2024年高考数学二轮复习【举一反三】系列 重难点06 导数必考压轴解答题全归类【十一大题型】- （新高考专用）

这是一份2024年高考数学二轮复习【举一反三】系列 重难点06 导数必考压轴解答题全归类【十一大题型】- （新高考专用），文件包含重难点06导数必考压轴解答题全归类十一大题型举一反三新高考专用原卷版docx、重难点06导数必考压轴解答题全归类十一大题型举一反三新高考专用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共94页， 欢迎下载使用。

一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
重难点06 导数必考压轴解答题全归类【十一大题型】
【新高考专用】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc11737" 【题型1 函数的切线问题】 PAGEREF _Tc11737 \h 3
\l "_Tc25076" 【题型2 （含参）函数的单调性问题】 PAGEREF _Tc25076 \h 4
\l "_Tc11845" 【题型3 函数的极值、最值问题】 PAGEREF _Tc11845 \h 5
\l "_Tc23386" 【题型4 函数零点（方程根）问题】 PAGEREF _Tc23386 \h 6
\l "_Tc31279" 【题型5 不等式的证明】 PAGEREF _Tc31279 \h 7
\l "_Tc22243" 【题型6 利用导数研究不等式恒成立问题】 PAGEREF _Tc22243 \h 9
\l "_Tc21214" 【题型7 利用导数研究能成立问题】 PAGEREF _Tc21214 \h 10
\l "_Tc12189" 【题型8 双变量问题】 PAGEREF _Tc12189 \h 11
\l "_Tc21118" 【题型9 导数中的极值点偏移问题】 PAGEREF _Tc21118 \h 12
\l "_Tc31987" 【题型10 导数与三角函数结合问题】 PAGEREF _Tc31987 \h 13
\l "_Tc18678" 【题型11 导数与数列不等式的综合问题】 PAGEREF _Tc18678 \h 14
导数是高中数学的重要考查内容，是高考必考的热点内容.从近几年的高考情况来看，在解答题中试题的难度较大，主要涉及导数的几何意义、函数的单调性问题、函数的极值和最值问题、函数零点问题、不等式恒成立与存在性问题以及不等式的证明等内容，考查分类讨论、转化与化归等思想，属综合性问题，解题时要灵活求解．
其中，对于不等式证明中极值点偏移、隐零点问题和不等式的放缩应用这三类问题是目前高考导数压轴题的热点方向．
【知识点1 切线方程的求法】
1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：
①求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率；
②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0).
2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：
①设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)；
②利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；
③将已知条件代入②中的切线方程求解.
【知识点2 导数中函数单调性问题的解题策略】
1.含参函数的单调性的解题策略：
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.
2.根据函数单调性求参数的一般思路：
(1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集.
(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.
【知识点3 函数的极值与最值问题的解题思路】
1.运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f'(x)；
(3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根；
(4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号；
(5)求出极值.
2.根据函数极值求参数的一般思路：
已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方
程组，利用待定系数法求解.
3.利用导数求函数最值的解题策略：
(1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤：
①求函数在(a,b)内的极值；
②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；
③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤：
求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和
极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.
【知识点4 导数的综合应用】
1．导数中的函数零点（方程根）问题
利用导数研究含参函数的零点（方程的根）主要有两种方法：
(1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决.
(2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y= g (x)图象的交点问题.
2．导数中的不等式证明
(1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可.
(2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题．
3．导数中的恒成立、存在性问题
解决不等式恒（能）成立问题有两种思路：
(1)分离参数法解决恒（能）成立问题，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，即可解决问题．
(2)分类讨论法解决恒（能）成立问题，将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，据此进行求解即可.
4．导数中的双变量问题
破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．
5．极值点偏移的相关概念
所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性．
极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且.
(1)若，则称函数在区间上极值点偏移；
(2)若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；
(3)若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏．
【题型1 函数的切线问题】
【例1】（2023·河南·统考模拟预测）已知函数fx=aex−1−lnx.
(1)当a=1时，求fx的图象在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)当a≥1时，证明：fx>sinx.
【变式1-1】（2023·四川雅安·统考一模）已知函数f(x)=aex+bx+c在x=ln2时有极小值.曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x+y=0.
(1)求a,b,c的值；
(2)若对任意实数x,f(x)≥(e−2)x+m恒成立，求实数m的取值范围.
【变式1-2】（2023·广东·东莞市校联考一模）函数f(x)=2x+lnx在x=4处的切线方程为y=ℎ(x).
(1)求ℎ(x)；
(2)已知13【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）已知函数fx=alnx−12a−1x2−2x+12a+1.
(1)当a=4时，求fx的极值及曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；
(2)若函数fx有两个零点，求实数a的取值范围.
【题型2 （含参）函数的单调性问题】
【例2】（2023·海南·校联考模拟预测）已知函数fx=xlnx−ax2.
(1)当a=1时，讨论函数fx的单调性；
(2)若不等式fx>aex+1−ax2−x恒成立，求实数a的取值范围.
【变式2-1】（2023·黑龙江·校联考模拟预测）已知函数fx=xex,x∈R．
(1)求函数fx=xex单调区间；
(2)若过点P1,tt∈R可以作曲线y=fx的3条切线，求实数t的取值范围．
【变式2-2】（2023·四川成都·统考一模）已知函数fx=2ex−ax,a∈R．
(1)讨论函数fx的单调性；
(2)当a=e时，求证：fx>e1−csx．
【变式2-3】（2023·河北邢台·宁晋中学校考模拟预测）已知函数f(x)=aex+e−x−1（a是非零常数，e为自然对数的底数）
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当a>0时，若f(x)−1≥x2在R上恒成立，求实数a的取值范围．
【题型3 函数的极值、最值问题】
【例3】（2023·全国·模拟预测）已知函数fx=xlnx+t−1x−tt∈R．
(1)当t=0时，讨论函数fx的极值；
(2)若Fx=fx−exet有两个不同的极值点，求t的取值范围．
【变式3-1】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知奇函数fx=ax3+bx2+cx在x=1处取得极大值2.
(1)求fx的解析式；
(2)求fx在−4,3上的最值.
【变式3-2】（2023·宁夏固原·宁夏回族自治区西吉中学校考模拟预测）已知实数a>0，函数fx=xlna−alnx+x−e2，e是自然对数的底数.
(1)当a=e时，求函数fx的单调区间；
(2)求证：fx存在极值点x0，并求x0的最小值.
【变式3-3】（2023·吉林长春·东北师大附中校考二模）已知函数fx=mxe−x+x−lnxm∈R.
(1)讨论函数fx的极值点个数；
(2)若m>0，fx的最小值是1+lnm，求实数m的取值范围.
【题型4 函数零点（方程根）问题】
【例4】（2023·全国·模拟预测）已知函数f(x)=2x+alnxx2+a．
(1)当a=1时，求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程．
(2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．
【变式4-1】（2023·广东广州·广东广雅中学校考二模）已知函数fx=lnx+1x−1.
(1)求函数fx的最小值；
(2)若gx=x2fx+1−a−x+a，求函数gx的零点个数.
【变式4-2】（2023·全国·模拟预测）已知函数fx=x+1−alnx．
(1)判断函数fx的单调性．
(2)若fx=1有两个不相等的实根x1,x2，且x1a．
【变式4-3】（2023·广西·模拟预测）已知函数fx=2lnx+1+12x2−2x+m有三个零点，m∈R.
(1)求m的取值范围；
(2)记三个零点为x1,x2,x3，且x1【题型5 不等式的证明】
【例5】（2023·四川成都·统考一模）已知函数fx=2ex−ex.
(1)求函数fx的单调区间；
(2)求证：fx>elnx+csx.
【变式5-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数fx=x−mlnxm∈R．
(1)讨论fx的单调性；
(2)若存在不相等的实数x1，x2，使得fx1=fx2，证明：0【变式5-2】（2023·四川成都·统考二模）已知函数fx=ex−asinxa>0，曲线y=fx在0,f0处的切线也与曲线y=2x−x2相切.
(1)求实数a的值；
(2)若x1是fx的最大的极小值点，x2是fx的最大的极大值点，求证：2【变式5-3】（2023·河南新乡·统考一模）已知函数fx=xlnx−mx2−1．
(1)当m≥12时，讨论fx在0,+∞上的单调性；
(2)已知x1,x2是fx的两个零点，证明：x1x2>6e2．
【题型6 利用导数研究不等式恒成立问题】
【例6】（2023·四川内江·统考一模）已知函数f(x)=12ax2−lnx．
(1)当a=1时，求f(x)的极值；
(2)若不等式f(x)≥x恒成立，求实数a的取值范围．
【变式6-1】（2023·全国·模拟预测）已知fx=aex+lnx+1，a为任意实数．
(1)讨论函数fx的单调性；
(2)令a=2，对∀x≥0，均有fx≥kx+2恒成立，求k的取值范围．
【变式6-2】（2023·云南红河·统考一模）已知函数f(x)=mx−lnx−1(m∈R)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若关于x的不等式ex−1+alnx−(a+1)x+a≥0恒成立，求实数a的取值范围．
【变式6-3】（2023·安徽·校联考模拟预测）已知函数fx=aex−e−x，（a∈R）.
(1)若fx为偶函数，求此时fx在点0,f0处的切线方程；
(2)设函数g(x)=f(x)−(a+1)x，且存在x1,x2分别为g(x)的极大值点和极小值点.
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）若a∈(0,1)，且gx1+kgx2>0，求实数k的取值范围.
【题型7 利用导数研究能成立问题】
【例7】（2023·宁夏银川·校考模拟预测）已知函数f(x)=kx−ln(1+x)(k>0).
(1)当k=1时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(2)如果存在x0∈(0,+∞)，使得当x∈0,x0时，恒有f(x)【变式7-1】（2023·河北·模拟预测）已知函数fx=e−aex+xa∈R.
(1)讨论函数fx的单调性；
(2)若存在实数a，使得关于x的不等式fx≤λa恒成立，求实数λ的取值范围.
【变式7-2】（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知fx=x−a−1ex−12ax2+a2x−1．（a∈R）
(1)讨论fx的单调性；
(2)若a=−1，且存在x∈0,+∞，使得fx≤lnx+12x2+b+1x，求b的取值范围．
【变式7-3】（2023·北京海淀·统考一模）已知函数f(x)=eax−x．
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)若存在x1,x2∈[−1,1]，使得fx1⋅fx2≥9，求a的取值范围．
【题型8 双变量问题】
【例8】（2023·全国·模拟预测）已知函数fx=x+tlnx+t+t−1xt∈R．
(1)当t=0时，讨论函数fx的极值；
(2)已知Fx=fx−ex，函数Fx存在两个极值点x1，x2，证明：x1+x2<0．
【变式8-1】（2023·四川自贡·统考二模）已知函数fx=aex−x2有两个极值点x1、x2.
(1)求a的取值范围；
(2)若x2≥3x1时，不等式x1+λx2≥2x1x2恒成立，求λ的最小值.
【变式8-2】（2023·河南·校联考二模）已知函数fx=12mx2+m−1x−lnxm∈R，gx=x2−12ex+1.
(1)讨论fx的单调性；
(2)当m>0时，若对于任意的x1∈0,+∞，总存在x2∈1,+∞，使得fx1≥gx2，求m的取值范围.
【变式8-3】（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数fx=xeax+lnx−ax，其中e为自然对数的底数.
(1)当a=1时，求fx的单调区间；
(2)若函数gx=fx−xeax有两个零点x1,x2x1e2.
【题型9 导数中的极值点偏移问题】
【例9】（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知函数fx=2x+alnx−3x−a,a>0.
(1)当x≥1时，fx≥0，求a的取值范围.
(2)若函数fx有两个极值点x1,x2，证明：x1+x2>2e−12.
【变式9-1】（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数fx=xlnx−a2x2−x+a(a∈R)在其定义域内有两个不同的极值点.
(1)求a的取值范围；
(2)记两个极值点为x1,x2，且x1【变式9-2】（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知函数fx=x+1a+lnxx
(1)若函数fx在定义域上单调递增，求a的最大值；
(2)若函数fx在定义域上有两个极值点x1和x2，若x2>x1，λ=ee−2，求λx1+x2的最小值．
【变式9-3】（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知函数fx=x2lnx−32a，a为实数．
(1)求函数fx的单调区间；
(2)若函数fx在x=e处取得极值，f′x是函数fx的导函数，且f′x1=f′x2，x1【题型10 导数与三角函数结合问题】
【例10】（2023·四川雅安·统考一模）已知函数fx=ax3+2sinx−xcsx.
(1)若a=0，判断fx在−π2,π2上的单调性，并说明理由；
(2)当a>0，探究fx在0,π上的极值点个数.
【变式10-1】（2023·四川成都·成都七中校考一模）设函数Fx=1−λcsx+λcsa−sinx−sinax−a，其中a∈0,π2.
(1)若λ=1，讨论Fx在a,π2上的单调性；
(2)当x∈a,π2时，不等式Fx<0恒成立，求实数λ的取值范围.
【变式10-2】（2023·四川雅安·统考一模）已知函数fx=ax3+2sinx−xcsx（其中a为实数）．
(1)若a=−12,x∈0,π2，证明：fx≥0；
(2)探究fx在−π,π上的极值点个数．
【变式10-3】（2023·全国·模拟预测）已知函数f(x)=ex(csx+2)−(x+1)sinx，其中e是自然对数的底数．
(1)求函数f(x)的图象在点0,f0处的切线方程；
(2)若x>−1，求证：f(x)>0．
【题型11 导数与数列不等式的综合问题】
【例11】（2023·山东济南·校考模拟预测）设函数f(x)=emxx+1(x>−1)，已知f(x) ≥ 1恒成立．
(1)求实数m的值；
(2)若数列{ an }满足an+1=lnf( an )，且a1=1−ln2，证明：|ean−1|<(12)n.
【变式11-1】（2023·海南·海口校联考模拟预测）已知函数f(x)x+1=lnx−a(x−1)x+1．
(1)若函数f(x)在[1,+∞)上只有一个零点，求a的取值范围；
(2)若an=23,n=11n+1,n≥2，记数列an的前n项和为Sn，证明：2Sn【变式11-2】（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知函数fx=ex−1x．
(1)证明：当x<0时，fx<1；当x>0时，fx>1．
(2)正项数列xn满足：exn+1=fxn，x1=1，证明：
（i）数列xn递减；
（ii）i=1nxi≥2−12n−1．
【变式11-3】（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）设函数fnx=−1+x+x222+x332+⋯+xnn2.
(1)求函数f3x在点1,f31处的切线方程;
(2)证明:对每个n∈N*，存在唯一的xn∈23,1，满足fnxn=0；
(3)证明:对于任意p∈N∗，由（2）中xn构成的数列xn满足01．（2023·全国·统考高考真题）已知函数fx=1x+aln1+x．
(1)当a=−1时，求曲线y=fx在点1,fx处的切线方程．
(2)若函数fx在0,+∞单调递增，求a的取值范围．
2．（2023·全国·统考高考真题）已知函数fx=ax−sinxcs2x,x∈0,π2．
(1)当a=1时，讨论fx的单调性；
(2)若fx+sinx<0，求a的取值范围．
3．（2023·北京·统考高考真题）设函数f(x)=x−x3eax+b，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=−x+1．
(1)求a,b的值；
(2)设函数g(x)=f′(x)，求g(x)的单调区间；
(3)求f(x)的极值点个数．
4．（2023·全国·统考高考真题）已知函数f(x)=1x+aln(1+x).
(1)当a=−1时，求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线y=f1x关于直线x=b对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若fx在0,+∞存在极值，求a的取值范围.
5．（2023·天津·统考高考真题）已知函数fx=1x+12lnx+1．
(1)求曲线y=fx在x=2处切线的斜率；
(2)当x>0时，证明：fx>1；
(3)证明：566．（2023·全国·统考高考真题）已知函数fx=aex+a−x．
(1)讨论fx的单调性；
(2)证明：当a>0时，fx>2lna+32．
7．（2023·全国·统考高考真题）（1）证明：当0（2）已知函数fx=csax−ln1−x2，若x=0是fx的极大值点，求a的取值范围．
8．（2022·天津·统考高考真题）已知a，b∈R，函数fx=ex−asinx,gx=bx
(1)求函数y=fx在0,f0处的切线方程；
(2)若y=fx和y=gx有公共点，
（i）当a=0时，求b的取值范围；
（ii）求证：a2+b2>e．
9．（2022·全国·统考高考真题）已知函数f(x)=ax−1x−(a+1)lnx．
(1)当a=0时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围．