+江苏省盐城市盐都区、亭湖区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷+

这是一份+江苏省盐城市盐都区、亭湖区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷+，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程属于一元二次方程的是( )
A. x3+1=x2B. x2+x−1=0C. x−3=0D. x+1x−4=0
2.已知⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为4.5，则点P与⊙O的位置关系是( )
A. P在圆内B. P在圆上C. P在圆外D. 无法确定
3.学校组织才艺表演比赛，前5名获奖．有11位同学参加比赛且他们所得的分数互不相同．某同学知道自已的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在这1名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是( )
A. 众数B. 方差C. 中位数D. 平均数
4.已知x1与x2分别为方程x2+2x−3=0的两根，则x1+x2的值等于( )
A. −2B. 2C. −32D. 32
5.如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB=30°，则∠AOB的度数是( )
A. 30°
B. 40°
C. 60°
D. 65°
6.如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是( )
A. ABBC=ADCD
B. ∠ADC=∠ACB
C. ∠ACD=∠B
D. AC2=AD·AB
7.设A(−2,y1)，B(1,y2)，C(2,y3)是抛物线y=x2−2x+c上的三点，y1，y2，y3的大小关系为( )
A. y1>y2>y3B. y1>y3>y2C. y3>y2>y1D. y3>y1>y2
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
8.在比例尺为1：38000的扬州旅游地图上，某条道路的长为5cm，则这条道路实际长______km．
9.转盘中6个扇形的面积相等，任意转动转盘一次，当转盘停止转动，指针落在扇形中的数小于5的概率是____．
10.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B=60°，则AC的长为______．
11.如图，△ABC的中线AD，CE交于点G，若AD=6，则AG的长是______．
12.科学家发现，蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比，已知蝴蝶展开的双翅的长度是4cm，则蝴蝶身体的长度约为______cm(精确到0.1)．
13.圆锥的母线长为7cm，侧面积为21πcm2，则圆锥的底面圆半径r=______cm．
14.将抛物线y=x2+x向右平移3个单位，所得抛物线的表达式是______．
15.如图，线段AB=4，点C为平面上一动点，连接AC，BC，且∠ACB=90°，D为线段BC的中点，将线段BD绕B点逆时针旋转90°得到线段BE，连接AE，则线段AE的最大值为______．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
16.某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1(元/台)与采购数量x1(台)满足y1=−20x1+1500(00)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若△ABC为“准互余三角形”，求抛物线的解析式．
26.(本小题14分)
已知，正方形ABCD，边长为4，点F是边AB、BC上一动点，以DF为直径作⊙O，
(1)当点F在边AB上时(如图1)
①求证：点O在边AD的垂直平分线上；
②如图2，若⊙O与边BC相切，请用尺规作图，确定圆心的位置，(不写作法，保留作图痕迹)，并求出AF的长；
③如图3，点F从点A运动到点B的过程中，若H始终是FHD的中点，写出H点运动的轨迹并求出路径长；
(2)当点F在边BC上时(如图4)，若H始终是FHD的中点，连接CH，CHFC=12，连接FH，求：△FCH的面积．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、方程中未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
B、只含有1个未知数，未知数的最高次数是2，故该选项符合题意；
C、方程中未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
D、该方程不是整式方程，故该选项不符合题意；
故选：B．
根据一元二次方程的定义判断即可．
本题考查了一元二次方程，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：∵r=4，d=4.5，
∴d>r，
∴点P在⊙O外．
故选：C．
根据：①点P在圆外⇔d>r.②点P在圆上⇔d=r.③点P在圆内⇔d2−1>1−1，
∴y1>y3>y2．
故选：B．
由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据各点到对称轴的距离的大小关系求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
8.【答案】1.9
【解析】解：根据题意得：
5÷138000=190000(厘米)，
190000厘米=1.9千米．
故答案为：1.9．
根据实际距离=图上距离÷比例尺．代值计算即可得出答案．
此题考查了比例线段，能够根据比例尺灵活计算，注意单位的换算问题．
9.【答案】23
【解析】解：在这6个数字中，小于5的有4个，
∴任意转动转盘一次，当转盘停止转动，指针落在扇形中的数小于5的概率是46=23，
故答案为：23．
直接利用概率公式计算可得．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
10.【答案】2 3
【解析】解：∵∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°，
连接AC、OA、OC，过点O作OM⊥AC，则AC=2AM，∠AOM=12∠AOC=60°，如图，
∴AM=OA⋅sin60°= 3，
∴AC=2AM=2 3．
故答案为：2 3．
连接AC、OA、OC，过点O作OM⊥AC，由AM=OA⋅sin60°可求结果．
本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．
11.【答案】4
【解析】解：∵△ABC的中线AD，CE交于点G，
∴G是△ABC的重心，
∴AG=23AD=23×6=4，
故答案为：4．
重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，由此即可计算．
本题考查三角形的重心，关键是掌握三角形重心的性质．
12.【答案】2.5
【解析】解：设蝴蝶身体的长度为xcm，
由题意得，x：4= 5−12，
解得，x=2 5−2≈2.5，
故答案为：2.5．
设蝴蝶身体的长度为xcm，根据黄金比为 5−12列式计算即可．
本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比为 5−12是解题的关键．
13.【答案】3
【解析】解：根据题意得12×2π×r×7=21π，
即得r=3，
所以圆锥的底面圆半径r为3cm．
故答案为3．
由于圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形的面积公式得到12×2π×r×7=21π，然后解方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14.【答案】y=(x−52)2−14
【解析】解：∵y=x2+x=(x+12)2−14，
∴将抛物线y=x2+x向右平移3个单位，所得抛物线的表达式是y=(x+12−3)2−14，即y=(x−52)2−14，
故答案为：y=(x−52)2−14．
根据“左加右减”的法则解答即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便易懂．
15.【答案】1+ 17
【解析】解：取AB中点F，连接CF.过点B作BG⊥AB．
使BG=12BF=12×12AB=14×4=1．
连接EG，AG．
∵∠ACB=90°，F是AB中点，
∴CF=12AB=12×4=2．
∵∠EBC=90°，∠GBA=90°，
∴∠EBG=90°−∠GBD，
∠GBF=90°−∠GBD．
∴∠EBG=∠CBF．
∴BFBC=12．BGBF=12．
∴△BFC～△BGE．
∴EGCF=BEBC=12．
∴EG=12CF=1．
∵∠GBA=90°．
∴由勾股定理得：GA= AB2+BG2= 42+12= 17．
当E，G，A三点共线时，AE最大，
∴AE=FG+GA=1+ 17．
故答案为：1+ 17．
取AB中点F，连接CF.过点B作BG⊥AB.连接EG，AG.证明△BFC～△BGE.由勾股定理求出GA，当E，G，A三点共线时，AE最大．
本题考查了旋转的性质，解题关键在于了解旋转的性质．
16.【答案】解：(1)设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为(20−x)台，
由题意得，x⩾11920−x①−20x+1500⩾1200②,
解不等式①得，x≥11，
解不等式②得，x≤15，
所以，不等式组的解集是11≤x≤15，
∵x为正整数，
∴x可取的值为11、12、13、14、15，
所以，该商家共有5种进货方案；
(2)设总利润为W元，空调的采购数量为x台，
y2=−10x2+1300=−10(20−x)+1300=10x+1100，
则W=(1760−y1)x1+(1700−y2)x2
=1760x−(−20x+1500)x+(1700−10x−1100)(20−x)
=1760x+20x2−1500x+10x2−800x+12000
=30x2−540x+12000
=30(x−9)2+9570，
当x>9时，W随x的增大而增大，
∵11≤x≤15，
∴当x=15时，W最大值=30(15−9)2+9570=10650(元)，
答：采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元．
【解析】(1)设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为(20−x)台，然后根据题意列出不等式组，求解得到x的取值范围，再根据空调台数是正整数确定进货方案；
(2)设总利润为W元，根据总利润等于空调和冰箱的利润之和整理得到W与x的函数关系式并整理成顶点式形式，然后根据二次函数的增减性求出最大值即可．
本题考查了二次函数的应用，一元一次不等式组的应用，(1)关键在于确定出两个不等关系，(2)难点在于列出利润的表达式．
17.【答案】解：∵a=1，b=3，c=−1
△=b2−4ac=13>0
∴x=−b± b2−4ac2a=−3± 132
x1=−3+ 132，x2=−3+ 132．
【解析】根据公式法，可得方程的解．
本题考查了解一元二次方程，利用公式法是解题关键，要用根的判别式．
18.【答案】(1)证明：∵Δ=(k+5)2−4(6+2k)
=k2+2k+1
=(k+1)2≥0，
∴此方程总有两个实数根；
(2)解：∵x=k+5±(k+1)2，
∴x1=2，x2=k+3，
∵此方程恰有一个根等于−1，
∴k+3=−1，
解得k=−4，
即k的值为−4．
【解析】(1)计算根的判别式得到Δ=(k+1)2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
(2)解方程得到x1=2，x2=k+3，则k+3=−1，求出k的值即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，
令y=0，则0=ax2+5ax+4a=a(x+1)(x+4)，
解得：x1=−1，x2=−4，
∴A(−4,0)，B(−1,0)，
∴OA=4，OB=1，AB=3；
令x=0，则y=4a，
∴C(0,4a)，
∴OC=4a；
当2∠CAB+∠ACB=90°时，
如图2，
由(2)知，△OCB∽△OAC，
∴OCOA=OBOC，即OC4=1OC，
解得：OC=2，
∴4a=2，
解得：a=12，
此时抛物线解析式为y=12(x+1)(x+4)；
当∠CAB+2∠ACB=90°时，
又∵∠CAB+∠ACO=90°，
∴∠ACO=2∠ACB，
即CB是∠ACO的角平分线，
作BM⊥AC于点M，则BM=OB=1，
∴12AC⋅BM=12AB⋅OC，
即12× 42+OC2×1=12×3×OC，
解得：OC= 2，
∴4a= 2，
解得：a= 24，
此时抛物线解析式为y= 24(x+1)(x+4)；
综上，抛物线解析式为y=12(x+1)(x+4)或y= 24(x+1)(x+4)．
(1)根据“准互余三角形”的定义得2∠B+∠A=90°，即可得出答案；
(2)①由直角三角形的性质得∠B+∠BAC=90°，再由角平分线的性质得∠BAC=2∠BAD，则∠B+2∠BAD=90°，即可得出结论；
②证明△CAE∽△CBA，得ACBC=ECAC，求出CE=94，即可得出BE的长；
(3)分两种情况：2∠CAB+∠ACB=90°，∠CAB+2∠ACB=90°，然后进一步解答即可．
本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、“准互余三角形”的定义等知识，本题综合性强，解题的关键是理解题意，学会构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
26.【答案】(1)①证明：如图1，

连接OA，
∴OA=OD，
∴点O在AD的垂直平分线上；
②解：如图2，

作BC的垂直平分线EF，交BC于E，交AD于G，连接DE，作DE的垂直平分线，交EF于O，
则点O就是求作的圆心，
设OD=OE=x，则OG=4−x，
∴x2−(4−x)2=22，
∴x=52，
∴DF=2OD=5，
∴AF= DF2−AD2= 52−42=3；
③解：如图3，

作AD的垂直平分线OV，交AD于V，在OV上截取VW=DV=2，连接DH，WH，
∵H是FHD的中点，
∴∠DOH=90°，DVDW=ODDH=1 2，∠VDW=∠ODH=45°，
∴∠DOV=∠WDH，
∴△DOV∽△DWH，
∴∠DWH=∠DVO=90°，
∴W、H在直线AC上，点H运动轨迹是线段WC，
∵W是正方形ABCD的中心，
∴WC= 22CD=2 2，
∴点H的运动路径长为：2 2；
(2)如图4，

链接DH，作HT⊥BC，交BC的延长线于T，
∵H是FHD的中点，
∴△DFH是等腰直角三角形，
∴∠HCT=∠FDH=45°，
∴CT=HT，
设CT=HT=x，则CH= 2x，CF=2CH=2 2x，
∴FT=CF+CT=(2 2+1)x，
∴FH2=TH2+FT2=(2 2+1)2x2+x2=(10+4 2)x2，
∴DF2=2(10+4 2)x2，
在Rt△DCF中，由勾股定理得，
(2 2x)2+42=2(10+4 2)x2，
∴x2=43+2 2，
∴S△FCH=12CF⋅FH=12×2 2x⋅x= 2x2= 2×43+2 2=12 2−16．
【解析】(1)①连接OA可得出OA=OD，进而得出结论；
②作BC的垂直平分线EF，交BC于E，交AD于G，连接DE，作DE的垂直平分线，交EF于O，则点O就是求作的圆心，设OD=OE=x，则OG=4−x，从而x2−(4−x)2=22，进而求得结果；
③AD的垂直平分线OV，交AD于V，在OV上截取VW=DV=2，连接DH，WH，可证得△DOV∽△DWH，从而∠DWH=∠DVO=90°，从而得出W、H在直线AC上，点H运动轨迹是线段WC，进一步得出结果；
(2)链接DH，作HT⊥BC，交BC的延长线于T，设CT=HT=x，则CH= 2x，CF=2CH=2 2x，从而FT=CF+CT=(2 2+1)x，进而得出DF2=2(10+4 2)x2，
在Rt△DCF中，可得出(2 2x)2+42=2(10+4 2)x2，进一步得出结果．
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，切线的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．