专题05 数列2（数列求和与数列综合问题）-2024届高考数学二轮专题复习考点分层与专项检测（新高考专用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题05 数列2（数列求和与数列综合问题）（新高考）
目录
【备考指南】2
【真题在线】3
【基础考点】4
【基础考点一】等差（等比）数列的判定与证明4
【基础考点二】分组转化求和5
【基础考点三】裂项相消求和6
【基础考点四】错位相减求和7
【基础考点五】绝对值型数列求和8
【综合考点】9
【综合考点一】数列的子数列问题9
【综合考点二】数列的奇偶项问题10
【综合考点三】数列与核心素养11
【综合考点四】数列与其他知识交汇12
【培优考点】14
【培优考点一】数列与不等式放缩证明14
【培优考点二】数列与导数的综合问题15
【总结提升】16
【专项检测】17
备考指南
预测：近几年高考，数列求和常出现在解答题第(2)问，主要考查通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档.数列中的最值、范围问题的常见类型有：①求数列和式的最值、范围；②满足数列的特定条件的n的最值与范围；③求数列不等式中参数的取值范围.数列中的奇、偶项问题的常见题型：①数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))；②含有(－1)n的类型；③含有{a2n}，{a2n－1}的类型；④已知条件明确奇偶项问题.数列中的不等式证明问题的常用放缩技巧：①对eq \f(1,n2)的放缩，根据不同的要求，大致有三种情况(下列n∈N*)：eq \f(1,n2)＜eq \f(1,n2－n)＝eq \f(1,n－1)－eq \f(1,n)(n≥2)；eq \f(1,n2)＜eq \f(1,n2－1)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n－1)－\f(1,n＋1)))(n≥2)；eq \f(1,n2)＝eq \f(4,4n2)eq \f(1,2\r(n))＞eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n)(n≥1)；eq \f(1,2\r(n))＜eq \f(1,\r(n)＋\r(n－1))＝eq \r(n)－eq \r(n－1)(n≥1).全国卷近几年难度适中，建议二轮复习做好查缺补漏，适当进行综合性拓展.
真题在线
1．（2023·全国·统考高考真题）记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
2．（2023·全国·统考高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
3．（2023·全国·统考高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
4．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
5．（2021·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
6．（2021·全国·统考高考真题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
7．（2021·全国·统考高考真题）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
8．（2022·天津·统考高考真题）设是等差数列，是等比数列，且．
(1)求与的通项公式；
(2)设的前n项和为，求证：；
(3)求．
9．（2022·浙江·统考高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
10．（2023·北京·统考高考真题）已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数.
(1)若，求的值；
(2)若，且，求；
(3)证明：存在，满足 使得．
基础考点
【考点一】等差（等比）数列的判定与证明
【典例精讲】（2023·全国·模拟预测）记为数列的前项和，已知，．
(1)证明数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)若，数列的最大项为，求的值．
【变式训练】
1．（2023·福建厦门·厦门一中校考三模）记为数列的前项和.已知.
(1)证明：是等差数列；
(2)若，，成等比数列，求的最小值.
2．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）已知数列的前项和为，．
(1)证明：是等差数列；
(2)求数列的前项积．
3．（2023·四川成都·统考二模）已知数列的首项为3，且满足.
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的通项公式，并判断数列是否是等比数列.
4．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前n项和为，，，且，．
(1)求证：数列是等比数列．
(2)判断是否存在正整数p，q，r（）使得，，成等差数列．若存在，求出p，q，r的一组值；若不存在，请说明理由．
【考点二】分组转化求和
【典例精讲】（2023·广东·统考二模）记数列的前n项和为，已知，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，若，，，求.
【变式训练】
一、解答题
1．（2023·广东惠州·统考二模）已知是等比数列，满足，且成等差数列，数列满足.
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
2．（2023·全国·模拟预测）在数列和中，，，且是和的等差中项．
(1)设，求的通项公式．
(2)设，求的前项和．
3．（2023·四川成都·统考二模）已知数列的首项为3，且满足.
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的前项和.
4．（2023·全国·模拟预测）已知等比数列的前项和为，各项均为正数的数列的前项和为，满足.
(1)分别求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【考点三】裂项相消求和
【典例精讲】（2023·全国·模拟预测）已知是正项等比数列，，，
(1)求数列的前项和；
(2)若，求数列的前项和.
【变式训练】
1．（2023·河北·石家庄一中校联考模拟预测）已知公差为的等差数列的前项和为，且满足.
(1)证明：；
(2)若，求.
2．（2023·广东韶关·统考一模）已知数列的前项和满足.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设，若成等比数列，求数列的前项和.
3．（2023·广西·统考模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
4．（2023·全国·模拟预测）已知各项都为正数的数列满足，，，等差数列满足，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求数列的前项和.
【考点四】错位相减求和
【典例精讲】（2023上·辽宁·高三校联考期中）已知数列的前n项和为，且，数列为等差数列，，.
(1)求，的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【变式训练】
1．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知单调递增数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
2．（2023·河北·校联考模拟预测）已知等比数列的公比，若，且分别是等差数列的第1，3，5项.
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
3．（2023·全国·模拟预测）已知数列满足．
(1)求证：数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)设，求的前项和．
4．（2023上·河南·高三校联考阶段练习）已知数列满足，，.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前项和.
【考点五】绝对值型数列求和
【典例精讲】（2023·安徽宣城·统考二模）已知数列是首项为1的等差数列，公差，设数列的前项和为，且，，成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【变式训练】
1．（2023·宁夏银川·银川一中校考模拟预测）在等差数列中，已知公差，，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值.
2．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和为，设，求的最小值.
3．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知等差数列的前n项和为，其中，．
(1)求数列的通项；
(2)求数列的前n项和为．
4．（2023·河北衡水·模拟预测）已知数列的前项和为，且，_______.
请在（1）;（2）成等比数列;（3），这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下列问题.
(1)求数列的通项公式;
(2)若，求数列的前项和.
注:如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
综合考点
【考点一】数列的子数列问题
【典例精讲】（2023·甘肃·统考二模）我国古代数学名著《孙子算经》卷下的第26题是：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”此题所表达的数学涵义是：一个正整数，被3除余2，被5除余3，被7除余2，这个正整数是多少？这就是举世闻名的“中国剩余定理”．若分别将所有被3除余2的正整数和所有被7除余2的正整数按从小到大的顺序组成数列和，并依次取出数列和的公共项组成数列，则 ；若数列满足，数列的前项和为，则 ．
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·江西景德镇·统考三模）如图为“杨辉三角”示意图，已知每行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前项和为，设，将数列中的整数项依次取出组成新的数列记为，则的值为（ ）

A．B．C．D．
二、多选题
2．（2024上·浙江·高三舟山中学校联考开学考试）设数列，都是等比数列，则（ ）
A．若，则数列也是等比数列
B．若，则数列也是等比数列
C．若的前项和为，则也成等比数列
D．在数列中，每隔项取出一项，组成一个新数列，则这个新数列仍是等比数列
三、解答题
3．（2022·山东潍坊·统考模拟预测）已知公差为正数的等差数列，与的等差中项为，且．
(1)求的通项公式；
(2)从中依次取出第项、第项、第项、…、第项，按照原来的顺序组成一个新数列，求数列的前项和．
4．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）已知数列的前项和为，满足.等差数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)将数列满足__________（在①②中任选一个条件）的第项取出，并按原顺序组成一个新的数列，求的前20项和.①，②，其中.
【考点二】数列的奇偶项问题
【典例精讲】（2022·河北唐山·统考一模）已知数列的各项均不为零，为其前n项和，且.
(1)证明：；
(2)若，数列为等比数列，，.求数列的前2022项和.
【变式训练】
1．（2023·山东威海·统考一模）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和.
2．（2018·江苏苏州·统考一模）已知等差数列的前项中，奇数项的和为56，偶数项的和为48，且（其中）：
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，…，，…是一个等比数列，其中，，求数列的通项公式；
(3)若存在实数，，使得对任意恒成立，求的最小值.
3．（2022·新疆·统考一模）在数列中，，，且.
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的通项公式.
4．（2023·山东泰安·统考二模）已知数列的前n项和为，，，.
(1)求；
(2)设，数列的前n项和为，若，都有成立，求实数的范围.
【考点三】数列与核心素养
【典例精讲】（多选）（2023·云南·校联考模拟预测）在数列中，（为非零常数），则称为“等方差数列”，称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）
A．是等方差数列
B．若正项等方差数列的首项，且是等比数列，则
C．等比数列不可能为等方差数列
D．存在数列既是等差数列，又是等方差数列
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·河南开封·统考三模）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4个为1，3，7，13，则该数列的第13项为（ ）
A．156B．157C．158D．159
2．（2023·河南·河南省内乡县高级中学校考模拟预测）“角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次运算，最终回到1.对任意正整数，按照上述规则实施第次运算的结果为，若，且均不为1，则（ ）
A．5或16B．5或32
C．5或16或4D．5或32或4
二、多选题
3．（2023·浙江金华·校联考模拟预测）对于给定的数列，如果存在实数，使得对任意成立，我们称数列是“线性数列”，数列满足，则（ ）
A．等差数列是“线性数列”B．等比数列是“线性数列”
C．若是等差数列，则是“线性数列”D．若是等比数列，则是“线性数列”
三、填空题
4．（2023·辽宁大连·育明高中校考一模）某高中图书馆为毕业生提供网上阅读服务，其中电子阅览系统的登录码由学生的届别+班级+学号+特别码构成.这个特别码与如图数表有关，数表构成规律是：第一行数由正整数从小到大排列得到，下一行数由前一行每两个相邻数的和写在这两个数正中间下方得到.以此类推特别码是学生届别数对应表中相应行的自左向右第一个数的个位数字，如：1997届3班21号学生的登陆码为1997321*.（*为表中第1997行第一个数的个位数字）.若已知某毕业生的登录码为201*2138，则可以推断该毕业生是 届2班13号学生.
【考点四】数列与其他知识交汇
【典例精讲】（2023·全国·模拟预测）设点在椭圆内，直线.
(1)求与的交点个数；
(2)设为上的动点，直线与相交于两点.给出下列命题：
①存在点，使得成等差数列；
②存在点，使得成等差数列；
③存在点，使得成等比数列；
请从以上三个命题中选择一个，证明该命题为假命题.
注：若选择多个命题分别作答，则按所做的第一个计分.
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理.某医学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者A给药3小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过2小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的，当血药浓度为峰值的时，给药时间为（ ）
A．11小时B．13小时C．17小时D．19小时
二、多选题
2．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知定义在R上且不恒为0的函数，对任意的，都有，则（ ）
A．
B．函数是奇函数
C．对，有
D．若，则
三、解答题
3．（2023·河北·石家庄一中校联考模拟预测）某排球教练带领甲、乙两名排球主力运动员训练排球的接球与传球，首先由教练第一次传球给甲、乙中的某位运动员，然后该运动员再传回教练.每次教练接球后按下列规律传球：若教练上一次是传给某运动员，则这次有的概率再传给该运动员，有的概率传给另一位运动员.已知教练第一次传给了甲运动员，且教练第次传球传给甲运动员的概率为.
(1)求，；
(2)求的表达式；
(3)设，证明：.
4．（2023·广东韶关·统考一模）有一个质地均匀的正方体骰子与一个有61个格子的矩形方格图，矩形方格图上从0，1，2，…，60依次标号.一个质点位于第0个方格中，现有如下游戏规则：先投掷骰子，若出现1点或2点，则质点前进1格，否则质点前进2格，每次投掷的结果互不影响.
(1)求经过两次投掷后，质点位于第4个格子的概率；
(2)若质点移动到第59个格子或第60个格子时，游戏结束，设质点移动到第个格子的概率为，求和的值.
培优考点
【考点一】数列与不等式放缩证明
【典例精讲】（2023·天津北辰·统考三模）设是等差数列，其前项和为（），为等比数列，公比大于1．已知，，，．
(1)求和的通项公式；
(2)设，求的前项和；
(3)设，求证：．
【变式训练】
1．（2023·浙江·统考一模）已知等差数列满足.
(1)若，求数列的通项公式；
(2)若数列满足，，且是等差数列，记是数列的前项和.对任意，不等式恒成立，求整数的最小值.
2．（2023上·辽宁·高三大连二十四中校联考开学考试）已知等差数列的前项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)判断与的大小关系并证明你的结论．
3．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）记为数列的前项和，已知.
(1)求的通项公式；
(2)设单调递增的等差数列满足，且成等比数列.
（i）求的通项公式；
（ii）设，证明：.
4．（2023·北京通州·统考三模）已知：正整数列各项均不相同，，数列的通项公式
(1)若，写出一个满足题意的正整数列的前5项：
(2)若，求数列的通项公式；
(3)证明若，都有，是否存在不同的正整数，j，使得，为大于1的整数，其中.
【考点二】数列与导数的综合问题
【典例精讲】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知函数，．
(1)若是函数唯一的极小值点，求实数a的取值范围；
(2)证明：．
【变式训练】
1．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知定义在上的函数.
(1)求的最小值；
(2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，证明：
2．（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）设函数.
(1)求的最值；
(2)令，的图象上有一点列，若直线的斜率为，证明：.
3．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）设函数，．
(1)若函数上的一点，求在点处的切线方程；
(2)①已知m， n为实数，，求证：；
②设，．当时，判断，，是否能构成等差数列，并说明理由．
4．（2023·辽宁大连·育明高中校考一模）已知函数.
(1)若函数在点处的切线在两坐标轴上截距相等，求的值；
(2)（i）当时，恒成立，求正整数的最大值；
（ii）记，，且.试比较与的大小并说明理由.
总结提升
1.若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，或cn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an，n为奇数，,bn，n为偶数，))且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.
2.若数列的通项公式中有(－1)n等特征，根据正负号分组求和.
3.裂项常见形式：(1)分母两项的差等于常数eq \f(1,（2n－1）（2n＋1）)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))；
eq \f(1,n（n＋k）)＝eq \f(1,k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋k))).
(2)分母两项的差与分子存在一定关系
eq \f(2n,（2n－1）（2n＋1－1）)＝eq \f(1,2n－1)－eq \f(1,2n＋1－1)；eq \f(n＋1,n2（n＋2）2)＝eq \f(1,4)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,n2)－\f(1,（n＋2）2))).
(3)分母含无理式
eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n).
4.如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，那么求数列{an·bn}的前n项和Sn时，可采用错位相减法.用其法求和时，应注意：(1)等比数列的公比为负数的情形；(2)在写“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“Sn－qSn”的表达式.
5.求数列和式的最值、范围基本方法是：
(1)利用不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Sn≥Sn＋1，,Sn≥Sn－1))(n≥2)确定和式的最大值；
利用不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Sn≤Sn＋1，,Sn≤Sn－1))(n≥2)确定和式的最小值.
(2)利用和式的单调性；
(3)把数列的和式看作函数求其最值、值域.
6.关于数列项的不等式证明
(1)结合“累加”“累乘”“迭代”放缩；(2)利用二项式定理放缩；(3)利用基本不等式或不等式的性质；(4)转化为求最值、值域问题.
7.对求和结论进行放缩，对于含有数列和的不等式，若数列的和易于求出，则一般采用先求和再放缩的策略证明不等式. 在解决与数列的和有关的不等式证明问题时，若不易求和，可根据项的结构特征进行放缩，转化为易求和数列来证明.
专项检测
一、单选题
1．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知数列，且，则数列的前2024项之和为（ ）
A．1012B．2022C．2024D．4048
2．（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）等比数列的各项均为正数，且，.设，则数列的前项和（ ）
A．B．C．D．
3．（2020·全国·模拟预测）设数列是公差为2的等差数列，且首项，若，则（ ）
A．12224B．12288
C．12688D．13312
4．（2023·陕西安康·陕西省安康中学统考模拟预测）已知数列的首项为，，则数列的前2023项和为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·全国·模拟预测）已知数列满足，在，之间插入首项为，公差为的等差数列的前k项，构成数列，记数列的前n项和为，则（ ）
A．105B．125C．220D．240
6．（2022·高二课时练习）已知函数，数列满足，则（ ）
A．2022B．2023C．4044D．4046
7．（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，在数论､代数学､非欧几何､复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献.我们高中阶段也学习过很多高斯的数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法等等.已知某数列的通项，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全国·模拟预测）已知数列满足，且，若，数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023·山西·统考模拟预测）已知数列的前项和为，，下列结论正确的是（ ）
A．B．为等差数列
C．D．
10．（2023·全国·模拟预测）记数列的前n项和为，数列的前n项和为，若，点在函数的图像上，则下列结论正确的是（ ）
A．数列递增B．
C．D．
11．（2023·全国·学军中学校联考模拟预测）已知数列满足，，设数列的前项和为，则（ ）
A．B．
C．D．
12．（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）已知数列，如果存在常数，对于任意给定的正数（无论多小），总存在正整数，使得时，恒有成立，就称数列收敛于（极限为），即数列为收敛数列.下列结论正确的是（ ）
A．数列是一个收敛数列
B．若数列为收敛数列，则，使得，都有
C．若数列和为收敛数列，而数列一定为收敛数列
D．若数列和为收敛数列，则数列不一定为收敛数列
三、填空题
13．（2023·江苏·统考模拟预测）若数列满足，，则的前n项和为 .
14．（2023·四川宜宾·四川省宜宾市南溪第一中学校校考模拟预测）已知数列满足，，若为数列前项和，则 .
15．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）数列满足，且（且），若的前项和为，则满足的最小正整数的值为 .
16．（2023·陕西宝鸡·校考一模）已知等差数列是递增数列，且满足，令，且，则数列的前项和= .
四、解答题
17．（2023·广东佛山·统考一模）已知数列是正项等比数列，数列满足.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若，，设数列和中的所有项按从小到大的顺序排列构成数列，记数列的前项和为，求
18．（2023·全国·模拟预测）已知正项数列的前n项和为，且满足．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)若，数列的前n项和为，证明：．
19．（2023上·江西·高一统考期中）已知数列是等差数列，，记为数列的前项和，且
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求，.
20．（2023·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）已知数列的前n项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)设，，求数列的前n项和．
21．（2023上·河北廊坊·高三河北省文安县第一中学校联考期中）在数列中，．
(1)证明：数列为常数列．
(2)若，求数列的前项和．
22．（2023·河南新乡·统考一模）已知是数列的前项和，．
(1)若数列为等差数列，求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
考点
考情分析
考频
等差数列模型
2023年新高考Ⅰ卷T7
2023年新高考Ⅰ卷T20
2023年新高考Ⅱ卷T18
2023年全国甲卷T10
2022年新高考Ⅱ卷T3
2021年新高考Ⅱ卷T17
2021年全国乙卷T19
3年7考
等比数列模型
2023年新高考Ⅱ卷T8
2023年全国甲卷T15
2023年全国乙卷T15
2022年全国乙卷T10
2年4考
等差与等比综合
2022年新高考Ⅱ卷T17
数列分段递推公式
2021年新高考Ⅰ卷T17
数列并项递推公式
2023年全国甲卷T17
数列结构不良型模型
2021年全国甲卷T18
数列前n项和与通项关系
2022年全国甲卷T17
数列与不等式综合
2022年新高考Ⅰ卷T17
数列单调性
2022年全国乙卷T14