9. 如图，平分，，点是上的动点，若，则的长可以是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过P作PD⊥OB于D，则此时PD长最小，根据角平分线的性质求出此时PD的长度，再逐个判断即可．
【详解】解：过P作PD⊥OB于D，则此时PD长最小，

∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，
∴PD=PC，
∵PC=5cm，
∴PD=5（cm），
即PD的最小值是5cm，
∴选项A、选项B、选项C都不符合题意，只有选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和垂线段最短，注意：垂线段最短，角平分线上的点到角两边的距离相等．
10. 在中，，的垂直平分线交于点，交于点，且，若，则（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，由于得到，根据线段的垂直平分线的性质得到，可知，再根据三角形的内角和得，即可求出，利用含的直角三角形的性质解答．利用角的等量代换是正确解答本题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
又∵边的垂直平分线交于点，
∴，
∴．
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
11. 如图在中，，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为（ ）
A. B. 24C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理求出，根据三角形面积公式、圆的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：由勾股定理得，，
则阴影部分面积
，
故选B．
【点睛】本题考查的是勾股定理、三角形的面积计算，如果直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为c，那么，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
12. 的三边长分别用表示，有5个分别适合下列条件的：①；②；③；④；⑤，其中是直角三角形的是（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可判断①②④⑤；根据三角形内角和定理即可判断③．
【详解】解：①∵，
∴不是直角三角形，故①不符合题意；
②设，
∵，
∴是直角三角形，故②符合题意；
③∵，，
∴，
∴是直角三角形，故③符合题意；
④∵，
∴是直角三角形，故④符合题意；
⑤由，不能判断是直角三角形，故⑤不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理和三角形内角和定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
二、填空题（每题4分，6小题共24分）
13. 如图，，若，则______________．

【答案】
【解析】
【分析】由全等三角形的性质可知，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
即：，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
14. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则其顶角为________．
【答案】135°或45°
【解析】
【分析】根据题意可知等腰三角形需要分类讨论，分为锐角三角形和钝角三角形，画出图形解答即可．
【详解】解：①如图1所示，当等腰三角形是锐角三角形时，根据题意，∠ABM=45°，
又∵BM是AC边上的高，
∴∠AMB=90°，
∴∠A=90°-45°=45°，
②如图2，当等腰三角形是钝角三角形时，根据题意，∠DEN=45°，
∵EN是DF边上的高
∴∠N=90°，
∴∠EDN=90°-45°=45°，
∴∠EDF=180°-45°=135°
故顶角为：135°或45°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的分类讨论问题，解题的关键是能够画出图形，根据数形结合的思想求出答案．
15. 如图所示，在中，点，分别为，的中点，且，则阴影部分的面积为________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了与中点有关的三角形的面积的计算，由是的中点得出，再由是的中点，即可得出，熟练掌握三角形的中线将三角形的面积平分是解此题的关键．
【详解】解：是的中点，
，
，
是的中点，
，
，
故答案为：．
16. 如图，这是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离米，自动扶梯的倾角为，若自动扶梯运行速度为米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为_________秒．
【答案】26.36
【解析】
【分析】本题考查含角的直角三角形的性质，解决问题的关键是要熟记锐角所对直角边等于斜边的一半．
【详解】解：∵锐角所对直角边等于斜边的一半，
∴顾客乘自动扶梯上一层楼的距离为（米），
∴顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为（秒）．
故答案为：26.36．
17. 如图，一竖直大树在离地面若干米处折断，树的顶端落在地面离大树底端12米处，大树折断之前的高度为18米，则折断处离地面的距离为_______________．
【答案】5米##
【解析】
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，据此建立方程求解即可．
【详解】解∶如图，
米，米，，
∴即
解得：米
故答案为：5米．
18. 如图，圆柱的底面半径为，高，点是上一点，且，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是________．
【答案】##厘米
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理在最短路径问题中的应用，画出展开图即可求解．
【详解】解：如图所示：即为蚂蚁爬行的最短距离，
由题意得：，
∵圆柱的底面半径为，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（共78分）
19. 如图，在中，是高，是角平分线．若，，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形的内角和，涉及了三角形的高、角平分线等知识点，求出，进而可得，再求出即可．
【详解】解：∵，
，
是角平分线，
，
是高，
，
，
，
；
20. 已知，如图，点在同一直线上，，，，
（1）求证：；
（2）当时，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】(1)根据即可证明：；
(2)由全等三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，证明是解题的关键．
21. 如图，中，的垂直平分线分别交、于点M、D，的垂直平分线分别交于点N、E，的周长是7．
（1）求长度；
（2）若，则度数是多少？请说明理由．
【答案】（1）7 （2）
【解析】
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角性质、三角形内角和定理计算即可．
【小问1详解】
解：∵是线段的垂直平分线，
∴，
同理，，
∵的周长为7，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：度数是60°，
理由如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边对等角以及三角形的内角和定理以及外角的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
22. 《九章算术》卷九中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？
【答案】绳索长为尺
【解析】
【分析】根据题意得，绳索，木桩形成直角三角形，根据勾股定理，即可求出绳索长．
【详解】设绳索长为x尺
∴根据题意得：
解得．
∴绳索长为尺．
【点睛】本题考查勾股定理的知识，解题的关键是理解题意，运用勾股定理解决实际问题．
23. 如图，中，，作，，垂足分别为，，和相交于点，若已知．
（1）求证：
（2）求证：
【答案】（1）证明见详解
（2）证明见详解
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明是解题的关键．
（1）先分析直角三角形的两个锐角互余以及角的等量代换，则由“”可证；
（2）由等腰三角形的性质可得，由全等三角形的性质可得，即可求解．
【小问1详解】
证明：，，
，
，
，
在和中，
，
，
【小问2详解】
证明：，，
，
，
，
．
24. 如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的处到公路上的停靠站的距离，到公路上另一停靠站的距离，停靠站之间的距离为，为方便运输货物，现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，且．

（1）请判断的形状，并说明理由；
（2）求修建的公路的长．
【答案】（1）是直角三角形．理由见解析
（2）修建的公路的长为
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得，再根据三角形面积公式即可求解；
（2）根据勾股定理求出的长，即可得出结论．
【小问1详解】
）是直角三角形．理由如下：
，
∴，
是直角三角形；
【小问2详解】
，
，
即修建的公路的长为．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
25. （1）【模型建立】如图1，在与中，，，，求证：；
（2）【模型应用】如图2，在与中，，，，三点在一条直线上，与交于点，若点为中点，
①求的度数；
②，求的面积；
图1 图2
【答案】（1）见解析；（2）①；②
【解析】
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定．
（1）首先得到，然后证明出即可；
（2）首先由得到，然后证明出，得到，进而求解即可；
【详解】解：（1），
，
在和中，
，
；
（2）①
，
，
在和中，
，
，
，
；
②作于点，如图所示：
，
，
∵若点为中点，
∴，
在和中，
，
，
，
，
又点为中点，
；