陕西省汉中市汉台区2024届高三上学期第四次校际联考数学（理）试题（教师版）

这是一份陕西省汉中市汉台区2024届高三上学期第四次校际联考数学（理）试题（教师版），共17页。

注意事项：
1．本试卷共4页，答题时间120分钟．
2．答卷前，务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设全集，集合，则的值为（ ）
A. B. 和C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用补集的定义即可求解.
【详解】由题知，因为，
所以，，.
故选：C
2. 已知复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】化简后，得到方程与不等式，求出.
【详解】因为为纯虚数，
所以，解得.
故选：D．
3. 一个路口的红绿灯，红灯的时间为40秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，当你到达路口时，看见黄灯的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据几何概型运算求解即可.
【详解】由题意可得：看见黄灯的概率为.
故选：D.
4. 已知平面向量、满足，若，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依题意可得，根据数量积的运算律求出，再由夹角公式计算可得.
【详解】因为，且，所以，即，
所以，
设与的夹角为，则，因为，
所以，即与的夹角为.
故选：D
5. “二十四节气”是中国古代劳动人民伟大的智慧结晶，其划分如图所示．小明打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗．他准备在春季的6个节气与夏季的6个节气中共选出3个节气，则小明选取节气的不同情况的种数是（ ）
A. 90B. 180C. 220D. 360
【答案】C
【解析】
【分析】根据组合知识进行求解.
【详解】小明选取节气的不同情况的种数为.
故选：C
6. 已知则p是q的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据解分式不等式的方法，结合充分不必要条件的定义进行判断即可.
【详解】或，
显然由p一定能推出q，但是由q不一定能推出p，
所以p是q的充分不必要条件，
故选：A
7. 在长方体中，，，，则异面直线和所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造平行线转化为共面直线，再结合余弦定理求夹角即可.
【详解】
如图所示，在长方体中易知，即异面直线和所成角为,
由，，及勾股定理可得,
由余弦定理可得，
故选：A
8. 已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用焦点重合可得的值，结合双曲线的渐近线方程可得答案.
【详解】因为抛物线的焦点为，所以双曲线的一个焦点也是，
所以，解得，即双曲线的方程为，
其渐近线的方程为：.
故选：A.
9. 若实数满足约束条件则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出可行域，结合图形即可得出结果.
【详解】如图所示作出可行域，当过直线和的交点即时，此时.
故选：C
10. 已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且关于点对称，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对称轴的性质，结合正弦型函数的周期公式、对称性进行求解即可.
【详解】因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以该函数的最小正周期为，
又因为，所以有，即，
因为该函数关于点对称，
所以，
因为，
所以令，
故选：B
11. 已知圆锥的底面半径为4，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）．
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由圆锥的轴截面、侧面展开图性质求体高，应用圆锥体积公式求体积即可.
【详解】设该圆锥的母线长为l，高为h，
由，得，则，
所以该圆锥的体积为．
故选：C
12. 定义在上的函数满足，是偶函数，若在上单调递增，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用给定的性质把函数值化成上某个数对应的函数值，再利用单调性比较作答.
【详解】因为在上的函数满足，则，，
又，于是，
所以.
故选：D
二、填空题：本大题共4小题．
13. 函数是定义在R上的奇函数，且，则______.
【答案】2
【解析】
【分析】根据奇函数的定义直接求解即可.
【详解】.
故答案为：2
【点睛】本题考查了奇函数的性质，属于基础题.
14. 已知为第二象限角，满足，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】运用正、余弦的二倍角公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.
【详解】，
因为为第二象限角，所以，
因此由，
故答案为：
15. 过四点、、、中的三点的一个圆的方程为______（写出一个即可）.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】利用圆的一般式方程求过三点的圆.
【详解】过，，时，设圆的方程为，
则，解得，
圆的方程是：，即；
同理可得：
过、、时，圆的方程是：；
过，，时，圆的方程是：；
过，，时，圆的方程是：.
故答案为：.（、、、写其中一个即可）
16. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用导数转化为恒成立问题，分离参数法求解即可.
【详解】定义域为，而，由已知得函数在区间内存在单调递增区间，则在上有解，化简得，令，由幂函数性质得在上单调递增，，则.
故答案为：
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题
17. 设等差数列的前项和为，，．
（1）求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设出的公差为，利用等差数列通项公式和前项和公式求解即可；
（2）由（1）判断出前六项为正，后四项为负，进而利用前项和公式求解即可.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
，，，
解得，，
故.
【小问2详解】
由（1）知，，
，，，
．
18. 大学生刘铭去某工厂实习，实习结束时从自己制作的某种零件中随机选取了10个样品，测量每个零件的横截面积（单位：）和耗材量（单位：），得到如下数据：
并计算得．
（1）估算刘铭同学制作的这种零件平均每个零件的横截面积以及平均一个零件的耗材量；
（2）求刘铭同学制作的这种零件的横截面积和耗材量的样本相关系数（精确到0.01）；
（3）刘铭同学测量了自己实习期制作的所有这种零件的横截面积，并得到所有这种零件的横截面积的和为，若这种零件的耗材量和其横截面积近似成正比，请帮刘铭计算一下他制作的零件的总耗材量的估计值．附：相关系数．
【答案】（1）平均每个零件的横截面积为，一个零件的耗材量
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）计算出样本中10个零件的横截面积的平均值和耗材量的平均值，得到答案；
（2）代入相关系数公式计算出答案.
（3）根据零件的耗材量和其横截面积近似成正比得到方程，求出答案.
【小问1详解】
样本中10个这种零件的横截面积的平均值，
样本中10个这种零件的耗材量的平均值，
由此可估算刘铭同学制作的这种零件平均每个零件的横截面积为，
平均一个零件的耗材量为．
【小问2详解】
，
这种零件的横截面积和耗材量的样本相关系数为.
【小问3详解】
设这种零件的总耗材量的估计值为，
又已知这种零件的耗材量和其横截面积近似成正比，
，解得，
故这种零件的总耗材量的估计值为．
19. 在如图所示几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，平面平面，且．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据面面平行的判定定理推理证明易得；
（2）通过建系，写出相关点的坐标，分别求得两个平面的法向量即可求得.
【小问1详解】
四边形是正方形，，
又平面平面平面，
又平面平面平面，
平面平面，
平面平面．
【小问2详解】
依题意知两两垂直，故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设平面的一个法向量为，
则则可取，易知为平面的一个法向量，
平面与平面夹角的余弦值为．
20. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，焦距为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的左焦点，且斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意求出即可求得椭圆的标准方程.
（2）先根据题意写出直线的方程；再联立直线和椭圆的方程，利用韦达定理和弦长公式求出，利用点到直线距离公式求出点到直线AB的距离；最后利用三角形面积公式即可求解.
【小问1详解】
由题意可得：焦距，离心率,
则，.
又由，得，
所以椭圆的标准方程为：．
【小问2详解】
由（1）知：左焦点为.
则直线的方程为：.
设，，
联立整理可得：，
则，且，.
由弦长公式得，
又因为点到直线AB的距离，
所以．
21. 已知函数．
（1）若曲线过点，求曲线在点处的切线方程；
（2）设，证明：当时，有两个零点．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）过点的切线，切点处的导数值即为直线的斜率，用点斜式求切线方程即可；
（2）先求的导函数，借助导函数研究的单调性，进而应用零点存在性定理判断零点个数即可.
【小问1详解】
由题意可得，
此时，，
切线斜率为，
切线方程为，即．
【小问2详解】
证明：，
则，令，得，
令，得，令，得，
在上单调递减，在上单调递增，
，
令，则，
所以函数在上单调递增，，
又，在上有一个零点，
又，
令，
则，所以在上单调递减，
，，
故在上有一个零点，
综上所述，当时，有两个零点．
（二）选考题：考生从22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22. 在直角坐标系中，的圆心为，半径为4.
（1）写出的一个参数方程；
（2）直线与相切，且与轴和轴的正半轴分别交于，两点，若，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程.
【答案】（1）（参数）；
（2），或.
【解析】
【分析】（1）由题可得的标准方程进而可得的参数方程；
（2）根据题意可得直线的斜率为，然后利用直线与圆的位置关系可得直角坐标方程，进而即得.
【小问1详解】
由题意可知，的标准方程为，
所以的参数方程为（为参数）；
【小问2详解】
由题意可知，直线的斜率为，设其方程为，即，
因为圆心到直线的距离为4，所以，
化解得，解得，或，
所以直线的直角坐标方程为，或，
所以直线的极坐标方程为，或.
选修4-5：不等式选讲
23. 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若二次函数与函数的图象恒有公共点，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数的解析式，去掉绝对值号，分，和讨论，即可求得不等式的解集；
（2）求得二次函数的最大值，以及分段函数的最小值，根据恒由公共点，列出关于的不等式，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数，
当时，令，即，所以；
当时，此时恒成立，所以；
当时，令，即，所以，
所以不等式的解集为.
（2）由二次函数，
知函数在取得最大值，
因为，在处取得最小值2，
所以要是二次函数与函数的图象恒有公共点.
只需，即.
【点睛】本题主要考查了含有绝对值的不等式的求解，以及二次函数与分段函数的性质的应用，着重考查了分类讨论与转化思想，以及推理与计算能力.样本号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
零件的横截面积
0.03
0.05
0.04
0.07
0.07
0.04
0.05
0.06
0.06
0.05
0.52
耗材量
0.24
0.40
0.23
0.55
0.50
0.34
0.35
0.45
0.43
0.41
3.9