陕西省汉中市2023-2024学年高三上学期第四次校际联考文科数学试题

这是一份陕西省汉中市2023-2024学年高三上学期第四次校际联考文科数学试题，共12页。试卷主要包含了请将各题答案填写在答题卡上，已知向量，则，在等比数列中，，则，执行如图所示的程序框图，输出的，已知，则等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.
2.请将各题答案填写在答题卡上.
第I卷
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.设集合，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知向量，则（ ）
A. B. C.2 D.-2
4.在等比数列中，，则（ ）
A. B. C.16 D.8
5.某圆锥的侧面积为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A.2 B.4 C. D.
6.将函数的图像向右平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
7.执行如图所示的程序框图，输出的（ ）
A.18 B.22 C.25 D.
8.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
9.已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10.下图是由两个边长不相等的正方形构成的，在整个图形中随机取一点，此点取自的概率分别记为，则（ ）
A. B.
C. D.
11.如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点在该抛物线上，点在轴上，若，则（ ）
A. B. C. D.3
12.已知是球的直径上一点，平面为垂足，截球所得截面的面积为为上的一点，且，过点作球的截面，则所得的截面面积最小的圆的半径为（ ）
A. B. C. D.
第II卷
二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.已知直线是双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为__________.
14.若满足约束条件则目标函数的最大值为__________.
15.已知为奇函数，则__________.
16.某网店统计了商品近30天的日销售量，日销售量依次构成数列，已知，且，则商品近30天的总销量为__________.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
在三棱锥中，为的中点.
（1）证明：平面.
（2）若，平面平面，求点到平面的距离.
18.（12分）
的内角的对边分别为，已知的周长为.
（1）求的值；
（2）求的最大值.
19.（12分）
某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将100个样本数据按分成6组，并整理得到如下频率分布直方图.
（1）请通过频率分布直方图估计这100份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
（2）该市决定表彰知识竞赛成绩排名前30%的市民，某市民知识竞赛的成绩是78，请估计该市民能否得到表彰
20.（12分）
设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求；
（2）证明：.
21.（12分）
已知椭圆经过两点.
（1）求的方程；
（2）斜率不为0的直线与椭圆交于两点，且点不在上，，过点作轴的垂线，交直线于点，与椭圆的另一个交点为，记的面积为，的面积为，求.
（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为（为参数），（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线和的极坐标方程；
（2）已知直线，且与曲线相交于两点，与曲线相交于两点，则当取得最大值时，求的值.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.
汉中市高三校际联考
数学试题参考答案（文科）
1.C ，所以该复数在复平面内对应的点为，该点在第三象限.
2.D 依题意得，则.
3.B 由题意可知，则.
4.A 设等比数列的公比为，则，即，
由，可得，即，所以.
5.D 设圆锥的母线长为，底面半径为，即侧面展开图的半径为，侧面展开图的孤长为.又圆锥的底面周长为，所以，即圆锥的母线长.所以圆锥的侧面积为，解得.
6.B 曲线为，又关于轴对称，所以，解得，又，所以当时，的最小值为.
7.C 执行该程序框图，成立，成立，成立，，不满足，输出的.
8.D 因为，所以，因为，所以，故.
9.B 在上恒成立，即，所以，则的取值范围是.
10.A 设，从而，因为，所以，根据面积型几何概型的概率公式，可以得到，故选A.
11.D 由，可得，即，所以.
12.C 如图，设截得的截面圆的半径为，球的半径为，因为，
所以.由勾股定理，得，由题意得，所以，解得，
此时过点作球的截面，若要所得的截面面积最小，只需所求截面圆的
半径最小.设球心到所求截面的距离为，所求截面的半径为，则，
所以只需球心到所求截面的距离最大即可，而当且仅当与所求截面垂直时，球心到所求截面的距离最大，即，所以.
13. 由题意可知，所以.
14.12 画出可行域（图略）知，当平移到过点时，取得最大值，最大值为12.
15.-6 因为为奇函数，所以，即-4，所以，即.
16.1020 当时，，当时，，所以，所以.
17.（1）证明：因为，所以，
又因为平面，
所以平面.
（2）解：因为平面平面，且平面平面
，所以平面，
所以.
在中，，则，
设点到平面的距离为，所以，解得.
18.解：（1），
即.
因为的周长为6，所以，
解得.
（2）由（1）可知.
，当且仅当时，等号成立.
故当时，取得最大值.
19.解：（1）100份样本数据的平均值为
.
（2）成绩低于70分的频率为0.45，成绩低于80分的频率为0.77，
则被表彰的最低成绩为，
所以估计该市民能得到表彰.
20.（1）解：函数的定义域为.
由题意可得.
故，解得.
（2）证明：由（1）知，
从而等价于.
设函数，则.
所以当时，，当时，.
故在上单调递减，在上单调递增，从而在上的最小值为.
设函数，从而在上的最大值为.
故，即.
21.解：（1）因为椭圆.过点.和点，所以
解得
则椭圆的方程为.
（2）当直线轴时，为钝角三角形，且，不满足题意.
设，由，可得，
所以，
所以直线的斜率存在.设直线的方程为，
由化简得，
.
，
所以
，
则，
整理得，因为，所以，
所以直线的方程为，恒过点.
由题意可知，
设点到直线的距离为，点到直线的距离为，
.
22.解：（1）由得，即，
将代入上式，得.
由得，即，
将代入上式，得，
即曲线和的极坐标方程分别为.
（2）由题可设直线的极坐标方程为，
将代入，得，
将代入，得，
所以，
当时，取得最大值.
此时.
23.解：（1）若，则，解得，故；
若，则，解得，故无解；
若，则，解得，故.
故不等式的解集为或.
（2）
可知，故，即实数的取值范围为.