华师大版数学九下 27.1.2 第2课时 垂径定理（课件PPT）

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垂径定理27.1.2 圆的对称性第 2 课时 问题：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为 37 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.23 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？情境引入导入新课·OABDPC问题：如图，AB 是⊙O 的一条弦，直径 CD⊥AB，垂足为 P. 你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧? 为什么?线段：AP = BP垂径定理及其推论探究归纳垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧.∵ CD 是⊙O 的直径，CD⊥AB，(条件) 推导格式：温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要相互转化，形成整体，才能运用自如.想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，因为 CD 没有过圆心ABOEABDCOEABOCDE垂径定理的几个基本图形：归纳总结 如果把垂径定理 (垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧) 结论与题设交换一条，命题是真命题吗？ ①过圆心；②垂直于弦； ③平分弦； ④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？思考探索举例证明其中一种组合方法.已知:求证：① CD 是直径② CD⊥AB，垂足为 E ③ AE = BE证明猜想如图，AB 是⊙O 的一条弦，直径 CD 平分弦 AB 于点 E. (1) CD⊥AB 吗？为什么？ (2)·OABCDE解：(1) 连接 AO、BO，则 AO = BO.又∵ AE = BE，∴∠AEO =∠BEO = 90°.∴ CD⊥AB.证明举例∴△AOE≌△BOE(SSS).思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？ 如果不能，请举出反例.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.垂径定理的推论圆的两条直径互相平分归纳总结特别说明： 例1 如图，OE⊥AB于 E，若⊙O 的半径为 10 cm，OE = 6 cm，则 AB = cm.解析：连接 OA，∵ OE⊥AB，∴ AB = 2AE = 16 cm.16典例精析垂径定理及其推论的计算例2 如图，⊙O 的弦 AB＝8 cm ，直径 CE⊥AB 于 D，DC＝2 cm，求半径 OC 的长.解：连接 OA，∵ CE⊥AB 于 D，设OC = x cm，则 OD = x - 2，根据勾股定理，得解得 x = 5.即半径 OC 的长为 5 cm.x2 = 42 + ( x - 2)2，证明：作直径 MN⊥AB，如图.∵ AB∥CD，∴ MN⊥CD.则 = ， = （垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）.∴ － = － .∴ = .例3 已知：⊙O 中弦 AB∥CD，求证： = ..MCDABON 解决有关弦的问题，经常过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，并构造半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.归纳总结试一试：根据所学新知，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?垂径定理的实际应用由垂径定理，得 AD = AB = 18.5 m，设⊙O 的半径为 R m.在 Rt△AOD 中，AO = R，OD = R - 7.23，AD = 18.5.由勾股定理，得解得 R ≈ 27.3.即赵州桥主桥拱的半径约为 27.3 m.∴ R2 = (R - 7.23)2 + 18.52，练一练：如图 1、2，一弓形弦长为 　 cm，弓形所在的圆的半径为 7 cm，则弓形的高为＿_＿＿__cm. 2 或 12 指弧中点到弦的距离 在圆中有关弦长 a，半径 r， 弦心距 d（圆心到弦的距离），弓形高 h 的计算题，常常通过连半径或作垂线构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r之间有以下关系：弓形中重要数量关系d+h=r 1.已知⊙O中，弦 AB = 8 cm，圆心到 AB 的距离为 3 cm，则此圆的半径为 cm .5 2.⊙O 的直径 AB = 20 cm， ∠BAC = 30°，则弦 AC = cm. 当堂练习3. 如图，在⊙O 中，AB、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB 于 D，OE⊥AC 于 E，求证：四边形 ADOE 是正方形．证明：∵ OD⊥AB，OE⊥AC，AB⊥AC，∴ 四边形 ADOE 为矩形，又∵ AC = AB，∴ AE = AD.∴ 四边形 ADOE 为正方形.∴∠OEA =∠EAD =∠ODA = 90°. 4. 如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C，D 两点. 你认为 AC 和 BD 相等吗？为什么？解：AC = BD. 理由如下： 过点 O 作 OE⊥AB，垂足为 E. 则 AE = BE，CE = DE. ∴ AE－CE = BE－DE， 即 AC = BD.方法总结：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，这是一种常见辅助线的添法．解：连接 OC，如图.根据勾股定理，得设这段弯路的半径为 R m，解得 R = 545.∴ 这段弯路的半径约为 545 m.拓展提升：如图，⊙O 的直径为 10，弦 AB = 8，P 为 AB 上的一个动点，那么 OP 长的取值范围 .3 ≤OP≤5 垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:①过圆心；②垂直于弦； ③平分弦（不是直径）； ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.两条辅助线：连半径，作垂线构造直角三角形利用勾股定理计算或建立方程基本图形及变式图形课堂小结