2024年高考数学二轮复习【举一反三】系列 重难点04 指、对、幂数比较大小问题【七大题型】- （新高考专用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
重难点04 指、对、幂数比较大小问题【七大题型】
【新高考专用】
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\l "_Tc7284" 【题型1 利用单调性比较大小】 PAGEREF _Tc7284 \h 2
\l "_Tc7466" 【题型2 中间值法比较大小】 PAGEREF _Tc7466 \h 4
\l "_Tc32065" 【题型3 作差法、作商法比较大小】 PAGEREF _Tc32065 \h 5
\l "_Tc11075" 【题型4 构造函数法比较大小】 PAGEREF _Tc11075 \h 7
\l "_Tc6042" 【题型5 数形结合比较大小】 PAGEREF _Tc6042 \h 8
\l "_Tc3056" 【题型6 含变量问题比较大小】 PAGEREF _Tc3056 \h 12
\l "_Tc28045" 【题型7 放缩法比较大小】 PAGEREF _Tc28045 \h 14
从近几年的高考情况来看，指、对、幂数的大小比较问题是高考重点考查的内容之一，是高考的热点问题，主要以选择题的形式考查，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序比较大小.这类问题的主要解法是利用函数的性质与图象来求解，解题时要学会灵活的构造函数.
【知识点1 指、对、幂数比较大小的一般方法】
1.单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下：
①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；
②指数相同，底数不同时，如和，利用幂函数单调性比较大小；
③底数相同，真数不同时，如和，利用指数函数单调性比较大小.
2.中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判定．
3.作差法、作商法：
(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；
(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.
4.估算法：
(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；
(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.
5.构造函数法：
构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小.
6、放缩法：
(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；
(2)指数和幂函数结合来放缩；
(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩.
【题型1 利用单调性比较大小】
【例1】（2023·陕西商洛·统考一模）已知a=0.91.1,b=lg1213,c=lg132，则（ ）
A．a>b>cB．a>c>b
C．c>a>bD．b>a>c
【解题思路】根据指数函数的单调性判断a的范围，根据对数的运算性质以及对数函数性质判断b,c的范围，即可得答案.
【解答过程】因为y=0.9x为R上的单调减函数，y=lg2x,y=lg3x为(0,+∞)上的单调增函数，
故0<0.91.1<0.90=1,lg1213=lg23>1,lg132=−lg32<0，
所以b>a>c,
故选:D.
【变式1-1】（2023·四川南充·模拟预测）已知a=2525,b=3525,c=lg252，则（ ）
A．a【解题思路】由y=x25在0,+∞上递增比较a，b，再由y=lg25x在0,+∞上递减，得到c<0比较即可.
【解答过程】因为y=x25在0,+∞上递增，且25<35，
所以2525<3525，即0又y=lg25x在0,+∞上递减，
所以c=lg252所以c故选：D.
【变式1-2】（2023·广东广州·统考二模）已知a=323，b=234，c=413，则（ ）
A．cC．b【解题思路】根据指数函数，幂函数的性质即可判断b【解答过程】由a=323=913，b=234=814，c=413，
则b=814<813<913又lg2b=lg2814=34，lg2c=lg2413=23，
则lg2c所以c故选：D．
【变式1-3】（2023·河南·校联考模拟预测）已知a=lnπ,b=lg3π,c=πln2，则a,b,c的大小关系是（ ）
A．b【解题思路】利用对数函数和指数函数，幂函数的性质求解.
【解答过程】∵e<3<π，∴a=lgeπ>lg3π=b>lg33=1，即a>b>1，
∵a=lnπ=lnπ2, c=πln2=ln2π，
下面比较π2与 2π的大小，构造函数y=x2与y=2x，
由指数函数y=2x与幂函数y=x2的图像与单调性可知，

当x∈(0,2)时，x2<2x；当x∈(2,4)时，x2>2x
由x=π∈(0,2)，故π2 <2π，故lnπ所以b故选：A.
【题型2 中间值法比较大小】
【例2】（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知a=6lg23.4，b=6lg43.6，c=16lg30.3，则（ ）
A．a>b>cB．b>a>cC．a>c>bD．c>a>b
【解题思路】利用对数函数的单调性、中间值法以及指数函数的单调性可得出a、b、c的大小关系.
【解答过程】因为lg23.4>lg22=1=lg44>lg43.6，lg30.3−1=lg3103>lg33=1，
又因为lg23.4>lg222=32=lg3332=lg333>lg3103=−lg30.3，
所以，lg23.4>−lg30.3>lg43.6，
所以，6lg23.4>6−lg30.3=16lg30.3>6lg43.6，即a>c>b.
故选：C.
【变式2-1】（2023上·天津河东·高三校考阶段练习）已知a=2−lg23，b=2−lg34，c=lg23+lg34，则（ ）
A．cC．a【解题思路】利用对数的性质求得lg23>32、1【解答过程】由lg23=lg2(2×32)=1+lg232>1+lg22=32，
由lg34=lg3(3×43)=1+lg343<1+lg33=32，则1所以a=2−lg23<12故选：C.
【变式2-2】（2023上·河南开封·高一校考阶段练习）已知a=lg132023,b=lg20232024,c=2023−2024，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a>b>cB．b>c>aC．b>a>cD．c>a>b
【解题思路】利用函数单调性和中间值比较出大小.
【解答过程】a=lg132023<0,b=lg20232024>lg20232023=1,c=2023−2024∈0,1，
故b>c>a.
故选：B.
【变式2-3】（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知a=1.11.2,b=1.21.3,c=1.31.1，则（ ）
A．cC．c【解题思路】利用中间值1.21.2比较a,b的大小，再让b，c与中间值1.31比较，判断b,c的大小，即可得解.
【解答过程】a=1.11.2<1.21.2<，又因为通过计算知1.24<1.33，所以1.240.3<1.330.3，即1.21.2<1.30.9，
又1.20.1<1.30.1，所以1.21.3<1.31<，所以a故选：B.
【题型3 作差法、作商法比较大小】
【例3】（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知x=lg32，y=lg43，z=3423，则x、y、z的大小关系为（ ）
A．x>y>zB．y>x>zC．z>y>xD．y>z>x
【解题思路】利用作差法结合基本不等式可得出x、y的大小关系，利用中间值45结合指数函数、对数函数的单调性可得出y、z的大小关系，综合可得出x、y、z的大小关系.
【解答过程】因为35=243<256=44，所以，3<445，则y=lg43因为342−453=916−64125=9×125−16×6416×125=1125−102416×125>0，
所以，342>453，则z=3423>45，所以z>y
因为y−x=lg43−lg32=ln3ln4−ln2ln3=ln32−ln2ln4ln3ln4>ln32−ln2+ln422ln3ln4
=ln32−ln82ln3ln4>0，即y>x，因此，z>y>x.
故选：C.
【变式3-1】（2023·云南·校联考模拟预测）已知a=lg169,b=lg2516,c=e−2，则（ ）
A．b>a>cB．b>c>a
C．c>b>aD．c>a>b
【解题思路】a=lg43，b=lg54，作商ab=lg43lg54=lg43⋅lg45，利用基本不等式可得ab<1，得ac.
【解答过程】a=lg169=lg4232=lg43>0，b=lg2516=lg5242=lg54>0，
ab=lg43lg54=lg43⋅lg45 所以aa=lg43>lg42=lg222=12>e−2=c，
所以b>a>c.
故选：A.
【变式3-2】（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）若a=ln22，b=ln33，c=ln55，则（ ）
A．a【解题思路】利用作差法，再结合对数函数y=lnx的单调性分别判断a,b和a,c的大小关系，即可判断出a,b,c的大小关系.
【解答过程】因为b−a=ln33−ln22=2ln3−3ln26=ln9−ln86>0，所以b>a；
又因为c−a=ln55−ln22=2ln5−5ln210=ln25−ln3210<0，所以a>c；
综上所述：c故选：C.
【变式3-3】（2023·全国·模拟预测）已知a=lg8.14，b=lg3.1e，c=ln2.1,，则（ ）
A．aC．c【解题思路】先证明b>0,c>0，利用比商法结合基本不等式证明c【解答过程】因为b=lg3.1e>0，c=ln2.1>0，
所以cb=×ln3.1又e2≈7.389，所以6.51所以cb<1，故c因为a=lg8.14=ln4ln8.1=2ln2ln8.1=ln2ln8.1，
又e2≈7.389，所以8.1>e2，所以ln8.1>1，
所以a所以a所以a故选：A.
【题型4 构造函数法比较大小】
【例4】（2023·福建宁德·校考模拟预测）记a=eπ，b=π+1，c=1elnπ+2，则（ ）
A．aC．b【解题思路】构造函数fx=ex−x−1，利用导数单调性即可比较a,b，通过放缩法即可比较b,c大小.
【解答过程】设fx=ex−x−1，x∈0,+∞，则f'x=ex−1>e0−1=0，
则fx在0,+∞上单调递增，fx>f0=0，
则fπ=eπ−π−1>0，即eπ>π+1，即a>b，
b=π+1>1.7+1=2.7，
c=lnπe+2c.
则c故选：B.
【变式4-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知实数a,b,c满足a2+lg2a=0,2023−b=lg2023b,c=lg76，则（ ）
A．aC．b【解题思路】利用构造函数法，结合函数的单调性确定正确答案.
【解答过程】设f(x)=x2+lg2x， f(x)在(0,+∞)上单调递增，
又f12=−34<0,f(1)=1>0，所以12设g(x) =12023x−lg2023x， g(x)在(0,+∞)上单调递减，
又g(1)=12023>0,g(2023)=120232023−1<0，所以1< b<2023，
因为c=lg76综上可知，c故选：B.
【变式4-2】（2023·全国·模拟预测）已知a=，b=6.2−4.2，c=ln89+98，则（ ）
A．a【解题思路】利用对数函数的性质判断得1>a>12，利用分母有理化判断得b<12，利用构造函数法与导数判断得c>1，从而得解.
【解答过程】由0.09<0.18<0.3，可得>>lg0.090.3，即1>a>12，
而b=6.2−4.2=26.2+4.2<24=12，
设f(x)=lnx+1x(0所以f(x)在(0,1)上是减函数，所以f89>f(1)=1，即c>1，
所以b故选：C．
【变式4-3】（2023·全国·模拟预测）设a=0.2ln10，b=0.99，c=0.9e0.1，则（ ）
A．a【解题思路】构造f(x)=x−1x−2lnx(0【解答过程】a=0.2ln10=−2×0.1×ln0.1，b=1−0.12，c=(1−0.1)e0.1．
取x=0.1，则a=−2xlnx，b=1−x2，c=(1−x)ex．
设f(x)=x−1x−2lnx(00，
所以f(x)在(0,1)上单调递增，则x−1x−2lnx<0，即−2xlnx<1−x2，所以a令g(x)=ex−x−1(00，
所以g(x)在(0,1)上单调递增，则g(x)>g(0)⇒ex−x−1>0⇒ex>x+1，
所以(1−x)ex>1−x2，即b所以a故选：A.
【题型5 数形结合比较大小】
【例5】（2022·广东茂名·统考一模）已知x,y,z均为大于0的实数，且2x=3y=lg5z，则x,y,z大小关系正确的是（ ）
A．x>y>zB．x>z>y
C．z>x>yD．z>y>x
【解题思路】根据题意，将问题转化为函数y=2x,y=3x,y=lg5x与直线y=t>1的交点的横坐标的关系，再作出图像，数形结合求解即可.
【解答过程】解：因为x,y,z均为大于0的实数，
所以2x=3y=lg5z=t>1，
进而将问题转化为函数y=2x,y=3x,y=lg5x与直线y=t>1的交点的横坐标的关系，
故作出函数图像，如图，
由图可知z>x>y
故选：C.
【变式5-1】（2023上·四川·高三校联考阶段练习）已知a+lg2a=4,b+lg3b=c+lg4c=3，则（ ）
A．a>c>bB．a>b>cC．b>c>aD．c>a>b
【解题思路】a,c的比较利用零点存在性定理求解零点所在区间，b,c的比较则转化为两函数图象交点的横坐标大小比较，数形结合由图可知.
【解答过程】由题意知，a是函数f(x)=x+lg2x−4的零点，
因为f52=lg252−32=lg252−lg2232，
由522=254<2322=8，则f52<0，
且f(3)=lg23−1=lg232>0，
由零点存在性定理知，a∈52,3；
由题意知，c是函数g(x)=x+lg4x−3的零点，
因为g52=lg452−12=lg452−lg42=lg454>0，
且g(2)=lg42−1=lg42−lg44=lg412<0，
由零点存在性定理知，c∈2,52，
故a>c，
由b+lg3b=c+lg4c=3，
得lg3b=3−b,lg4c=3−c，
作出函数y=3−x,y=lg3x,y=lg4x的大致图象，
如图所示，数形结合由图可知c>b．
综上，a>c>b.
故选：A.
【变式5-2】（2023上·广东江门·高一统考期末）已知fx=12x−x−2，gx=lg12x−x−2，ℎx=x3−x−2的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A．a>b>cB．c>b>aC．b>c>aD．b>a>c
【解题思路】将函数的零点，转化为函数y=x+2的图象分别与函数y=12x、y=lg12x、y=x3的图象交点的横坐标，利用数形结合法求解．
【解答过程】解：函数fx=12x−x−2，gx=lg12x−x−2，ℎx=x3−x−2的零点，
即为函数y=x+2分别与函数y=12x、y=lg12x、y=x3的图象交点的横坐标，
如图所示：
由图可得a故选：B.
【变式5-3】（2022·河南·统考一模）已知a=eπ,b=πe,c=2eπ，则这三个数的大小关系为（ ）
A．c【解题思路】构造函数fx=lnxx,x>0，利用导数法研究单调性，并利用单调性可比较a,b，在同一坐标系中作出y=2x与y=x的图象，结合图象与幂函数的性质可比较b,c，即可求解
【解答过程】令fx=lnxx,x>0，则f′x=1−lnxx2,x>0，
由f′x>0，解得0e，
所以fx=lnxx,x>0在0,e上单调递增，在e,+∞上单调递减；
因为π>e，
所以fπ所以elnπ<πlne，所以lnπe又y=lnx递增，
所以πe2eπ=2πe，
在同一坐标系中作出y=2x与y=x的图象，如图：
由图象可知在2,4中恒有x>2x，
又2<π<4，所以π>2π，
又y=xe在0,+∞上单调递增，且π>2π
所以πe>2πe=2eπ，即b>c；
综上可知：c故选：A.
【题型6 含变量问题比较大小】
【例6】（2022上·江西吉安·高三统考期末）已知实数a，b，c，满足lnb=ea=c，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a>b>cB．c>b>a
C．b>c>aD．a>c>b
【解题思路】构造函数f(x)=ex−x，利用导数求出函数的单调区间及最值，再根据已知条件即可得出答案.
【解答过程】解：设f(x)=ex−x，则f′(x)=ex−1，
当x<0时，f′x<0，当x>0时，f′x>0，
所以f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
所以f(x)min=f(0)=1>0，故ex>x，
所以c=ea>a，又lnb=c，
所以b=ec>c，
所以b>c>a.
故选：C．
【变式6-1】（2022上·湖北·高三校联考开学考试）已知a,b,c均为不等于1的正实数，且lnc=alnb,lna=blnc，则a,b,c的大小关系是（ ）
A．c>a>bB．b>c>a
C．a>b>cD．a>c>b
【解题思路】分析可知，lna、lnb、lnc同号，分a、b、c∈0,1和a、b、c∈1,+∞两种情况讨论，结合对数函数的单调性可得出a、b、c的大小关系.
【解答过程】∵lnc=alnb,lna=blnc且a、b、c均为不等于1的正实数，
则lnc与lnb同号，lnc与lna同号，从而lna、lnb、lnc同号.
①若a、b、c∈0,1，则lna、lnb、lnc均为负数，
lna=blnc>lnc，可得a>c，lnc=alnb>lnb，可得c>b，此时a>c>b；
②若a、b、c∈1,+∞，则lna、lnb、lnc均为正数，
lna=blnc>lnc，可得a>c，lnc=alnb>lnb，可得c>b，此时a>c>b.
综上所述，a>c>b.
故选：D.
【变式6-2】（2022上·江苏南通·高三统考期中）已知正实数a，b，c满足ec+e−2a=ea+e−c，b=lg23+lg86，c+lg2c=2，则a，b，c的大小关系为( )
A．a【解题思路】根据ec+e−2a=ea+e−c可得ec−e−c=ea−e−2a，由此可构造函数fx=ex−e−x，根据f(x)的单调性即可判断a和c的大小；根据对数的计算法则和对数的性质可得b与2的大小关系；c+lg2c=2变形为lg2c=2−c，利用函数y=lg2x与函数y=2−x的图象可判断两个函数的交点的横坐标c的范围，从而判断b与c的大小.由此即可得到答案．
【解答过程】ec+e−2a=ea+e−c⇒ec−e−c=ea−e−2a，
故令fx=ex−e−x，则fc=ec−e−c，fa=ea−e−a．
易知y=−e−x=−1ex和y=ex均为0,+∞上的增函数，故fx在0,+∞为增函数．
∵e−2aea−e−a，即fc>fa，则c>a>0．
易知b=lg23+lg236=lg2336>2，lg2c=2−c，
作出函数y=lg2x与函数y=2−x的图象，如图所示，
则两图象交点横坐标在1,2内，即1∴c∴a故选：B．
【变式6-3】（2023上·辽宁丹东·高三统考期末）设m>1，lgma=mb=c，若a，b，c互不相等，则（ ）
A．a>1B．c≠eC．b【解题思路】由lgma>0，可解得a>1，可判断A；当c=e时，取m=e1e>1，可得a=b=c，不满足a，b，c互不相等，可判断B；将a,b,c看成函数y=lgmx,y=mx,y=x与y=c图象的交点，可判断C，D.
【解答过程】由mb=c>0，可得lgma>0，因为m>1，所以a>1，故A正确；
当c=e时，lgma=mb=c=e，若m=e1e>1，则a=me=e,c=e,b=lgme=e，
故a=b=c，不满足a，b，c互不相等，所以c≠e，故B正确，
因为m>1，lgma=mb=c，
可将a,b,c看成函数y=lgmx,y=mx,y=x与y=c图象的交点横坐标，
当m=1.1时，图象如下图，
可得：a当m=3时，图象如下图，
可得：b故选：ABD.
【题型7 放缩法比较大小】
【例7】（2023·全国·模拟预测）已知a=lg2π，b=ln4，c=0.6−1.5，则（ ）
A．aC．b【解题思路】应用对数函数的单调性及放缩法对a,b,c进行估值即可判断.
【解答过程】a=lg2πlg222=1.5，故a∈1.5,2，
b=ln4=1+ln4e<1+ln42.5=1+ln1.6=1+ln2.56<1+lne=1.5，即b<1.5.
由c=0.6−1.5可得c2=0.6−3=10.216>4，又c>0，故c>2.则b故选：C.
【变式7-1】（2023上·安徽·高二校联考阶段练习）已知a=19−17,b=6−34,c=lg53−29lg35，则（ ）
A．aC．b【解题思路】采用放缩法和中间值比较大小，得到a【解答过程】因为a=19−17=219+17<216+16=14，
b=6−34=14216>14256=14,14216<1481=13，故b∈14,13，
c=lg53−29lg35=13lg527−19lg325>13lg525−19lg327=23−13=13，
所以a故选：A.
【变式7-2】（2023上·江苏泰州·高一泰州中学校考期中）已知三个互不相等的正数a,b,c满足a=e23,b=lg23+lg96,c=lg52a+1，（其中e=2.71828⋯是一个无理数），则a,b,c的大小关系为（ ）
A．aC．c【解题思路】由对数函数和指幂函数的单调性和运算性质放缩，再加上基本不等式求解即可.
【解答过程】因为a=e23，所以a3=e2=2.72<23
所以根据幂函数的性质可得e23<2，
因为a,b,c都是正数，
b=lg23+lg96=lg23+lg326=lg23+lg36≥2lg23⋅lg36=2lg26>2lg22=2 c=lg52a+1=2lg52e23+1<2lg522+1=2lg55=2，
ca=lg52a+1a=lg5a2a+1=ln2a+1ln5a，
因为fx=lnx是递增函数，又因为a∈0,2，
作出y=ln2a+1和y=ln5a的图像，如图可得，当a=2时，两函数值相等；a<2时，y=ln2a+1图像一直在y=ln5a的上方，所以a
故a故选：B.
【变式7-3】（2023上·福建漳州·高一校考期中）设a=0.712023，b=120230.7，c=a+14a，则（ ）
A．c>a>bB．c>b>a
C．a>c>bD．b>c>a
【解题思路】由lna=12023ln0.7，lnb=0.7ln12023，构造y=lnxx研究单调性比较大小即可，结合指数函数、基本不等式确定a,b,c大小.
【解答过程】由lna=12023ln0.7，lnb=0.7ln12023，要比较a,b大小，只需比较lna,lnb大小，
故只需比较ln0.70.7,ln1202312023大小，令y=lnxx且00，
所以y=lnxx在(0,1)上递增，而710>12023，即0>ln0.70.7>ln1202312023，
所以lna=12023ln0.7> lnb=0.7ln12023，故a>b，
又a=0.712023∈(0,1)，则c=a+14a>2a⋅14a=1（等号不能成立），
所以c>1>a>b.
故选：A.
1．（2023·天津·统考高考真题）若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．c>a>bB．c>b>a
C．a>b>cD．b>a>c
【解题思路】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【解答过程】由y=1.01x在R上递增，则a=1.010.5由y=x0.5在[0,+∞)上递增，则a=1.010.5>c=
所以b>a>c.
故选：D.
2．（2022·天津·统考高考真题）已知a=20.7，b=(13)0.7，c=lg213，则（ ）
A．a>c>bB．b>c>aC．a>b>cD．c>a>b
【解题思路】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a、b、c的大小关系.
【解答过程】因为20.7>(13)0.7>0=lg21>lg213，故a>b>c.
故选：C.
3．（2022·全国·统考高考真题）设a=0.1e0.1,b=19，c=−ln0.9，则（ ）
A．a【解题思路】构造函数f(x)=ln(1+x)−x， 导数判断其单调性，由此确定a,b,c的大小.
【解答过程】方法一：构造法
设f(x)=ln(1+x)−x(x>−1)，因为f′(x)=11+x−1=−x1+x，
当x∈(−1,0)时，f′(x)>0，当x∈(0,+∞)时f′(x)<0，
所以函数f(x)=ln(1+x)−x在(0,+∞)单调递减，在(−1,0)上单调递增，
所以f(19)ln109=−ln0.9，即b>c，
所以f(−110)故a设g(x)=xex+ln(1−x)(0令ℎ(x)=ex(x2−1)+1，ℎ′(x)=ex(x2+2x−1)，
当0当2−10，函数ℎ(x)=ex(x2−1)+1单调递增，
又ℎ(0)=0，
所以当0所以当00，函数g(x)=xex+ln(1−x)单调递增，
所以g(0.1)>g(0)=0，即0.1e0.1>−ln0.9，所以a>c
故选：C.
方法二：比较法
解： a=0.1e0.1 ， b=0.11−0.1 ， c=−ln(1−0.1) ，
① lna−lnb=0.1+ln(1−0.1) ，
令 f(x)=x+ln(1−x),x∈(0,0.1],
则 f′(x)=1−11−x=−x1−x<0 ，
故 f(x) 在 (0,0.1] 上单调递减，
可得 f(0.1)② a−c=0.1e0.1+ln(1−0.1) ，
令 g(x)=xex+ln(1−x),x∈(0,0.1],
则 g'(x)=xex+ex−11−x=(1+x)(1−x)ex−11−x ，
令 k(x)=(1+x)(1−x)ex−1 ，所以 k′(x)=(1−x2−2x)ex>0 ，
所以 k(x) 在 (0,0.1] 上单调递增，可得 k(x)>k(0)>0 ，即 g′(x)>0 ，
所以 g(x) 在 (0,0.1] 上单调递增，可得 g(0.1)>g(0)=0 ，即 a−c>0 ，所以 a>c.
故 c故选：C.
4．（2023·全国·统考高考真题）已知函数fx=e−(x−1)2．记a=f22,b=f32,c=f62，则（ ）
A．b>c>aB．b>a>cC．c>b>aD．c>a>b
【解题思路】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【解答过程】令g(x)=−(x−1)2，则g(x)开口向下，对称轴为x=1，
因为62−1−1−32=6+32−42，而(6+3)2−42=9+62−16=62−7>0，
所以62−1−1−32=6+32−42>0，即62−1>1−32
由二次函数性质知g(62)因为62−1−1−22=6+22−42，而(6+2)2−42=8+43−16=43−8=4(3−2)<0，
即62−1<1−22，所以g(62)>g(22)，
综上，g(22)又y=ex为增函数，故ac>a.
故选：A.
5．（2021·天津·统考高考真题）设a=lg20.3,b=lg120.4,c=0.40.3，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a【解题思路】根据指数函数和对数函数的性质求出a,b,c的范围即可求解.
【解答过程】∵lg20.3∵lg120.4=−lg20.4=lg252>lg22=1，∴b>1，
∵0<0.40.3<0.40=1，∴0∴a故选：D.
6．（2021·全国·统考高考真题）已知a=lg52，b=lg83，c=12，则下列判断正确的是（ ）
A．c【解题思路】对数函数的单调性可比较a、b与c的大小关系，由此可得出结论.
【解答过程】a=lg52故选：C.
7．（2021·全国·统考高考真题）设a=2ln1.01，b=ln1.02，c=1.04−1．则（ ）
A．a【解题思路】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数fx=2ln1+x−1+4x+1,gx=ln1+2x−1+4x+1，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【解答过程】[方法一]：
a=2ln1.01 =ln1.012 =ln1+0.012 =ln1+2×0.01+0.012 >ln1.02=b，
所以b下面比较c与a,b的大小关系.
记fx=2ln1+x−1+4x+1，则f0=0，f′x=21+x−21+4x=21+4x−1−x1+x1+4x，
由于1+4x−1+x2=2x−x2=x2−x
所以当00，即1+4x>1+x，f′x>0，
所以fx在0,2上单调递增，
所以f0.01>f0=0，即2ln1.01>1.04−1，即a>c；
令gx=ln1+2x−1+4x+1，则g0=0，g′x=21+2x−21+4x=21+4x−1−2x1+x1+4x，
由于1+4x−1+2x2=−4x2，在x>0时，1+4x−1+2x2<0，
所以g′x<0，即函数gx在[0，+∞)上单调递减，所以g0.01综上，b故选：B.
[方法二]：
令fx=lnx2+12−x−1(x>1)
f′x=-x−12x2+1<0，即函数f(x)在（1，+∞)上单调递减
f1+0.04令gx=2lnx2+34−x+1(1g′x=x−13−xx2+3>0，即函数g(x)在（1，3)上单调递增
g1+0.04g1=0,∴ac
综上，b故选：B.
8．（2022·全国·统考高考真题）已知9m=10,a=10m−11,b=8m−9，则（ ）
A．a>0>bB．a>b>0C．b>a>0D．b>0>a
【解题思路】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m=lg910>1，再利用基本不等式，换底公式可得m>lg11，lg89>m，然后由指数函数的单调性即可解出．
【解答过程】［方法一］：（指对数函数性质）
由9m=10可得m=lg910=lg10lg9>1，而lg9lg11lg11lg10，即m>lg11，所以a=10m−11>10lg11−11=0.
又lg8lg10lg10lg9，即lg89>m，
所以b=8m−9<8lg89−9=0.综上，a>0>b.
［方法二］：【最优解】（构造函数）