四川省成都市石室中学2023-2024学年高三下学期开学考试理科数学试卷

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（总分：150分，时间：120分钟 ）
第Ⅰ卷（共60分）
选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1．已知全集，能表示集合与，关系的图是
A．B．C．D．
2.已知向量，，则在方向上投影为
A．B．C．D．
3．技术在我国已经进入高速发展的阶段，手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如表所示：
若与线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是
A．由题中数据可知，变量与正相关，且相关系数
B．线性回归方程中
C．残差的最大值与最小值之和为0
D．可以预测时该商场手机销量约为1.72（千只）
4．方程表示双曲线的必要不充分条件可以是
A． B．，，C．D．
5．执行如图所示的程序框图，若依次输入，，，则输出的结果为
A． B． C．D．以上都不对
6．在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则
A．B．C． D．
7. 设等差数列的前项和为，已知，，，则的值为
A．15B．16C．17D．18
8．如图是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的高为
A．1B．2C．D．
9．抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足，为线段的中点，设在上的射影为，则的最大值是
A．B．C．D．
10． 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，点，分别为，的中点，在侧面上运动，且满足平面，以下命题错误的是
A．
B．多面体的体积为定值
C．侧面上存在点，使得
D．直线与直线所成的角可能为
11．已知直线与圆心为且半径为3的圆相交于，两点，直线与圆交于，两点，则四边形的面积的值最大是
A．B．C．D．
12．已知函数在区间上有且仅有4个极值点，给出下列四个结论：
①在区间上有且仅有3个不同的零点；②的最小正周期可能是；
③的取值范围是；④在区间上单调递增.
其中正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13．若，则的共轭复数为_________
14．在的展开式中，含的项的系数是__________ .（用数字作答）
15.已知为等腰三角形，其中，点D为边AC上一点，.以点B、D为焦点的椭圆E经过点A与C，则椭圆E的离心率的值为 .
16.若函数与的图像在实数集上有且只有3个交点，则实数的取值范围为 __________ .
三、解答题（本题共6道小题，共70分）
17.已知数列的首项为，且满足，数列满足．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前项和为，求．
18.某企业有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为6，9，12，员工隶属于甲部门．现在医务室通过血检进行一种流行疾病的检查，已知该种疾病随机抽取一人血检呈阳性的概率为，且每个人血检是否呈阳性相互独立．
（Ⅰ）现采用分层抽样的方法从中抽取9人进行前期调查，求从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人，并求员工被抽到的概率；
（Ⅱ）将甲部门的6名员工随机平均分成2组，先将每组的血样混在一起化验，若结果呈阴性，则可断定本组血样全部为阴性，不必再化验；若结果呈阳性，则本组中至少有一人呈阳性，再逐个化验．记为甲部门此次检查中血样化验的总次数，求的分布列和期望．
19．如图，已知梯形与所在平面垂直，，，，，，．，连接，．
（Ⅰ）若为边上一点，，求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
20．已知椭圆的离心率为，焦距为，过的左焦点的直线与相交于、两点，与直线相交于点．
（Ⅰ）若，求证：；
（Ⅱ）过点作直线的垂线与相交于、两点，与直线相交于点．求的最大值．
21．已知函数.
（Ⅰ）若在区间上恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若函数和有公切线，求实数的取值范围.
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程.
（Ⅰ）求和的直角坐标方程；
（Ⅱ），直线与交于两点，其中点在第一象限，求点的极坐标及点的极径.
23.已知函数，．
（Ⅰ）求函数的最小值；
（Ⅱ）设，求证：．月份
1
2
3
4
5
销售量（千只）
0.5
0.8
1.0
1.2
1.5