2024年高考数学二轮复习【举一反三】系列 专题2.1 函数的解析式与定义域、值域【八大题型】- （新高考专用）

这是一份2024年高考数学二轮复习【举一反三】系列 专题2.1 函数的解析式与定义域、值域【八大题型】- （新高考专用），文件包含专题21函数的解析式与定义域值域八大题型举一反三新高考专用原卷版docx、专题21函数的解析式与定义域值域八大题型举一反三新高考专用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。

一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题2.1 函数的解析式与定义域、值域【七大题型】
【新高考专用】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc20080" 【题型1 具体函数的定义域的求解】 PAGEREF _Tc20080 \h 2
\l "_Tc20764" 【题型2 抽象函数的定义域的求解】 PAGEREF _Tc20764 \h 3
\l "_Tc15115" 【题型3 已知函数定义域求参数】 PAGEREF _Tc15115 \h 4
\l "_Tc32535" 【题型4 已知函数类型求解析式】 PAGEREF _Tc32535 \h 6
\l "_Tc26200" 【题型5 已知f(g(x))求解析式】 PAGEREF _Tc26200 \h 8
\l "_Tc11162" 【题型6 函数值域的求解】 PAGEREF _Tc11162 \h 10
\l "_Tc27442" 【题型7 根据函数的值域或最值求参数】 PAGEREF _Tc27442 \h 12
1、函数的解析式与定义域、值域
函数的解析式与定义域、值域问题是高考数学的必考内容。函数问题定义域优先，在解答函数问题时首先要考虑定义域；函数的解析式在高考中较少单独考查，多在解答题中出现；函数的值域在整个高考范畴应用的非常广泛，例如恒成立问题、有解问题、数形结合问题、实际应用问题；基本不等式问题；数列的最大项、最小项；向量与复数的四则运算及模的最值；解析几何的函数性研究问题等；常常需要转化为求最值问题。在二轮复习过程中，在熟练掌握基本的解题方法的同时，也要多训练综合性较强的题目.
【知识点1 函数的定义域的求法】
1.求给定解析式的函数定义域的方法
求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.
2.求抽象函数定义域的方法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.
【知识点2 函数解析式的四种求法】
1.函数解析式的四种求法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式.
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解.
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.
(4)方程思想：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).
【知识点3 求函数值域的一般方法】
1．求函数值域的一般方法
(1)分离常数法；
(2)反解法；
(3)配方法；
(4)不等式法；
(5)单调性法；
(6)换元法；
(7)数形结合法；
(8)导数法.
【题型1 具体函数的定义域的求解】
【例1】（2023上·江苏南京·高一校考阶段练习）函数fx=3−xx−1的定义域为（ ）
A．−∞,3B．1,+∞C．1,3D．−∞,1∪3,+∞
【解题思路】由函数形式得到不等式组，解出即可.
【解答过程】由题意得3−xx−1≥0x−1≠0，解得1故选：C.
【变式1-1】（2023·海南·模拟预测）函数f(x)=2−x+1x−1的定义域为( )
A．−∞,1B．1,2C．−∞,2D．−∞,1∪1,2
【解题思路】根据表达式有意义列出不等式组求解即可
【解答过程】由题知2−x⩾0x−1≠0,解得x⩽2且x≠1
即函数f(x)=2−x+1x−1的定义域为(−∞,1)∪(1,2]
故选：D.
【变式1-2】（2023上·江西景德镇·高一统考期中）函数f(x)=x−30+3−x+2x−1的定义域为（ ）
A．−∞,1∪2,3B．−1,2∪3,+∞
C．−∞,1∪1,3D．−1,2∪2,3
【解题思路】根据题意可得，x−3≠03−x≥0x−1≠0，求解即可.
【解答过程】根据题意可得，x−3≠03−x≥0x−1≠0，解得x<3且x≠1，
所以函数f(x)=x−30+3−x+2x−1的定义域为−∞,1∪1,3.
故选：C.
【变式1-3】（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知函数y=fx的定义域为0,4，则函数y=f(x+1)x−1+(x−2)0的定义域是（ ）
A．1,5B．1,2∪2,5C．1,2∪2,3D．1,3
【解题思路】根据给定条件，利用函数有意义并结合复合函数的意义列出不等式组，求解不等式组作答.
【解答过程】因为函数y=fx的定义域为0,4，又函数y=f(x+1)x−1+(x−2)0有意义，
则有0≤x+1≤4x−1>0x−2≠0，解得1所以函数y=f(x+1)x−1+(x−2)0的定义域是1,2∪2,3.
故选：C.
【题型2 抽象函数的定义域的求解】
【例2】（2023·江苏镇江·扬中市校考模拟预测）若函数y=f2x的定义域为−2,4，则y=fx−f−x的定义域为（ ）
A．−2,2B．−2,4
C．−4,4D．−8,8
【解题思路】利用抽象函数定义域的求解原则可求出函数fx的定义域，对于函数y=fx−f−x，可列出关于x的不等式组，由此可得出函数y=fx−f−x的定义域.
【解答过程】因为函数y=f2x的定义域为−2,4，则−2≤x≤4，可得−4≤2x≤8，
所以，函数y=fx的定义域为−4,8，
对于函数y=fx−f−x，则有−4≤x≤8−4≤−x≤8，解得−4≤x≤4，
因此，函数y=fx−f−x的定义域为−4,4.
故选：C.
【变式2-1】（2023下·辽宁·高二校联考阶段练习）若函数f2x−1的定义域为−3,1，则y=f3−4xx−1的定义域为（ ）
A．1B．1,32C．32,52D．1,52
【解题思路】根据题意先求得函数fx的定义域为−7,1，然后结合抽象函数定义域与x−1求解即可；
【解答过程】由题意可知−3≤x≤1，所以−7≤2x−1≤1，要使函数y=f3−4xx−1有意义，则−7≤3−4x≤1,x−1>0,解得1故选：D.
【变式2-2】（2022上·湖南衡阳·高一校考期中）已知函数fx+1的定义域为[1,7]，则函数ℎx=f(2x)+9−x2的定义域为（ ）
A．[4,16]B．(−∞,1]∪[3,+∞)C．[1,3]D．[3,4]
【解题思路】根据给定条件，结合抽象函数定义域的意义，列出不等式求解作答.
【解答过程】函数fx+1的定义域为[1,7]，则2≤x+1≤8，因此在f(2x)中，2≤2x≤8，
函数ℎx=f(2x)+9−x2有意义，必有2≤2x≤89−x2≥0，解得1≤x≤3，
所以函数ℎ(x)的定义域为[1,3].
故选：C.
【变式2-3】（2021·高一单元测试）已知函数f(x)的定义域为(0,1)，若c∈(0,12)，则函数g(x)=f(x+c)+f(x−c)的定义域为（ ）
A．(−c,1−c)B．(c,1−c)C．(1−c,c)D．(c,1+c)
【解题思路】由已知函数的定义域有{0【解答过程】由题意得：{0∴c故选：B.
【题型3 已知函数定义域求参数】
【例3】（2023上·陕西西安·高一统考期中）已知函数fx=mx2+(m−3)x+1的定义域为R，则实数m的取值范围是（ ）
A．[1,9]B．(1,9)
C．(−∞,1]∪[9,+∞)D．{3}
【解题思路】利用题给条件列出关于m的不等式，解之即可求得实数m的取值范围.
【解答过程】由题意得mx2+(m−3)x+1≥0对任意x∈R恒成立，
当m=0时，不等式可化为−3x+1≥0，其解集不是R，不符合题意；
当m≠0时，由该不等式恒成立可得
m>0m−32−4m≤0，解之得1≤m≤9，
综上，实数m的取值范围是1≤m≤9
故选：A.
【变式3-1】（2023上·高一课时练习）若函数y=ax+1在区间−2,−1上有意义，则实数a的可能取值是( )
A．1B．2
C．3D．4
【解题思路】分a<0，a=0，a>0，求出不等式ax+1≥0的解，即可得出答案.
【解答过程】当a<0时，
由ax+1≥0可得，x≥−a或x<0，在区间−2,−1上有意义，满足；
当a=0时，
函数y=1x≠0，显然在区间−2,−1上有意义，满足题意；
当a>0时，
由ax+1≥0可得，x≤−a或x>0，
要使函数在区间−2,−1上有意义，则应有−a≥−1，
所以，a≤1，所以0综上所述，a≤1.
故选：A.
【变式3-2】（2023上·辽宁鞍山·高一期中）已知函数f(x)=a2−1x2+(a+1)x+1的定义域为R，则实数a的取值范围为（ ）
A．−1,53B．(−∞,−1)∪53,+∞
C．53,+∞D．(−∞,−1]∪53,+∞
【解题思路】分a=1、a=−1、a≠±1三种情况，结合二次函数的性质即可求解.
【解答过程】当a=1时，f(x)=2x+1，则2x+1≥0，得x≥−12，即定义域为−12,+∞，不符合题意；
当a=−1时，f(x)=1，定义域为R，符合题意；
当a≠±1时，由题意得关于x的不等式a2−1x2+(a+1)x+1≥0恒成立，
故a2−1>0Δ=(a+1)2−4a2−1≤0，解得a<−1或a≥53.
综上，实数a的取值范围是(−∞,−1]∪53,+∞.
故选：D.
【变式3-3】（2022上·江苏苏州·高一校考阶段练习）已知函数f(x)=x2−3x−mx−1(m∈R)
(1)若f(2)=2，求实数m及ff5+1；
(2)若m=10，求fx的定义域；
(3)若fx的定义域为1,+∞，求实数m的取值范围.
【解题思路】（1）根据f(2)=2求出m的值，然后即可求出ff5+1的值；
（2）根据m=10可得出fx的解析式，让解析式有意义即可求出fx的定义域；
（3）根据fx的定义域可得出y=x2−3x−m的最小值ymin=−94−m≥0，从而得出m的范围.
【解答过程】（1）f(2)=−2−m=2，解得m=−6，所以f(x)=x2−3x+6x−1，则f(5)=25−15+64=2，
所以ff5+1=f3=9−9+63−1=3；
（2）当m=10时，f(x)=x2−3x−10x−1，要使fx有意义，则x2−3x−10≥0x−1>0，
解得x≥5，所以fx的定义域为5,+∞；
（3）因为fx的定义域为1,+∞，
所以y=x2−3x−m=x−322−94−m≥0在1,+∞上恒成立，
所以y=x2−3x−m的最小值ymin=−94−m≥0，解得m≤−94，
所以m的取值范围为−∞,−94.
【题型4 已知函数类型求解析式】
【例4】（2023上·高一课时练习）图象是以1,3为顶点且过原点的二次函数fx的解析式为（ ）
A．fx=−3x2+6xB．fx=−2x2+4x
C．fx=3x2−6xD．fx=2x2−4x
【解题思路】由待定系数法求函数解析式问题，根据题意可以设二次函数的顶点式，然后根据函数过原点，将0,0代入即可.
【解答过程】设图象是以1,3为顶点的二次函数fx=ax−12+3（a≠0）．
因为图象过原点，所以0=a+3，a=−3，所以fx=−3x−12+3=−3x2+6x．
故选：A.
【变式4-1】（2023上·浙江嘉兴·高一校考阶段练习）已知函数f(x)是一次函数，且f[f(x)−2x]=3，则f(5)=（ ）
A．11B．9C．7D．5
【解题思路】设fx=ax+ba≠0，根据f[f(x)−2x]=3恒成立可得a，b，然后可解.
【解答过程】设fx=ax+ba≠0，
则f[f(x)−2x]=fax+b−2x=aax+b−2x+b=3，
整理得a2−2ax+ab+b−3=0，
所以a2−2a=0ab+b−3=0，解a=2b=1，
所以fx=2x+1，所以f5=2×5+1=11.
故选：A.
【变式4-2】（2023上·河北石家庄·高一校考期中）已知f(x)是二次函数，若f(0)=0，且f(x+1)=f(x)+x+1．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当−1≤x≤1时，求二次函数的最大值与最小值．
【解题思路】（1）设fx=ax2+bx+ca≠0，根据系数相等得到方程组，求出a,b,c的值即可；
（2）根据二次函数的性质即可得解.
【解答过程】（1）设fx=ax2+bx+ca≠0，
由f(0)=c=0，得c=0，
所以fx=ax2+bx，
由f(x+1)=f(x)+x+1，
得ax+12+bx+1=ax2+bx+x+1，
即ax2+2a+bx+a+b=ax2+b+1x+1，即2a+bx+a+b=b+1x+1，
所以2a+b=b+1a+b=1，解得a=b=12，
所以fx=12x2+12x；
（2）函数fx=12x2+12x的对称轴为x=−12，
所以fxmax=f1=1,fxmin=f−12=−18.
【变式4-3】（2023上·安徽·高一校联考期中）已知一次函数f(x)满足f(f(x))=x+3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)=xf(x)−12，求g(1)+g(2)+⋯+g(2023)+g(12023)+g(12022)+⋯+g(12)的值.
【解题思路】（1）直接由待定系数法列出方程组即可求解.
（2）所求式子为对称结构，通过验证发现g(x)+g(1x)=1，由此通过分组求和即可求解.
【解答过程】（1）设f(x)=ax+b(a≠0).
则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=x+3，
于是有a2=1ab+b=3，解得a=1b=32，∴ f(x)=x+32.
（2）由（1）知g(x)=xx+1，则g(1x)=1x1x+1=1x+1,x≠0，g(x)+g(1x)=1.
∴ g(2)+g(12)=g(3)+g(13)=⋯=g(2023)+g(12023)=1，g(1)=12，
∴ g(1)+g(2)+⋯+g(2023)+g(12023)+⋯+g(12)=12+2022×1=40452.
【题型5 已知f(g(x))求解析式】
【例5】（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数f1−x=1−x2x2x≠0，则fx=（ ）
A．1x−12−1x≠0B．1x−12−1x≠1C．4x−12−1x≠0D．4x−12−1x≠1
【解题思路】利用换元法令t=1−x，运算求解即可.
【解答过程】令t=1−x，则x=1−t，且x≠0，则t≠1，
可得ft=1−1−t21−t2=1t−12−1,t≠1，
所以fx=1x−12−1x≠1.
故选：B.
【变式5-1】（2023上·天津南开·高一南开中学校考期中）已知fx−1x=x2+1x2，则函数fx+1的表达式为（ ）
A．fx+1=x+12+1x+12B．fx+1=x+1x2+1x+1x2
C．fx+1=x2+2x+3D．fx+1=x2+2x+1
【解题思路】利用配凑法先求出函数fx，再整体代入即可求出函数fx+1的表达式.
【解答过程】因为fx−1x=x2+1x2=x−1x2+2
所以fx=x2+2
所以fx+1=x+12+2，即fx+1=x2+2x+3.
故选：C.
【变式5-2】（2023上·河南·高一校联考期中）已知函数fx满足fx=1x−1x≠1．
(1)求f2−x的解析式；
(2)求f120+f320+f520+⋅⋅⋅+f3520+f3720+f3920的值．
【解题思路】（1）代入求解即可；
（2）利用fx+f2−x=0求解即可.
【解答过程】（1）fx=1x−1x≠1，
∴f2−x=12−x−1=11−x，其中2−x≠1,x≠1.
故f2−x=11−xx≠1.
（2）fx+f2−x=1x−1+11−x=0,
所以f120+f3920=f120+f2−120=0，
所以f120+f320+f520+⋅⋅⋅+f3520+f3720+f3920=f120+f320+f520+⋅⋅⋅+f2−520+f2−320+f2−120=0.
【变式5-3】（2023上·安徽蚌埠·高一校考期中）求下列函数的解析式：
(1)已知fx+2=2x+3，求fx；
(2)已知fx+1=x+2x，求fx；
(3)已知fx是一次函数，且ffx=16x−25，求fx；
(4)定义在区间−1,1上的函数fx满足2fx−f−x=x2，求fx的解析式．
【解题思路】（1）利用配凑法求解即可；
（1）利用配凑法或换元法求解即可；
（3）利用待定系数法求解即可；
（4）利用方程组法求解即可.
【解答过程】（1）因为fx+2=2x+3=2x+2−1，
所以fx=2x−1．
（2）解法一（换元法）：令t=x+1，t≥1，则x=t−12，
所以ft=t−12+2t−1=t2−1t≥1，
所以fx=x2−1x≥1．
解法二（配凑法）：fx+1=x+2x=x+12−1，
因为x+1≥1，所以fx=x2−1x≥1．
（3）设fx=kx+bk≠0，
则ffx=kkx+b+b=k2x+kb+b=16x−25，
所以k2=16kb+b=−25，解得k=4b=−5或k=−4b=253，
所以fx=4x−5或fx=−4x+253．
（4）对任意的x∈−1,1有−x∈−1,1，
由2fx−f−x=x2，①
得2f−x−fx=−x2，②
联立①②解得，fx=x2−1【题型6 函数值域的求解】
【例6】（2023上·福建厦门·高一校考期中）已知函数f(x)=x2−2x−2,x∈[−2,2]，函数f(x)的值域为（ ）
A．[−3,6]B．[−2,6]C．[2,10]D．[1,10]
【解题思路】根据二次函数的性质即可得到值域.
【解答过程】f(x)=x2−2x−2=x−12−3，
因为x∈[−2,2]，所以fx的值域为f1,f−2，即[−3,6]，
故选：A.
【变式6-1】（2023上·江苏苏州·高一苏州中学校考期中）函数y=1−x+1−2x的值域为（ ）
A．−∞,12B．0，+∞C．12,+∞D．12,+∞
【解题思路】令1−2x=t，t≥0，可得y=t+122，利用函数单调性求值域.
【解答过程】令1−2x=t，t≥0，则x=1−t22，
所以函数y=1+t2−12+t=t22+t+12=t+122，函数在0,+∞上单调递增，
t=0时，y有最小值12，
所以函数y=1−x+1−2x的值域为12,+∞.
故选：C.
【变式6-2】（2023上·河南郑州·高一统考期中）下列函数中与函数y=x2值域相同的是（ ）
A．y=xB．y=1xC．y=−x2D．y=x2−2x+1
【解题思路】先得出函数y=x2值域，再由一次函数、二次函数、反比例函数的性质进行判断.
【解答过程】函数y=x2=x≥0，故其值域为0,+∞.
对于A，函数y=x的值域为R，故A错误；
对于B，函数y=1x的值域为yy≠0，故B错误；
对于C，函数y=−x2≤0，其值域为−∞,0，故C错误；
对于D，y=x2−2x+1=(x−1)2⩾0，其值域为0,+∞，故D正确；
故选：D.
【变式6-3】（2023上·安徽芜湖·高一校考阶段练习）在实数集R中定义一种运算“∗”，具有下列性质：
①对任意a，b∈R，a∗b=b∗a；
②对任意a∈R，a∗0=a；
③对任意a，b∈R，a∗b∗c=c∗ab+a∗c+b∗c−2c．
则函数fx=x∗x2x∈−2,2的值域是（ ）
A．−∞,5B．−98,5C．98,+∞D．−5,5
【解题思路】注意新定义的运算方式即可.
【解答过程】在③中，令c=0，则a∗b=ab+a+b，所以fx=x∗x2=x22+3x2=12x+322−98．
函数fx在x=−32时取最小值，最小值为−98；在x=2时取最大值，最大值为5，所以函数fx=x∗x2x∈−2,2的值域是−98,5．
故选：B．
【题型7 根据函数的值域或最值求参数】
【例7】（2023上·吉林长春·高一校考阶段练习）若函数fx=2a2+5a+3x2+a+1x−1的定义域､值域都为R,则实数a满足
A．a=−1或a=−32B．−139C．a≠−1且a≠−32D．a=−32
【解题思路】根据题意f(x)表示一次函数，可得出系数的特征，即可求出结论.
【解答过程】若2a2+5a+3≠0，f(x)表示二次函数，值域不为R，不合题意.
所以f(x)为一次函数，2a2+5a+3=0a+1≠0解得a=−32.
故选:D.
【变式7-1】（2023·全国·统考一模）函数f(x)=x2−4x−6的定义域为[0,m]，值域为[−10,−6]，则m的取值范围是
A．[0，4]B．[4，6]C．[2，6]D．[2，4]
【解题思路】因为函数fx=x2−4x−6的图象开口朝上，由 f0=f4=−6,f2=−10，结合二次函数的图象和性质可得m的取值范围.
【解答过程】函数fx=x2−4x−6的图象是开口朝上，
且以直线x=2为对称轴的抛物线，
故f0=f4=−6,f2=−10，
∵函数fx=x2−4x−6的定义域为0,m,值域为−10,−6，
所以2≤m≤4，
即m的取值范围是2,4,
故选D.
【变式7-2】（2022上·浙江嘉兴·高一校考阶段练习）已知f(x)=ax2+(a−4)⋅x−21+x2．
(1)若a=4时，求fx的值域；
(2)函数g(x)=x2+1f(x)+52，若函数ℎ(x)=g(x)的值域为[0,+∞)，求a的取值范围．
【解题思路】（1）根据函数解析式，采用分离常数项的方法，结合不等式性质，可得答案；
（2）根据二次根式的定义，结合二次函数的性质，可得答案.
【解答过程】（1）由a=4，则fx=4x2−21+x2=41+x2−61+x2=4−61+x2，
由不等式性质，则x2≥0，1+x2≥1，0<11+x2≤1，0>−61+x2≥−6，4>4−61+x2≥−2，
故fx∈−2,4，即fx的值域为−2,4.
（2）由题意，gx=x2+1ax2+a−4x−21+x2+52=ax2+a−4x+12，
由函数ℎ(x)=g(x)的值域为[0,+∞)，则gx≤0有解且gx无最大值，
当a=0时，符合题意；
当a≠0时，根据二次函数的性质，可得a>0Δ=a−42−2a≥0，
其中a−42−2a≥0，a2−8a+16−2a≥0，a2−10a+16≥0，a−2a−8≥0，解得a≤2或a≥8，
综上，故a∈0,2∪8,+∞.
【变式7-3】（2023上·广东广州·高一校考期中）已知函数fx满足fx+1=x2+x+1．
(1)求f1的值，并求出fx的解析式；
(2)若函数g(x)=f(x)−(2t−1)x，且g(x)在[4,5]的最大值与最小值的差值恒小于4，求实数t的取值范围．
【解题思路】（1）令x=0代入求f1；利用构造法求fx的解析式；
（2）g(x)=x2−2tx+1，讨论对称轴与区间[4,5]的关系，分别求出最小值和最大值，列不等式解出t的范围.
【解答过程】（1）因为函数fx满足fx+1=x2+x+1
所以令x=0得：f1=02+0+1=1，即f1=1.
由fx+1=x2+x+1=x+12−x=x+12−x+1+1得：
fx=x2−x+1.
（2）函数g(x)=f(x)−(2t−1)x=x2−2tx+1，对称轴为x=t.
当t≤4时，g(x)在[4,5]单调递增，所以g(x)max=g(5)，g(x)min=g(4)，所以有g(5)−g(4)<4，即25−10t+1−16−8t+1<4，解得：t>52，所以52当4当4.5当t>5时，g(x)在[4,5]单调递减，所以g(x)max=g(4)，g(x)min=g(5)，所以有g(4)−g(5)<4，即25−10t+1−16−8t+1<4，解得：t<132，所以5综上所述：52即实数t的范围是52,132.
1．（2015·山东·统考高考真题）函数y=x+1+1x的定义域为（ ）
A．xx≥−1且x≠0B．xx≥−1
C．xx>−1且x≠0D．xx>−1
【解题思路】根据函数解析式有意义的要求列不等式求函数定义域.
【解答过程】由函数解析式有意义可得
x+1≥0且x≠0
所以函数的定义域是xx≥−1且x≠0，
故选：A.
2．（2022·北京·统考高考真题）函数f(x)=1x+1−x的定义域是 −∞,0∪0,1 ．
【解题思路】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；
【解答过程】解：因为fx=1x+1−x，所以1−x≥0x≠0，解得x≤1且x≠0，
故函数的定义域为−∞,0∪0,1；
故答案为：−∞,0∪0,1.
3．（2021·浙江·统考高考真题）已知a∈R，函数f(x)=x2−4,x>2x−3+a,x≤2,若ff6=3，则a= 2 .
【解题思路】由题意结合函数的解析式得到关于a的方程，解方程可得a的值.
【解答过程】ff6=f6−4=f2=2−3+a=3，故a=2，
故答案为：2.
4．（2022·浙江·统考高考真题）已知函数f(x)=−x2+2, x≤1,x+1x−1, x>1,则ff12= 3728 ；若当x∈[a,b]时，1≤f(x)≤3，则b−a的最大值是 3+3 ．
【解题思路】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出a的最小值,b的最大值即可.
【解答过程】由已知f(12)=−122+2=74，f(74)=74+47−1=3728，
所以 ff(12)=3728，
当x≤1时，由1≤f(x)≤3可得1≤−x2+2≤3，所以−1≤x≤1，
当x>1时，由1≤f(x)≤3可得1≤x+1x−1≤3，所以11≤f(x)≤3等价于−1≤x≤2+3，所以[a,b]⊆[−1,2+3]，
所以b−a的最大值为3+3.
故答案为：3728；3+3.
5．（2022·北京·统考高考真题）设函数f(x)=−ax+1, x【解题思路】根据分段函数中的函数y=−ax+1的单调性进行分类讨论，可知，a=0符合条件，a<0不符合条件，a>0时函数y=−ax+1没有最小值，故f(x)的最小值只能取y=(x−2)2的最小值，根据定义域讨论可知−a2+1≥0或−a2+1≥a−22， 解得 0【解答过程】解：若a=0时，f(x)={1(x−2)2,x<0,x≥0，∴f(x)min=0；
若a<0时，当x若a>0时，
当xf(a)=−a2+1，
当x>a时，f(x)min={0(a−2)2(0∴−a2+1≥0或−a2+1≥（a−2）2，
解得0综上可得0≤a≤1；
故答案为：0（答案不唯一）；1.
6．（2020·山东·统考高考真题）已知函数fx=2x−5,x≥0x2+2x,x<0.
（1）求ff1的值；
（2）求fa−1<3，求实数a的取值范围.
【解题思路】（1）根据分段函数的解析式，代入计算即可；
（2）先判断a−1的取值范围，再代入分段函数解析式，得到fa−1<3的具体不等式写法，解不等式即可.
【解答过程】解：（1）因为1>0，
所以f1=2×1−5=−3，因为−3<0，
所以ff1=f−3=−32+2×−3=3.
（2）因为a−1≥0，
则fa−1=2a−1−5，
因为fa−1<3，所以2a−1−5<3，
即a−1<4，解得−3