高三数学高考高分突破之概率统计专题17 道路通行问题（解析版）22

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若在某路段遇到降水，则在该路段行驶的时间需延长1小时．
现有如下两个方案：
方案甲：上午从地出发到地办事然后到达地，下午在地办事后返回地；
方案乙：上午从地出发到地办事，下午从地出发到达地，办事后返回地
（1）若此人8点从地出发，在各地办事及午餐的累积时间为2小时，且采用方案甲，求他当日18点或18点之前能返回地的概率；
（2）甲、乙两个方案中，哪个方案有利于办完事后能更早返回地？
【解析】解：（1）由题意可知，若各路段均不会遇到降水，则返回地的时间为17点，
因此若18点之前能返回地的充要条件是降水的路段数不超过1，
记事件，，分别表示在上午路段降水、上午路段降水、下午路段降水，
则所求概率：
．
（2）设基本路段正常行驶时间为，降水概率为，
则该路段行驶时间的分布列为：
，
设采用甲、乙两种方案所花费的总行驶时间分别为，，
则，
．
采用甲方案更有利于办事之后能更早返回地．
例2． 市民李先生居住在甲地，工作在乙地，他的小孩就读的小学在丙地，三地之间的道路情况如图所示．假设工作日不走其它道路，只在图示的道路中往返，每次在路口选择道路是随机的．同一条道路去程与回程是否堵车相互独立．假设李先生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班．假设道路A，B，D上下班时间往返出现拥堵的概率都是，道路C，E上下班时间往返出现拥堵的概率都是，只要遇到拥堵上学和上班的都会迟到．
(1)求李先生的小孩按时到校的概率；
(2)李先生是否有七成把握能够按时上班？
(3)设X表示李先生下班时从单位乙到达小学丙遇到拥堵的次数，求X的均值．
【解析】(1)因为道路D、E上班时间往返出现拥堵的概率分别是和，因此从甲到丙遇到拥堵的概率是：×＋×＝，故李先生的小孩能够按时到校的概率是1－＝.
(2)甲到丙没有遇到拥堵的概率是，丙到甲没有遇到拥堵的概率也是，甲到乙遇到拥堵的概率是×＋×＋×＝，甲到乙没有遇到拥堵的概率是1－＝，
∴李先生上班途中均没有遇到拥堵的概率是××＝<0.7，所以李先生没有七成把握能够按时上班．
(3)依题意X可以取0,1,2.
P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝×＋×＝；P(X＝2)＝×＝.
分布列是：
E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
例3． 2018年11月6日-11日，第十二届中国国际航空航天博览会在珠海举行。在航展期间，从珠海市区开车前往航展地有甲、乙两条路线可走，已知每辆车走路线甲堵车的概率为14，走路线乙堵车的概率为p，若现在有A，B两辆汽车走路线甲，有一辆汽车C走路线乙，且这三辆车是否堵车相互之间没有影响。
（1）若这三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为716，求p的值。
（2）在（1）的条件下，求这三辆汽车中被堵车辆的辆数X的分布列和数学期望。
【解析】(1)由已知得(1−p)+⇒p=13
(2)由题意得X的所有可能取值为0,1,2,3
P(X=0)=，P(X=1)=716，P(X=3)=
所以P(X=2)=1−P(X=0)−P(X=1)−P(X=3)=1−38−716−148=16
所以随机变量X的分布列为
故E(X)=0×38+1×716+2×16+3×148=56.
例4． 某校要用三辆汽车从新校区把教职工接到老校区，已知从新校区到老校区有两条公路，汽车走公路①堵车的概率为，不堵车的概率为；汽车走公路②堵车的概率为，不堵车的概率为.若甲、乙两辆汽车走公路①，丙汽车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响.
（1）若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为，求走公路②堵车的概率；
（2）在（1）的条件下，求三辆汽车中被堵车辆的个数的分布列和数学期望.
【解析】解：（1）三辆车是否堵车相互之间没有影响
三辆汽车中恰有一辆汽车被堵，是一个独立重复试验，
走公路②堵车的概率为p，不堵车的概率为1﹣p，
得
即3p＝1，则
即p的值为．
（2）由题意知ξ可能的取值为0，1，2，3
，
，
∴ξ的分布列为：
∴Eξ
例5． 某果园要用三辆汽车将一批水果从所在城市E运至销售城市F，已知从城市E到城市F有两条公路.统计表明：汽车走公路Ⅰ堵车的概率为，走公路Ⅱ堵车的概率为，若甲、乙两辆汽车走公路Ⅰ，第三辆汽车丙由于其他原因走公路Ⅱ运送水果，且三辆汽车是否堵车相互之间没有影响.
（Ⅰ）求甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率；
（Ⅱ）求三辆汽车中至少有两辆堵车的概率.
【解析】设“汽车甲走公路Ⅰ堵车”为事件A,“汽车乙走公路Ⅰ堵车”为事件B,“汽车丙走公路Ⅱ堵车”为事件C.
(Ⅰ)甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车,有2种情况,
即甲堵车而乙不堵车和甲不堵车而乙堵车,
则其概率为,
故甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率为；
(Ⅱ)甲、乙、丙三辆汽车中至少有两辆堵车即三辆车全部堵车或恰有两辆汽车堵车,则其概率
，
故三辆汽车中至少有两辆堵车的概率为.
例6． 张老师居住在某城镇的A处，准备开车到学校B处上班。若该地各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图。（例如：A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为）。（1）请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；（2）若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量，求的数学期望。
【解析】（1）记路段AC发生堵车事件为AC，其余同此表示法。因为各路段发生堵车事件是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P1为
同理：路线A→C→F→B中遇到堵车的概率P2为
路线A→E→F→B中遇到堵车的概率P3为
显然要使得A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择。又
因此选择路线A→C→F→B，可使得途中发生堵车事件的概率最小
（2）路线A→C→F→B中遇到堵车次数可取值为0，1，2，3
所以
故路线A→C→F→B中遇到堵车次数的数学期望为
例7． 自驾游从地到地有甲乙两条线路，甲线路是，乙线是，其中段、段、段都是易堵车路段.假设这三条路段堵车与否相互独立.这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表1所示.经调查发现，堵车概率在上变化，在上变化.在不堵车的情况下.走线路甲需汽油费500元，走线路乙需汽油费545元.而每堵车1小时，需多花汽油费20元.路政局为了估计段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到表2数据.
（表2）
（1）求段平均堵车时间的值.
（2）若只考虑所花汽油费期望值的大小，为了节约，求选择走甲线路的概率.
（3）在(2)的条件下，某4名司机中走甲线路的人数记为X，求X的数学期望。
【解析】
（1）
（2）设走线路甲所花汽油费为元，则
设走乙线路多花的汽油费为元，
段、段堵车与否相互独立，
，，
，

走乙线路所花汽油费的数学期望为
依题意选择走甲线路应满足，


（3）二项分布
例8． 如图，某工人的住所在处，上班的企业在处，开车上下班的路线有三条路程几乎相等的线路供选择:环城南路经过医院的路口，环城北路经过学校的路口，中间路线经过商场的路口。如果开车到五个路口因遇到红灯而堵车的概率分别为，再无别的路口红灯.
(1)为了减少开车在路口因遇到红灯而堵车的次数，这位工人应该选择哪条行驶路线?
(2) 对于(1)所选择的路线，求其堵车次数的方差.
点睛：本题主要考查了随机变量的分布列、数学期望和方程的求解以及应用，着重考查了考生的推理与运算能力，以及函数与方程思想，试题能很好的考查考生数学应用意识，属于中档试题.
【解析】（1）设这位工人选择行驶路线、、的分别堵车、、次，
则，1，2；，1，2，3
由于 ，，，
则期望值
由于 ，，，
则期望值
由于 ，，
，,
则期望值.
比较知最小，所以这位工人应该选择行驶路线
（2）已求 最小，且 ，，，
则 ，
所以符合题意的方差为
例9． 为响应绿色出行，某市在：推出“共亨单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”，其中一款新能源分吋租赁汽车具体收费标准为日间0.5元/分钟，晚间(18时30分至次日上午7时30分)收费35元/小时，已知孙先生家离上班地点20公里，每天日间租用该款汽车上、下班各一次.由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间t(分钟)是一个随机变量.现统计了50次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如表所示：
将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为(20,70]分钟．
(1)若孙先生一次开车时间不超过40分钟为“路段畅通”，设X表示4次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求X的分布列和期望；
(2)若公司每月给1000元的车补，请估计孙先生每月(按22天计算)的车补是否足够上、下班租用新能源分时租赁汽车？并说明理由.(同一时段，用该区间的中点值作代表)．
【解析】(1)孙先生租用一次新能源汽车，为“路段畅通”的频率为4+1650=25，
视频率为概率，孙先生租用一次新能源汽车，为“路段畅通”的概率为25，
则X的可能取值为0，1，2，3，4；且X服从二项分布B(4,25)，
所以P(X=0)=C40⋅(35)4=81625；
P(X=1)=C41⋅25⋅(35)3=216625；
P(X=2)=C42⋅(25)2⋅(25)2=216625；
P(X=3)=C43⋅(25)3⋅35=96625；
P(X=4)=C44⋅(25)4=16625；
∴X的分布列为：
数学期望为E(X)=np=4×25=85；
(2)孙先生租用一次新能源汽车上下班，平均用车时间为t，
则t=25×450+35×1650+45×1850+55×1050+65×250=43(分钟)，
每次上下班租车的费用约为43×0.5=21.5(元)，
一个月上下班租车的总费用约为21.5×2×22=946(元)，
因为946<1000，估计孙先生每月的车补足够上、下班租用新能源分时租赁汽车．
例10．为响应低碳绿色出行，某市推出“新能源分时租赁汽车”，其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由以下两部分组成：①根据行驶里数按1元/公里计费;②当租车时间不超过40分钟时，按0.12元/分钟计费;当租车时间超过40分钟时，超出的部分按0.20元/分钟计费;③租车时间不足1分钟，按1分钟计算。已知张先生从家里到公司的距离为15公里，每天租用该款汽车上下班各一次，且每次租车时间t20,60（单位：分钟）.由于堵车，红绿灯等因素，每次路上租车时间t是一个随机变量，现统计了他50次路上租车时间，整理后得到下表:
将上述租车时间的频率视为概率.
(1)写出张先生一次租车费用y(元)与租车时间t(分钟)的函数关系式;
(2)公司规定，员工上下班可以免费乘坐公司接送车，若不乘坐公司接送车的每月(按22天计算)给800元车补.从经济收入的角度分析，张先生上下班应该选择公司接送车，还是租用该款新能源汽车?
(3)若张先生一次租车时间不超过40分钟为“路段畅通”，设ξ表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求ξ的分布列和期望;
【解析】（1）当 QUOTE 20≤t≤40 时， QUOTE y=0.12t+15
当 QUOTE 40 QUOTE y=0.12t+15，20≤t≤400.2t+11.8，40（2）由题意得张先生租用一次该款新能源分时租赁汽车上下班的平均费用的估计值为
所以张先生一个月上下班租用该款新能源汽车的费用约为 QUOTE 20.512×22×2=902.528 ，
QUOTE ∵902.528>800 ，张先生上下班应选择乘坐公司接送车.
（3）由题意可得张先生上下班一次“路段畅通”的概率为：
QUOTE P=2+1850=25 ，则 QUOTE ξ~B3,25
计算，
，
，
；
∴ξ的分布列为
数学期望为．
路段
正常行驶所需时间（小时）
上午降水概率
下午降水概率
2
0.3
0.6
2
0.2
0.7
3
0.3
0.9
行驶时间


概率


路段
正常行驶所需时间（小时）
上午
上午
下午
下午
降水概率
行驶时间期望值
降水概率
行驶时间期望值

2
0.3
2.3
0.6
2.6

2
0.2
2.2
0.7
2.7

3
0.3
3.3
0.9
3.9
X
0
1
2
P
X
0
1
2
3
P
38
716
16
148
CD段
EF段
GH段
堵车概率
平均堵车时间
（单位：小时）
2
1
（表1）
堵车时间（单位：小时）
频数
8
6
38
24
24
时间t(分钟)
(20,30]
(30,40]
(40,50]
(50,60]
(60,70]
频数
4
16
18
10
2
X
0
1
2
3
4
P
81625
216625
216625
96625
16625
租车时间t（分钟）
[20，30]
（30，40]
（40，50]
（50，60]
频数
2
18
20
10
ξ
0
1
2
3
P
QUOTE 27125