2022-2023学年北京市怀柔区高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2022-2023学年北京市怀柔区高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若1、x、2成等差数列，则( )
A. x=32B. x=3C. x=2D. x=± 2
2.函数f(x)=x+1x在x=2处的切线斜率为( )
A. −3B. 34C. 54D. 5
3.已知函数f(x)=sinx+csx，f′(x)为f(x)的导函数，则( )
A. f′(x)=sinx+csxB. f′(x)=sinx−csx
C. f′(x)=−sinx+csxD. f′(x)=−sinx−csx
4.一个袋中装有大小相同的3个白球和2个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件A，“第2次拿出的是白球”为事件B，则P(B|A)=( )
A. 14B. 310C. 35D. 12
5.已知函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，则f(x)( )
A. 既有极小值，也有极大值B. 有极小值，但无极大值
C. 有极大值，但无极小值D. 既无极小值，也无极大值
6.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，记X为“正面朝上”出现的次数，则随机变量X的均值E(X)=( )
A. 2B. 1C. 12D. 14
7.在数列{an}中，若a1=−1，an=11−an−1(n≥2,n∈N*)，则a10=( )
A. −1B. 1C. 12D. 2
8.若Sn是等差数列{an}的前n项和，S8>Sn(n≠8,n∈N*)，则( )
A. a8≥0，a9<0B. a8>0，a9<0C. a8=0，a9<0D. a8>0，a9=0
9.数列{an}的通项公式为an=(n−λ)⋅2n(n=1,2,⋯)，若{an}是递增数列，则λ的取值范围是( )
A. [1,+∞)B. (1+lg2e,3)C. (−∞,1+lg2e]D. (−∞,3)
10.已知函数f(x)=ex−ln(x+3)，则下面对函数f(x)的描述正确的是( )
A. ∀x∈(−3,+∞)，f(x)≥13B. ∀x∈(−3,+∞)，f(x)>−12
C. ∃x0∈(−3,+∞)，f(x0)=−1D. f(x)min∈(0,1)
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.设函数f(x)=xex，则f′(1)=______.
12.已知随机变量X的分布列如下，且E(X)=76：
则p=______；a=______.
13.已知{an}是公比为q的等比数列，其前n项和为Sn.若S2=3a1，则q=______.
14.若曲线y=ln(x−a)+bx在x=0处的切线方程为y=x，则a=______；b=______.
15.设随机变量ξ的分布列如下：
给出下列四个结论：
①当{an}为等差数列时，a5+a6=15；
②当{an}为等差数列时，公差0③当数列{an}满足an=12n(n=1,2,⋯,9)时，a10=129；
④当数列{an}满足时，P(ξ≤k)=k2ak(k=1,2,…10)时，an=1110n(n+1).
其中所有正确结论的序号是______.
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
已知等差数列的{an}的前n项和为Sn，从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答：
(1)求{an}的通项公式；
(2)若{bn}是等比数列，b1=a2，b2=S3，求数列{an+bn}的前n项和Tn.
①an+1=an+2；②a4=7；③S2=4.
17.(本小题13分)
已知函数f(x)=x(ex−1)−12x2.
(1)求f(x)的极值；
(2)求f(x)在区间[−1,2]上的最大值和最小值.
18.(本小题14分)
为宣传交通安全知识，某地区中学联合开展了交通安全知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了20名学生，将他们的竞赛成绩(单位：分)用茎叶图记录如下：
(Ⅰ)从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人，估计该男生的竞赛成绩在90分以上的概率；
(Ⅱ)从图中90分以上的人中随机抽取4人，抽到男生的人数记为X，求X的分布列和期望：
(Ⅲ)为便于普及交通安全知识，现从该地区某所中学参加知识竞赛活动的学生中随机选取5名男生、5名女生作为宣传志愿者，记这5名男生竞赛成绩的平均数为μ1，这5名女生竞赛成绩的平均数为μ2，能否认为μ1>μ2，说明理由.
19.(本小题15分)
已知某企业生产一种产品的固定成本为400万元，每生产x万件，需另投入成本p(x)万元，假设该企业年内共生产该产品x万件，并且全部销售完，每1件的销售收入为100元，且p(x)=1150x3+50x,0(1)求出年利润y(万元)关于年生产零件x(万件)的函数关系式(注：年利润=年销售收入-年总成本)；
(2)将年产量x定为多少万件时，企业所获年利润最大.
20.(本小题15分)
已知函数f(x)=ax2+lnx.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若对任意x∈(0,+∞)，f(x)≤12恒成立，求a的取值范围.
21.(本小题15分)
定义：若对任意正整数n，数列{an}的前n项和Sn都是整数的完全平方数，则称数列{an}为“完全平方数列”.
(1)若数列{an}满足an=1,n=13n−1,n≥2,n∈N*，判断{an}是否为“完全平方数列”；
(2)若数列{bn}的前n项和Tn=(n−t)2(t是正整数)，那么是否存在t，使数列{|bn|}为“完全平方数列”？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(3)试求出所有为“完全平方数列”的等差数列的通项公式.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：因为1、x、2成等差数列，
所以x=12×(1+2)=32.
故选：A.
利用等差中项的性质可求得x的值．
本题考查了等差中项的定义与性质应用问题，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：因为f(x)=x+1x，则f′(x)=1−1x2，
所以f′(2)=1−122=34.
因此函数f(x)=x+1x在x=2处的切线斜率为34.
故选：B.
利用导数的几何意义可求得所求切线的斜率．
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由f(x)=sinx+csx可得，f′(x)=csx−sinx.
故选：C.
根据导数的运算法则以及基本初等函数的求导公式，即可得答案．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由已知条件得P(A)=35,P(AB)=3×25×4=310，
由条件概率公式可得
P(B|A)=P(AB)P(A)=31035=12.
故选：D.
根据条件概率结合古典概型计算求解即可．
本题考查条件概率以及古典概型相关知识，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：由题意可知：xx>a时，f′(x)>0，函数是增函数，所以x=a时函数极小值点．
故选：B.
利用函数与导函数的关系，判断函数的极值，推出选项．
本题考查函数的导数与函数的单调性函数的极值的关系，是基本知识的考查．
6.【答案】A
【解析】解：由题意可知，X∼B(4,12)，
则X的期望E(X)=4×12=2.
故选：A.
先判断出X∼B(4,12)，然后利用方差的计算公式求解即可．
本题考查了二项分布的理解和应用，解题的关键是掌握二项分布的期望计算公式．
7.【答案】A
【解析】解：因为a1=−1，an=11−an−1(n≥2,n∈N*)，
所以a2=11−(−1)=12，a3=11−(12)=2，
a4=11−2=−1，
所以数列{an}为周期数列，周期为3，
则a10=a3×3+1=a1=−1，
故选：A.
由题意，根据递推数列得到数列具有周期性，再利用周期性进行求解即可．
本题考查递推数列的应用，考查了运算能力．
8.【答案】B
【解析】解：因为S8>Sn(n≠8,n∈N*)，
所以S8>S7，即S8−S7=a8>0，
又S8>S9，所以S9−S8=a9<0.
故选：B.
根据等差数列的前n项和Sn与通项公式an的关系计算求解即可．
本题考查了等差数列的性质，属于基础题．
9.【答案】D
【解析】解：根据题意，因为数列{an}的通项公式为an=(n−λ)⋅2n(n=1,2,⋯)，且{an}是递增数列，
所以an所以(n−λ)⋅2n<(n+1−λ)⋅2n+1对于∀n∈N*都成立，
即n−λ<2(n+1−λ)对于∀n∈N*都成立，
所以λ所以λ<1+2=3，即λ的取值范围是(−∞,3)，
故选：D.
根据题意，由递增数列的定义可得an本题考查数列与函数的综合应用，涉及数列的单调性，属于中档题．
10.【答案】B
【解析】解：因为函数f(x)=ex−ln(x+3)，定义域为(−3,+∞)，所以f′(x)=ex−1x+3，
易知导函数f′(x)在定义域(−3,+∞)上是单调递增函数，
又f′(−1)<0，f′(−12)>0，
所以f′(x)=0在(−3,+∞)上有唯一的实根，不妨将其设为x0，且x0∈(−1,−12)，
则x=x0为f(x)的最小值点，且f′(x0)=0，即ex0=1x0+3，两边取以e为底的对数，得x0=−ln(x0+3)
故f(x)≥f(x0)=ex0−ln(x0+3)=1x0+3−ln(x0+3)=1x0+3+x0，因为x0∈(−1,−12)，所以2故f(x)≥f(x0)=1x0+3+(x0+3)−3>2+12−3=−12，即对∀x∈(−3,+∞)，都有f(x)>−12.
故选：B.
本题首先要对函数f(x)=ex−ln(x+3)进行求导，确定f′(x)在定义域上的单调性为单调递增函数，然后再利用当x∈(a,b)时，利用f′(a)f′(b)<0确定导函数的极值点x0∈(−1,−12)从而．得到x=x0时是函数f(x)的最小值点．
本题表面考查命题的真假判断，实际上是考查函数的求导，求最值问题，准确计算是基础，熟练运用知识点解决问题是关键．
11.【答案】0
【解析】解：f′(x)=1−xex，所以f′(1)=0.
故答案为：0.
由导数的求导法则求解导数，即可代入求解．
本题主要导数的运算，属于基础题．
12.【答案】0.52
【解析】解：由分布列的性质得16+p+13=1，解得p=12①，
∵E(X)=76，
∴0×16+p+13a=76，即a3+p=76②，
联立①②解得a=2，p=12.
故答案为：12;2.
利用分布列的性质及期望公式求解，即可得出答案．
本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
13.【答案】2
【解析】解：因为S2=3a1，所以a1+a2=3a1，即a2=2a1，
所以q=a2a1=2.
故答案为：2.
依题意可得a1+a2=3a1，再根据通项公式计算可得．
本题主要考查等比数列的前n项和公式，属于基础题．
14.【答案】−10
【解析】解：由y=ln(x−a)+bx，得y′=1x−a+b，
由于曲线y=ln(x−a)+bx在x=0处的切线方程是y=x，
得y′|x=0=1−a+b=1，而切点在切线上，且切点为(0,0)，
∴y=ln(−a)+0×b=0，得a=−1.
∴1=1+b，得b=0.
故答案为：−1，0.
对函数进行求导，利用导数的几何意义和已知切线的方程进行求解即可．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】①③④
【解析】解：由题意可得：a1+a2+...+a10=1，且an∈[0,1]，n=1，2，…，10，
对①：当{an}为等差数列时，则a1+a2+...+a10=10(a1+a10)2=1，
可得a1+a10=15，故a5+a6=a1+a10=15，①正确；
对②：当{an}为等差数列时，由①知a1+a10=15，所以2a1+9d=15⇒a1=110−92d，
由于a1∈[0,1]，所以0≤110−92d≤1，解得：−15≤d≤145，故②错误；
对③：当数列{an}满足an=12n(n=1,2,..9)时，满足an∈[0,1]，n=1，2，…，10，
则a1+a2+...+a10=12+122+123+...+129+a10=12×[1−(12)9]1−12+a10=1−129+a10=1，
可得a10=129∈[0,1]，③正确；
对④：当数列{an}满足P(ξ≤k)=k2ak(k=1,2,)时，则P(ξ≤10)=102×a10=1，
可得a10=1100，P(ξ≤k−1)=(k−1)2ak−1(k=2,3,)时，所以P(ξ=k)=P(ξ≤k)−P(ξ≤k−1)=k2ak−(k−1)2ak−1=ak，
由于10≥k≥2，k∈N，所以(k2−1)ak=(k−1)2ak−1⇒(k+1)ak=(k−1)ak−1⇒ak=k−1k+1ak−1,(10≥k≥2,k∈N)，
因此ak=k−1k+1ak−1=k−1k+1⋅k−2kak−2=k−1k+1⋅k−2k⋅k−3k−1ak−3=⋯=k−1k+1⋅k−2k⋅k−3k−1⋯24×13a1=2k(k+1)a1，
由于a10=1100，所以a10=210×11a1=1100⇒a1=1120，因此an=2n(n+1)a1=2n(n+1)×1120=1110n(n+1)，
当n=1也符合，故an=1110n(n+1)，④正确．
故答案为：①③④．
根据题意可得a1+a2+...+a10=1，且an∈[0,1]，n=1，2，…，10.对①②结合等差数列的性质分析运算；对③根据等比数列求和以及分布列的性质即可分析运算；对④根据递推关系作差，结合累乘迭代即可求解．
本题考查了数列的递推公式，根据数列给出Sn与an的递推关系求an，考查运算求解能力，是中档题．
16.【答案】解：(1)方案一：选择条件①②
由题意，设等差数列{an}的公差为d，
则d=an+1−an=2，
故a4=a1+3d=a1+3×2=7，
解得a1=1，
∴an=1+2⋅(n−1)=2n−1，n∈N*.
方案二：选择条件①③
由题意，设等差数列{an}的公差为d，
则d=an+1−an=2，
故S2=a1+a2=2a1+d=2a1+2=4，
解得a1=1.
∴an=1+2⋅(n−1)=2n−1，n∈N*.
方案三：选择条件②③
由题意，设等差数列{an}的公差为d，
则a4=a1+3d=7S2=2a1+2×12d=4，
化简整理，得a1+3d=72a1+d=4，
解得a1=1d=2，
∴an=1+2⋅(n−1)=2n−1，n∈N*.
(2)由题意及(1)，
可知b1=a2=2×2−1=3，
b2=S3=3×1+3×22×2=9，
设等比数列{bn}的公比为q，
则q=b2b1=93=3，
∴bn=3⋅3n−1=3n，n∈N*，
∴an+bn=2n−1+3n，
∴Tn=(a1+b1)+(a2+b2)+⋅⋅⋅+(an+bn)
=(a1+a2+⋅⋅⋅+an)+(b1+b2+⋅⋅⋅+bn)
=(1+3+⋯+2n−1)+(31+32+⋯+3n)
=3(1−3n)1−3+n(1+2n−1)2
=32⋅(3n−1)+n2.
【解析】(1)在选择条件①②的情况下，先设等差数列{an}的公差为d，根据条件①计算出公差d的值，再根据条件②及等差数列的通项公式计算出首项a1的值，即可计算出数列{an}的通项公式；在选择条件①③的情况下，先设等差数列{an}的公差为d，根据条件①计算出公差d的值，再根据条件③及等差数列的求和公式计算出首项a1的值，即可计算出数列{an}的通项公式；在选择条件②③的情况下，根据题干已知条件列出关于首项a1与公差d的方程组，解出a1与d的值，即可计算出数列{an}的通项公式；
(2)根据题干条件，结合(1)可求得b1，b2的值，代入公式，即可求出b1、q，进而可得bn，根据分组求和法，结合等差、等比的求和公式，即可得答案．
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题，考查了方程思想，转化与化归思想，分组求和法，等差数列和等比数列的求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
17.【答案】解：(1)因为f(x)=x(ex−1)−12x2，所以f′(x)=ex−1+xex−x=(x+1)(ex−1).
令f′(x)=0，得x=−1或0，列表如下：
所以f(x)的单调递减区间为(−1,0)，单调递增区间为(−∞,−1)、(0,+∞).
从而f(x)的极大值为f(−1)=12−1e，极小值为f(0)=0.
(2)由(1)知f(x)在区间[−1,0]上单调递减，在区间[0,2]上单调递增，
又因为f(−1)=12−1e，f(2)=2e2−4，f(0)=0，
所以f(x)在区间[−1,2]上的最大值为2e2−4，最小值为0.
【解析】(1)利用导数分析函数f(x)的单调性，即可得出函数f(x)的极大值和极小值；
(2)比较f(−1)、f(2)以及极小值f(0)三者的大小，即可得出函数f(x)在区间[−1,2]上的最大值和最小值．
本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性与极值及最值，化归转化思想，属中档题．
18.【答案】解：(Ⅰ)由茎叶图数据可知，随机抽取的20名学生中有男生10人，从男生中随机抽取1人，90分以上的有4人，
所以男生的竞赛成绩在90分以上的概率估计值为410=0.4；
(Ⅱ)因为抽取的样本学生中90分以上的有7人，其中有4名男生，3名女生，
若从7人中随机抽取4人，
则X的所有取值为：1，2，3，
此时P(X=1)=C41C33C74=435，P(X=2)=C42C32C74=1835，P(X=3)=C43C31C74=1235，P(X=4)=C44C30C74=135，
则X的分布列为：
故E(X)=1×435+2×1835+3×1235+4×135=8035=167；
(Ⅲ)因为选取的5名男生，5名女生竞赛成绩的数据是随机的，
所以μ1，μ2是随机的，
则不能确定是否有μ1>μ2.
【解析】(Ⅰ)由题意，根据茎叶图中数据以及古典概型概率公式进行求解即可；
(Ⅱ)结合茎叶图中数据得到90分以上的男女人数，推出X的所有取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解；
(Ⅲ)因为抽取的男女生成绩是随机的，所以μ1，μ2是随机的，进而可判断μ1，μ2的大小关系．
本题考查离散型随机变量分布列和期望，考查了逻辑推理和运算能力．
19.【答案】解：(1)由题意得，总销售收入为100x，
当产量不足60万箱时，y=100x−p(x)−400=−1150x3+50x−400.
当产量不小于60万箱时，y=100x−p(x)−400=1460−(x+6400x).
则y=−1150x3+50x−400,0(2)设f(x)=−1150x3+50x−400,0当0得f(x)在(0,50)上单调递增，在(50,60)上单调递减，
则f(x)≤f(50)=38003；
当x≥60时，由基本不等式有1460−(x+6400x)≤1460−2 x⋅6400x=1300，
当且仅当x=6400x，即x=80时取等号；
又因为1300>38003，所以当x=80时，所获利润最大，最大值为1300万元．
【解析】(1)根据售价和成本，分段求出函数式即可；
(2)根据已求的利润表达式，结合导数和基本不等式的知识分段求最值并比较即可．
本题考查分段函数的解析式的求法，以及函数的最值求法，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)因为f(x)=ax2+lnx，x∈(0,+∞)，
所以f′(x)=2ax+1x=2ax2+1x.
当a≥0时，f′(x)=2ax2+1x>0对任意的x∈(0,+∞)恒成立，
此时函数f(x)的增区间为(0,+∞)，无增区间；
当a<0时，令f′(x)=2ax2+1x=0，得x=− −2a2a，
所以f(x)的增区间为(0,− −2a2a)，减区间为(− −2a2a,+∞).
综上所述，当a≥0时，函数f(x)的增区间为(0,+∞)；
当a<0时，函数f(x)的增区间为(0,− −2a2a)，减区间为(− −2a2a,+∞).
(2)法一：由(1)可知，当a≥0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，
且f(e)=ae2+lne=1+ae2≥1，与f(x)≤12恒成立矛盾；
当a<0时，f(x)在区间(0,− −2a2a)上单调递增，在区间(− −2a2a,+∞)上单调递减．
f(x)max=f(− −2a2a)=−12−12ln(−2a)，
令−12−12ln(−2a)≤12，得ln(−2a)≥−2，得−2a≥e−2，即a≤−12e2.
法二：若对任意x∈(0,+∞)，f(x)≤12恒成立，
即ax2+lnx≤12对任意的x>0恒成立，
则a≤12−lnxx2对任意的x>0恒成立，
设g(x)=12−lnxx2，则g′(x)=2(lnx−1)x3，其中x>0，
令g′(x)=0，得x=e.
当x∈(0,e)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；
当x∈(e,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增．
所以g(x)min=g(e)=−12e2，
所以a≤−12e2，即实数a的取值范围为(−∞,−12e2].
【解析】(1)求出函数f(x)的定义域，对实数a的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数f(x)的增区间和减区间；
(2)法一：由(1)中的结论，当a≥0时，举反例f(e)>12；在a<0时，由f(x)max≤12求出实数a的取值范围，综合可得出实数a的取值范围；
法二：由f(x)≤12可得出a≤12−lnxx2，构造函数g(x)=12−lnxx2，利用导数求出函数g(x)的最小值，即可得出实数a的取值范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的恒成立问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1){an}不是“完全平方数列”．
S1=a1=1，S2=a1+a2=4，S3=a1+a2+a3=14，14不是整数的完全平方数．
(2)数列{bn}的前n项和Tn=(n−t)2(t是正整数)，
当n≥2时，bn=Tn−Tn−1=(n−t)2−(n−1−t)2=2n−2t−1，
当n=1时，b1=(1−t)2不满足上式，
所以|bn|=(t−1)2,n=1|2n−2t−1|,n≥2，
①当t=1，n≥2时，2n−2t−1=2n−3>0，
所以数列{|bn|}与原数列相同，所以Tn=(n−1)2，
所以当t=1时，数列{|bn|}为“完全平方数列”，
②当t≥2时，|b1|+|b2|=(t−1)2+|3−2t|=t2−2t+1+2t−3=t2−2，不是完全平方数，
所以当t≥2时，数列{|bn|}不是“完全平方数列”，
综上，当t=1时，数列{|bn|}为“完全平方数列”；
(3)设等差数列的首项为a1，公差为d，
则Sn=na1+n(n−1)d2=( 2d2)2[n+(a1d−12)]2−(a122d−a12+d8)，
所以 2d2∈Z，a1d−12∈Z，a122d−a12+d8=0，
令 2d2=k，得d=2k2，
此时a1d−12=m，
则a1=k2(2m+1)，
代入a122d−a12+d8=0，
得k4(2m+1)24k2−k2(2m+1)2+k24=k2[(2m+1)2−2(2m+1)+1]4=k2m2=0，
得mk=0，
当k=0时，an=0，
当k≠0时，m=0，则a1=k2,d=2k2，
则an=k2(2n−1)，
而an=0符合上式，
所以所有为“完全平方数列”的等差数列的通项公式an=k2(2n−1)(k∈Z).
【解析】(1)根据“完全平方数列”的定义分析判断；
(2)根据数列{bn}的前n项和得到|bn|=(t−1)2,n=1|2n−2t−1|,n≥2，对t=1，n≥2和t≥2这两种情况进行分析即可；
(3)设等差数列的首项为a1，公差为d，得到数列的前n项和Sn，此时 2d2∈Z，a1d−12∈Z，a122d−a12+d8=0，然后利用换元法求解即可．
本题考查数列的新定义，考查等差数列的运算，解题的关键是正确理解“完全平方数列”的定义，考查数学计算能力，属于较难题．X
0
1
a
P
16
p
13
ξ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
x
(−∞,−1)
−1
(−1,0)
0
(0,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
X
1
2
3
4
P
435
1835
1235
135
x
(0,− −2a2a)
− −2a2a
(− −2a2a,+∞)
f′(x)
+
0
+
f(x)
↗
极大值
↘