2023-2024学年全国内地西藏班初中校联考九年级（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年全国内地西藏班初中校联考九年级（上）期末数学试卷，共21页。

A．笛卡尔心形线B．阿基米德螺旋线
C．科克曲线D．赵爽弦图
2．（3分）下列事件中，必然发生的事件是（ ）
A．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数
B．13人中有两个人的生肖相同
C．任意投掷一枚骰子，上面的点数是6
D．经过任意三点能画一个圆
3．（3分）一元二次方程x2＝2x的解是（ ）
A．x＝2B．x＝0
C．x1＝0，x2＝2D．x1＝0，x2＝﹣2x
4．（3分）抛物线y＝（x+2）2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣2）B．（2，2）C．（﹣2，2）D．（﹣2，﹣2）
5．（3分）若函数y＝的图象在第一、三象限内，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣3B．m＜﹣3C．m＞3D．m＜3
6．（3分）已知⊙O的半径为3，点O到直线m的距离为d，若直线m与⊙O公共点的个数为2个，则d可取（ ）
A．2B．3C．3.5D．4
7．（3分）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是（ ）
A．58°B．60°C．64°D．68°
8．（3分）电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，自上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房收入约2亿元，第三天票房收入约达到4亿元，设票房收入每天平均增长率为x，下面所列方程正确的是（ ）
A．2（1+x）2＝4B．2（1+2x）＝4
C．2（1﹣x）2＝4D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝4
9．（3分）在利用正六面体骰子进行频率估计概率的试验中，小颖同学统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ）
A．朝上的点数是5的概率
B．朝上的点数是奇数的概率
C．朝上的点数大于2的概率
D．朝上的点数是3的倍数的概率
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（ ）
A．1.6B．1.8C．2D．2.6
11．（3分）如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（ ）
A．4B．6C．8D．12
12．（3分）如图所示是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+c＞0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n+1没有实数根．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均不得分.
13．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（1，3）绕坐标原点顺时针旋转180°后得点B，则点B的坐标为 ．
14．（3分）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，把游戏板平放到露天地面上，请问落在该游戏板上的第一滴雨正好打中阴影部分的概率是 ．
15．（3分）将抛物线y＝2（x﹣3）2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线解析式是 ．
16．（3分）如图，卓玛要制作一个母线长为7cm，底面圆半径是6cm的圆锥形小漏斗，若不计损耗，则所需纸板的面积是 ．
17．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
18．（3分）如图，直线y＝4x﹣k与x轴相交于点B，点A是直线上一点，过点A，B分别作x轴、y轴的平行线交于点C，点C恰在反比例函数的图象上，若点A的横坐标为点B横坐标的一半，则k的值为 ．
三、解答题：本大题共9小题，共66分，解答应写出详细的说明、证明过程或演算步骤.
19．（5分）解方程：x2+10x+9＝0．
20．（6分）已知如图，在直角坐标平面内，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣2，1）（正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度）．
（1）△A1B1C1是△ABC绕点 逆时针旋转 度得到的，B1的坐标是 ；
（2）求出线段AC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．
21．（6分）丁字尺是一种作图工具，如图（1）所示为丁字尺，可以看作两把互相垂直的直尺组成，并且CD部分平分AB部分．现在将丁字尺放在一个圆形工件上（圆心为O），如图（2）所示，使得A，B，D分别落在⊙O上，这样圆心O就会落在CD上，已知AB＝CD＝8cm，请求出该圆形工件的半径．
22．（6分）已知：如图，点A（1，m）是正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象在第一象限的交点，AB⊥x轴，垂足为点B，△ABO的面积是2．
（1）求m的值以及这两个函数的解析式；
（2）若点P在x轴上，且△AOP是以OA为腰的等腰三角形，求点P的坐标．
23．（8分）2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生总人数为 ，表中x的值为 ；
（2）该校共有500名学生，请你估计等级为B的学生人数；
（3）本次调查中，等级为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
24．（7分）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，则每件小商品应降价多少元？
25．（8分）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长18m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2．
（1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
26．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠A＝60°，AD＝2，求⊙O的半径长．
27．（12分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为﹣2，点M（1，m）是其对称轴上一点，y轴上一点B（0，1）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点C是抛物线上的一点且横坐标为3，当MA+MC的值最小时，求点M的坐标；
（3）二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结PA，PB，求△PAB的最大面积；
（4）在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年全国内地西藏班初中校联考九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，不选、错选或多选均不得分．
1．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．
【解答】解：A．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数，这是随机事件，故A不符合题意；
B．13人中有两个人的生肖相同，这是必然事件，故B符合题意；
C．任意投掷一枚骰子，上面的点数是6，这是随机事件，故C不符合题意；
D．经过任意三点能画一个圆，这是随机事件，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
3．【分析】先进行移项，再提取公因式x，即可求出一元二次方程的解．
【解答】解：x2＝2x，
x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
∴x＝0，x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝2，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程，关键用提取公因式方法解答．
4．【分析】根据二次函数的顶点式方程可地直接写出其顶点坐标．
【解答】解：∵抛物线为y＝（x+2）2﹣2，
∴顶点坐标为（﹣2，﹣2），
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的顶点坐标的求法，掌握二次函数的顶点式y＝a（x﹣h）2+k是解题的关键．
5．【分析】根据反比例函数的性质得m﹣3＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得m﹣3＞0，
解得m＞3．
故选：C．
【点评】考查反比例函数的性质：反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
6．【分析】根据直线和圆的位置关系判断方法，可得结论．
【解答】解：∵直线m与⊙O公共点的个数为2个，
∴直线与圆相交，
∴d＜半径＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系判断方法：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r，③直线l和⊙O相离⇔d＞r．
7．【分析】根据半径相等，得出OC＝OA，进而得出∠C＝32°，利用直径和圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵OA＝OC，
∴∠C＝∠OAC＝32°，
∵BC是直径，
∴∠B＝90°﹣32°＝58°，
故选：A．
【点评】此题考查了圆周角的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
8．【分析】第一天为2亿元，根据增长率为x得出第二天为2（1+x）亿元，第三天为2（1+x）2亿元，根据“第三天票房收入约达到4亿元”，即可得出关于x的一元二次方程．
【解答】解：设平均每天票房的增长率为x，
根据题意得：2（1+x）2＝4．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．【分析】随机掷一个均匀正六面体骰子，每一个面朝上的概率为，约为16.67%，根据频率估计概率试验统计的频率，随着试验次数的增加，频率越稳定在35%左右，因此可以判断各选项．
【解答】解：从统计图中可得该事件发生的可能性约在35%左右，
A的概率为1÷6×100%≈16.67%，
B的概率为3÷6×100%＝50%，
C的概率为4÷6×100%≈66.67%，
D的概率为2÷6×100%≈33.33%，
即朝上的点数是3的倍数的概率与之最接近，
故选：D．
【点评】本题考查随机事件发生的概率，折线统计图的制作方法，求出每个选项的事件发生概率，再依据折线统计图中反映的频率进行判断．
10．【分析】根据旋转变换的性质得到AD＝AB，根据等边三角形的性质解答即可．
【解答】解：由旋转的性质可知，AD＝AB，
∵∠B＝60°，AD＝AB，
∴△ADB为等边三角形，
∴BD＝AB＝2，
∵点D恰好落在BC边上，
∴CD＝CB﹣BD＝1.6，
故选：A．
【点评】本题考查的是旋转变换的性质、等边三角形的性质，掌握旋转前、后的图形全等是解题的关键．
11．【分析】根据双曲线上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S＝|k|即可判断．
【解答】解：延长BA交y轴于E，则BE⊥y轴，
∵点A在双曲线y＝上，
∴四边形AEOD的面积为4，
∵点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，
∴四边形BEOC的面积为12，
∴矩形ABCD的面积为12﹣4＝8．
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
12．【分析】根据图象开口向下，对称轴为直线x＝1可得抛物线与x轴另一交点坐标在（﹣1，0），（﹣2，0）之间，从而判断①．由对称轴为直线x＝1可得b与a的关系，将b＝﹣2a代入函数解析式根据图象可判断②由ax2+bx+c＝n有两个相等实数根可得Δ＝b2﹣4a（c﹣n）＝0，从而判断③．由函数最大值为y＝n可判断④．
【解答】解：∵抛物线顶点坐标为（1，n），
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
∵图象与x轴的一个交点在（3，0），（4，0）之间，
∴图象与x轴另一交点在（﹣1，0），（﹣2，0）之间，
∴x＝﹣1时，y＞0，
即a﹣b+c＞0，
故①正确，符合题意．
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c，
∴x＝﹣1时，y＝3a+c＞0，
故②正确，符合题意．
∵抛物线顶点坐标为（1，n），
∴ax2+bx+c＝n有两个相等实数根，
∴Δ＝b2﹣4a（c﹣n）＝0，
∴b2＝4a（c﹣n），
故③正确，符合题意．
∵y＝ax2+bx+c的最大函数值为y＝n，
∴ax2+bx+c＝n+1没有实数根，
故④正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
二．填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均不得分.
13．【分析】根据题意可得，点A和点B关于原点对称，据此求出B的坐标即可．
【解答】解：∵将点A（1，3）绕原点O旋转180°得到的点B，
∴点B和点A关于原点对称，
∵点A的坐标为（1，3），
∴B的坐标为（﹣1，﹣3）．
故答案为：（﹣1，﹣3）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
14．【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【解答】解：∵总面积为3×3＝9，其中阴影部分面积为9﹣2××2×2﹣2××1×1＝4，
∴飞镖落在阴影部分的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
15．【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝2（x﹣3）2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得抛物线解析式为：y＝2（x﹣3+2）2+1﹣3，即y＝2（x﹣1）2﹣2．
故答案为：y＝2（x﹣1）2﹣2．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
16．【分析】根据圆锥的侧面展开是扇形，即求扇形的面积，根据圆锥的母线长即扇形的半径，再由扇形的面积公式S＝lR即可得出答案．
【解答】解：圆锥侧面展开图扇形的面积为：×2π×6×7＝42π（cm2），
则所需纸板的面积是42πcm2，
故答案为：42πcm2．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，熟记扇形面积公式是解题的关键．
17．【分析】方程有实数根，则△≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．
【解答】解：由题意知，k≠1，
∵方程有实数根，
∴Δ＝32﹣4×（k﹣1）×（﹣1）＝5+4k≥0，
∴k≥﹣且k≠1．
【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
2、一元二次方程的二次项系数不为0
18．【分析】设点C的坐标为（m，），则点B（m，0），点A的横坐标为点B横坐标的一半，则A（，）．A（，）B（m，0）在直线y＝4x﹣k的图象上，代入直线解析式求出k值即可．
【解答】解：设点C的坐标为（m，），则点B（m，0），
∵点A的横坐标为点B横坐标的一半，则A（，）．
∵A（，）B（m，0）在直线y＝4x﹣k的图象上，
∴，
解得，
故答案为：﹣8．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，设点C的坐标导出点A、B坐标是关键．
三、解答题：本大题共9小题，共66分，解答应写出详细的说明、证明过程或演算步骤.
19．【分析】方程利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程分解得：（x+1）（x+9）＝0，
可得x+1＝0或x+9＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣9．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
20．【分析】（1）由旋转的性质即可得；
（2）根据勾股定理求得半径AC的长，由扇形面积公式可得答案．
【解答】解：（1）由图可知，△A1B1C1是△ABC绕点C逆时针旋转90度得到的，B1的坐标是（1，﹣2），
故答案为：C，90，（1，﹣2）；
（2）∵AC＝＝，
∴线段AC旋转过程中所扫过的面积＝．
【点评】本题主要考查坐标与图形的变化﹣旋转和扇形的面积的计算，熟练掌握旋转的定义和扇形的面积公式是解题的关键．
21．【分析】根据线段CD垂直平分线段AB，得出AC＝AB，连接AO，则AC2+OC2＝AO2，再设⊙O的半径为r，可得42+（8﹣r）2＝r2，然后解方程即可．
【解答】解：∵圆心O落在CD上，CD平分AB，
∴线段CD垂直平分线段AB，
∵A、B、D三点所在圆的圆心O在CD上，
∴AC＝BC＝AB＝×8＝4cm，
连接AO，则AC2+OC2＝AO2，
设⊙O的半径为r，
∵CD＝8cm，
∴OC＝（8﹣r） cm，
∴42+（8﹣r）2＝r2，
解得：r＝5cm，
∴该圆形工件的半径为5cm．
【点评】此题考查了垂径定理的应用，关键是找出圆心，通过作辅助线构造直角三角形，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、解方程．
22．【分析】（1）由△OAB的面积，利用反比例函数系数k的几何意义可求出k2的值，进而可得出反比例函数的解析式，由点A的横坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出m的值，进而可得出点A的坐标，再利用正比例函数图象上点的坐标特征可求出正比例函数的解析式；
（2）分OA＝OP或OA＝AP两种情况考虑：①当OA＝OP时，由点A的坐标可求出OA的长，结合OP＝OA及点P在x轴上可得出点P的坐标；②当OA＝AP时，利用等于三角形的三线合一可得出OP＝2OB＝2，进而可得出点P的坐标．综上，此题得解．
【解答】解：（1）∵△ABO的面积是2，
∴k2＝2×2＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝．
当x＝1时，m＝＝4，
∴点A的坐标为（1，4）．
又∵点A（1，4）在正比例函数y＝k1x的图象上，
∴k1＝4，
∴正比例函数的解析式为y＝4x．
（2）∵△AOP是以OA为腰的等腰三角形，
∴OA＝OP或OA＝AP．
①当OA＝OP时，∵点A的坐标为（1，4），
∴OA＝＝，
∴OP＝，
∴点P的坐标为（﹣，0）或（，0）；
②当OA＝AP时，OP＝2OB＝2，
∴点P的坐标为（2，0）．
综上所述：点P的坐标为（﹣，0），（，0），（2，0）．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用正反比例函数系数k的几何意义及正比例函数图象上点的坐标特征，求出两函数的解析式；（2）分OA＝OP或OA＝AP两种情况，利用等腰三角形的性质求出点P的坐标．
23．【分析】（1）用D等级人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用4除以总人数得到x的值；
（2）用500乘以B等级人数所占的百分比即可；
（3）列表法展示所有12种等可能的结果，找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】（1）解：∵D组人数为 8 人，所占百分比为16%，
∴总人数为8÷16%＝50人，
∴x＝4÷50＝8%．
（2）解：等级为B的学生所占的百分比为20÷50＝40%，
∴等级为B的学生人数为500×40%＝200人．
（3）解：记两名男生为a，b，记两名女生为c，d，列出表格如下：
∴一共有 12 种情况，其中恰有一男一女的有 8 种，
∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键．
24．【分析】设每件小商品降价x元，依据按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件列出等式解答即可．
【解答】解：（1）设每件小商品降价x元，由题意列得：
（2x+20）×（60﹣x﹣40）＝（60﹣40）×20，
解得：x1＝10，x2＝0（舍去），
答：每件小商品降价10元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．【分析】（1）依题意易求得y与x的函数关系式以及x的取值范围；
（2）把（1）的函数关系式用配方法化简求得y的最大值即可．
【解答】解：（1）由题意得：y＝x＝﹣x2+20x，
自变量x的取值范围是0＜x≤18；
（2）y＝﹣x2+20x
＝﹣（x﹣20）2+200，
当x＜20时，y随着x的增大而增大，
∵0＜x≤18，18＜20，
∴当x＝18时，y有最大值为198平方米，
即当x＝18时，满足条件的绿化带面积最大．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，注意在求自变量x的取值范围时，要根据函数中自变量所表示的实际意义来确定．
26．【分析】（1）连接OD．由等腰三角形的性质及圆的性质可得∠A＝∠ADC，∠B＝∠BDO．再根据余角性质及三角形的内角和定理可得∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．最后由切线的判定定理可得结论；
（2）根据已知条件得到CD＝AC＝AD＝2，∠ACD＝60求得∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣60°＝30°，根据切线的性质得到OD⊥DC，求得OC＝2OD，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AC＝CD，
∴∠A＝∠ADC，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠BDO，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠ADC+∠BDO＝90°，
∴∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°，
又∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵CD＝AC，∠A＝60°，AD＝2，
∴CD＝AC＝AD＝2，∠ACD＝60
∵∠ACB＝90
∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣60°＝30°，
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥DC，
∴OC＝2OD，
在Rt△ODC中，由勾股定理得：
OC2＝OD2+CD2，
即（2OD）2＝OD2+（2）2，
∴OD＝2，
∴⊙O的半径长为2．
【点评】此题考查的是切线的判定与性质、直角三角形的性质、圆周角定理，正确作出辅助线是解决此题的关键．
27．【分析】（1）根据题意设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，将点O（0，0）代入即可求函数的解析式；
（2）点A关于对称轴的对称点为点O，连接CO，与对称轴的交点即为所求的点M，使得MA+MC的值最小，求出直线OC与对称轴的交点即为M点；
（3）设P（a，2a2﹣4a），过点P作x轴的垂线交AB于点Q，则点Q的坐标为，可得PQ＝﹣2（a﹣）2+，当a＝时，PQ有最大值，此时△ABP的最大值为2×＝；
（4）设N点坐标为（n，2n2﹣4n），根据平行四边形对角线的性质，分三种情况讨论，利用中点坐标公式建立方程求n的值即可求N点坐标．
【解答】解：（1）∵二次函数的最小值为﹣2，点M（1，m）是其对称轴上一点，
∴二次函数顶点为（1，﹣2），
设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，
将点O（0，0）代入得，a﹣2＝0，
∴a＝2，
∴y＝2（x﹣1）2﹣1＝2x2﹣4x；
（2）由题意知点C坐标为（3，6），
点A关于对称轴的对称点为点O，连接CO，与对称轴的交点即为所求的点M，使得MA+MC的值最小，
设直线OC的解析式为y＝kx，
将点C（3，6）代入得：6＝3k，解得k＝2，
∴直线OC的解析式为y＝2x，
当x＝1时，y＝2，
∴点M的坐标为（1，2）；
（3）设P（a，2a2﹣4a），过点P作x轴的垂线交AB于点Q，则点Q的横坐标为a，
令抛物线解析式的y＝0，得到2x2﹣4x＝0，解得x1＝0，x2＝2，
∴A的坐标为（2，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
将A（2，0），B（0，1）代入y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为：，
∴点Q的坐标为，
∴PQ＝﹣a+1﹣（2a2﹣4a）＝﹣2a2+a+1＝﹣2（a﹣）2+，
∴当a＝时，PQ有最大值，
∴△ABP面积的最大值为2×＝；
（4）存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设N点坐标为（n，2n2﹣4n），
当AB为对角线时，由中点坐标公式得，2+0＝1+n，
∴n＝1，
∴N（1，﹣2），
当AM为对角线时，由中点坐标公式得，2+1＝n+0，
∴n＝3，
∴N（3，6），
当AN为对角线时，由中点坐标公式得，2+n＝0+1，
∴n＝﹣1，
∴N（﹣1，6），
综上所述：N（3，6）或（﹣1，6）或（1，﹣2）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，轴对称求最短距离是解题的关键．
等级
实践t（单位：分钟）
人数
所占百分比
A
0≤t＜2
4
x
B
2≤t＜4
20
C
4≤t＜6
D
t≥6
16%