陕西省咸阳市2023-2024学年高三上学期模拟检测（一）理科数学试题

这是一份陕西省咸阳市2023-2024学年高三上学期模拟检测（一）理科数学试题，共14页。试卷主要包含了著名的本福特定律，已知的展开式中的常数项为0，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟．
2．答卷前，务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题；本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合，，则集合（ ）
A．B．C．D．
2．已知为虚数单位，，则复数在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．1D．
4．已知数列的前n项和为，且等比数列满足，若，则（ ）
A．6B．5C．4D．3
5．著名的本福特定律：以数字1开头的数字在各个领域中出现的频率似乎要高于其他数，也称为“第一位数定律”或者“首位数现象”．意指在一堆从实际生活中得到的十进制数据中，一个数的首位数字是的概率为．以此判断，一个数的首位数字是1的概率与首位数字是9的概率之比约为多少？（参考数据：，）（ ）
A．2.9B．3.8C．4.5D．6.5
6．直线与圆有公共点的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
7．某同学寒假期间想到咸阳市的9个旅游景点乾陵、茂陵、汉阳陵、袁家村、郑国渠、昭陵、旬邑马栏革命旧址、长武亭口活动旧址、泾阳安吴青训班中的3个景点进行旅游，其中旬邑马栏革命旧址、长武亭口活动旧址、泾阳安吴青训班三个景点为红色旅游景点，则他所去的景点中至少包含一个红色旅游景点的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．将一个棱长为4的正四面体同一侧面上的各棱中点两两连接，得到一多面体，则这个多面体的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
9．等差数列中的，是函数的极值点，则（ ）
A．B．C．3D．
10．已知的展开式中的常数项为0，则（ ）
A．3B．C．2D．
11．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们一个公共点，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，若，则（ ）
A．B．C．D．
12．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知角，为锐角，且，，则角______．
14．已知某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的体积为，则该圆锥的表面积为______．
15．设x，y满足约束条件，设，则z的取值范围为______．
16．已知函数，若，，且，则的最小值为______．
三、解答题；共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（本小题满分12分）
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知该三角形的面积．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若，求面积的最大值，并求当面积取得最大值时对应的周长．
18．（本小题满分12分）
为庆祝元旦，某商场回馈消费者，准备举办一次有奖促销活动，如果顾客一次消费达到500元，可参加抽奖活动，规则如下；抽奖盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，活动结束．否则记为失败，随即获得纪念品1份，当然，如果顾客愿意可在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽奖，如此不断继续下去，直至成功．
（Ⅰ）某顾客进行该抽奖试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽奖，记其进行抽奖试验的轮次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）为验证抽奖试验成功的概率不超过，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记t表示成功时抽奖试验的轮次数，y表示对应的人数，部分统计数据如下表：
求y关于t的回归方程：，并预测成功的总人数（四舍五入精确到1）．
附：经验回归方程系数：，．
参考数据：，，（其中）．
19．（本小题满分12分）
如图所示，在三棱锥中，，，点O、D分别是、的中点，底面．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）当k取何值时，二面角的余弦值为？
20．（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，依次连接四个顶点得到的图形的面积为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过直线上一点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，求证直线过定点．
21．（本小题满分12分）
已知函数，．
（Ⅰ）若恒成立，求a的取值集合；
（Ⅱ）证明．
（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l的极坐标方程为．
（Ⅰ）求曲线C和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线l与x轴的交点为P，经过点P的直线m与曲线C交于A，B两点，若，求直线m的斜率．
23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数．
（Ⅰ）画出函数的图象；
（Ⅱ）设函数的最大值为m，若正实数a，b，c满足，求的最小值．
咸阳市2024年高考模拟检测（一）
数学（理科）试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．B 2．D 3．C 4．A 5．D 6．B 7．C 8．D 9．A 10．C 11．C 12．B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．（或）14．15．16．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．解：（Ⅰ）由，得．
由余弦定理得：，．
（Ⅱ）方法一：因为，，由余弦定理得，
当且仅当时取等，，
所以的面积：，
此时的周长为：12．
方法二：
，，由正弦定理得，
的面积
，
，
又，，
当时，面积最大值为．
此时，，于是的周长为：12．
18．解：（Ⅰ）X的取值可能为1，2，3，
；；
；
所以X的分布列为：
所以数学期望为：．
（Ⅱ）令，则，由题意可知，，
所以．
所以，．
故所求的回归方程为
所以估计时，；估计时，；
估计时，；
预测成功的人的总数为．
19．解：（Ⅰ）证明：在中，点O、D分别是、的中点，
，平面，平面，
平面．
（Ⅱ）O为中点，连接，，则，
平面，平面，
，
以O为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系．
设，则，
，，
在中
，，
，，，，
则，，，
平面，平面，，
又且，平面，
是平面的一个法向量．
设平面的一个法向量，
则即，
令，得，，
设为二面角的平面角．
则，解得．
方法二：作，又，，平面，
平面，，又，
是二面角的平面角．
设，由题意可知，
，，即为等腰三角形．
在中，作，则，
且，
在中，，则，
在中，根据余弦定理，
解得．
20．解：（Ⅰ）由题可得，即，，得．①
又，即，②
由①②可得，，
所以椭圆C的方程为：．
（Ⅱ）设，，，
由题知，直线上一点P作椭圆C的两条切线斜率存在，
设过点且与椭圆相切的直线方程为：，
联立方程得，
，
整理得，即，
在椭圆上，
，即，，
，即，
，解得，
（此处也可以尝试采用复合函数求导进而可得斜率）
过点且与椭圆相切的直线方程为：，
，即，
整理可得以M为切点的椭圆C的切线方程为，
同理，以N为切点的椭圆C的切线方程为，
（上述切线方程也可以尝试采用“构造缩放法”证明二级结论：过椭圆上点切线方程为：）
又两切线均过点P，故，且，
整理化简得，且，
点，均在直线上，
直线的方程为，直线过定点．
21．解：（Ⅰ）由题可知函数的定义域为，
，令，得，
由x，，列表如下
，
只需证明，．
令，，得，
由x，，列表如下
．
又，，
，，
，故a的取值集合为．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，当时，，
即，，
（当时，“”成立），
令，
，则，，
由累加法可知
累加可得，
即，令，，
恒成立，在是递减的，，
，
，
（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分．
22．解：（Ⅰ）曲线，即，即．
，即，即．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，不妨设m的方程为，
由得，
设，，则，．
，
，即，即，即，
直线m的斜率为．
另解：设直线m的方程为（t为参数），代入，
得，即，
，，
，
，，
从而，
从而直线m的斜率为．
23．解：（Ⅰ），由此作图如下：
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，于是，
由柯西不等式得，
，当且仅当，时，等号成立，
的最小值为．t
1
2
3
4
5
y
232
98
60
40
20
X
1
2
3
P
x
a
0
极小值
x
1
0
极大值