2022-2023学年河北省保定市高碑店市崇德实验中学高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2022-2023学年河北省保定市高碑店市崇德实验中学高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合M={−2,−1,0,1,2}，N={x|x2−x−6≥0}，则M∩N=( )
A. {−2,−1,0,1}B. {0,1,2}C. {−2}D. {2}
2.已知命题p：∀x∈R，x2+2≥6，则¬p是( )
A. ∀x∈R，x2+2<6B. ∀x∈R，x2+2≥6
C. ∃x0∈R,x02+2<6D. ∃x0∈R,x02+2≥6
3.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(−1, 3)，则z的共轭复数z−=( )
A. 1+ 3iB. 1− 3iC. −1+ 3iD. −1− 3i
4.已知函数f(2x+1)的定义域为[−2,2]，函数g(x)=f(x2−3)的定义域为( )
A. [−2 2,2 2]B. [0,2 2]
C. [−2 2,0)∪(0,2 2]D. [−2 2,−1]∪[1,2 2]
5.定义域为R的奇函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称，且f(2)=2018，则f(2018)+f(2016)=( )
A. 2018B. 2020C. 4034D. 2
6.已知函数f(x)=aex−lnx在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为( )
A. e2B. eC. e−1D. e−2
7.若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R，有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，则下列说法一定正确的是( )
A. f(x)−1为奇函数B. f(x)−1为偶函数C. f(x)+1为奇函数D. f(x)+1为偶函数
8.从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是偶数”，事件B为“第二次取到的是3的整数倍”，则P(B|A)=( )
A. 745B. 720C. 1445D. 15
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列各组函数中不是同一函数的是( )
A. f(x)= (x−1)2，g(x)=x−1
B. f(x)= x2−1，g(x)= x+1⋅ x−1
C. f(x)=x−1，g(t)=t−1
D. f(x)=x，g(x)=x2x
10.若ξ∼N(μ,σ2)，则P(μ−σ≤ξ≤μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ≤ξ≤μ+2σ)=0.9545.已知ξ∼N(6,4)，且P(ξ≤m+2)=P(ξ≥2m+1)，则( )
A. m=3B. m=1
C. P(4≤ξ≤10)=0.8186D. P(4≤ξ≤10)=0.1814
11.已知x>0，y>0，且x+3y=xy，则( )
A. xy的最小值是12
B. x+3y的最小值是12
C. 若t2+6t<3x+y恒成立，则实数t的取值范围是−8D. 若tx+2y−3t−14≥0恒成立，则正实数t的取值范围是t≥6
12.有一座高度是10级(第1级∼第10级)台阶的楼梯，小明在楼梯底部(第0级)从下往上走，每跨一步只能向上1级或者向上2级，且每步向上1级与向上2级的概率相同，设第n步后小明所在台阶级数为随机变量Xn，则( )
A. P(X2=2)=14B. E(X2)=3
C. P(X4=6)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知二项式(x−12 x)n(n∈N*)的展开式中第四项与第七项的二项式系数相等，则展开式中常数项为______.
14.已知函数f(x)是奇函数，当x∈(0,1)时，f(x)=4x，则f(lg434)=______.
15.函数f(x)=ax2+x−1(x>2)−x+1(x≤2)是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围是______.
16.若ex+e2x≥a(x2−xlnx)(a>0)，则a的取值范围为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=1anan+1，求数列{bn}的前2023项和.
18.(本小题12分)
已知向量a=(sinx,1+cs2x)，b=(csx,12)，f(x)=a⋅b−12.
(1)求函数y=f(x)的最大值及相应x的值；
(2)在△ABC中，角A为锐角且A+B=7π12，f(A)=12，BC=2，求△ABC的面积.
19.(本小题12分)
为推动农村可持续生态农业的发展，广东某农场用五年的时间按照有机标准新改良了100亩土地，预计在改良后的土地上种植有机水果A和其它作物，并根据市场需求确定有机水果A的种植面积.农场经营采用的是CSA农业经营模式即社区支持农业，农场从CSA会员中随机抽取了南方、北方会员共200人，调查数据如表.
(1)视频率为概率，分别估计南方、北方会员中喜欢有机水果A的概率；
(2)试根据小概率值α=0.025的独立性检验，分析喜欢有机水果A是否与会员的区域有关.
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d.
20.(本小题12分)
m为何值时，关于x的方程8x2−(m−1)x+(m−7)=0的两根：
(1)都为正数根；
(2)异号且负根绝对值大于正根；
(3)一根大于2，一根小于2；
(4)两根都在区间(0,2)上.
21.(本小题12分)
南水北调中线工程建成以来，通过生态补水和减少地下水开采，华北地下水位有了较大的回升，水质有了较大的改善，为了研究地下水位的回升情况，对2015年∼2021年河北某平原地区地下水埋深进行统计如下表：
根据散点图知，该地区地下水位埋深y与年份t(2015年作为第1年)可以用直线y=bt+a拟合.
(1)根据所给数据求线性回归方程y =b t+a ，并利用该回归方程预测2023年北京平原地区地下水位埋深；
(2)从2016年至2021年这6年中任取3年，该地区这3年中每一年地下水位与该地区上一年地下水位相比回升超过0.5米的年份数为X，求X的分布列与数学期望.
附相关表数据：i=17yi=164.01，i=17yiti=631.26，
参考公式：y =b t+a ，其中b =i=1nyiti−nyt−i=1n(ti−t−)2，a =y−−b t.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=a(ex+a)−x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：当a>0时，f(x)>2lna+32.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵x2−x−6≥0，∴(x−3)(x+2)≥0，∴x≥3或x≤−2，
N=(−∞,−2]∪[3,+∞)，则M∩N={−2}.
故选：C.
先把集合N表示出来，再根据交集的定义计算即可．
本题考查集合的运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：命题p：∀x∈R，x2+2≥6，则¬p是：∃x0∈R,x02+2<6.
故选：C.
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
3.【答案】D
【解析】解：∵在复平面内，复数z对应的点的坐标是(−1, 3)，
∴z=−1+ 3i，
则z的共轭复数z−=−1− 3i，
故选：D.
根据复数的几何意义、共轭复数的定义即可得出结论．
本题考查了复数的几何意义、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：因为函数f(2x+1)的定义域为[−2,2]，
所以−2≤x≤2，所以−3≤2x+1≤5，
所以−3≤x2−3≤5，解得−2 2≤x≤2 2，
所以函数g(x)=f(x2−3)的定义域为[−2 2,2 2].
故选：A.
函数的定义域都是x的取值范围，根据函数f(x)的结构特点确定函数的定义域．
本题考查抽象函数的定义域问题，属于中档题．
5.【答案】A
【解析】解：∵奇函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称，
∴f(2+x)=f(2−x)=−f(x−2)，
即f(x+4)=−f(x)，则f(x+8)=−f(x+4)=f(x)，
即函数的周期为8，
则f(2018)=f(4×504+2)=f(2)=2018，
f(2016)=f(4×504)=f(0)=0，
即f(2018)+f(2016)=2018+0=2018，
故选：A.
根据函数奇偶性和对称性，转化为求函数的周期性，利用周期性进行求解即可．
本题主要考查函数值的计算，利用对称性和奇偶性求出函数的周期性是解决本题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：对函数f(x)求导可得，f′(x)=aex−1x，
依题意，aex−1x≥0在(1,2)上恒成立，
即a≥1xex在(1,2)上恒成立，
设g(x)=1xex,x∈(1,2)，则g′(x)=−(ex+xex)(xex)2=−ex(x+1)(xex)2，
易知当x∈(1,2)时，g′(x)<0，
则函数g(x)在(1,2)上单调递减，
则a≥g(x)max=g(1)=1e=e−1.
故选：C.
对函数f(x)求导，根据题意可得a≥1xex在(1,2)上恒成立，设g(x)=1xex,x∈(1,2)，利用导数求出函数g(x)的最大值即可得解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：定义在R上的函数f(x)满足：
对任意x1，x2∈R，有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，
令x1=x2=0，则f(0)=f(0)+f(0)+1，解得f(0)=−1，
令x1=x，x2=−x，
由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，得：f(x−x)=f(x)+f(−x)+1，
即f(0)=f(x)+f(−x)+1，
化为：f(−x)+1=−(f(x)+1)，
∴对任意的x，有f(−x)+1=−(f(x)+1)，
∴函数f(x)+1是奇函数．
故选：C.
令x1=x2=0，则f(0)=f(0)+f(0)+1，解得f(0)=−1，令x1=x，x2=−x，得：f(x−x)=f(x)+f(−x)+1，从而f(0)=f(x)+f(−x)+1，进而对任意的x，有f(−x)+1=−(f(x)+1)，由此得到函数f(x)+1是奇函数．
本题考查奇函数的判断，考查函数的奇偶性、单调性等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
8.【答案】C
【解析】解：记第一次取出的数为m，第二次取出的数记为n，
则Ω={(m,n)|m,n∈N*,m≤10,n≤10,m≠n}，
A={(m,n)|n,k∈N*,m=2k,k≤5,n≤10,m≠n}，
B={(m,n)|m,k∈N*,n=3k,m≤10,k≤3,m≠n}，
所以AB={(4,6),(4,9),(6,3),(6,9),(8,3),(8,6),(8,9),(10,3),(10,6),(10,9),2,3),(2,6),(2,9),(4,3)}，
所以n(Ω)=90，n(A)=45，n(AB)=14，
P(A)=n(A)n(Ω)=4590,P(AB)=n(AB)n(Ω)=1490，
所以P(B|A)=P(AB)P(A)=1445.
故选：C.
根据古典概型和条件概率公式可得．
本题考查条件概率相关知识，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断函数的定义域及对应法则是否相同是解题的关键，属于基础题．
判断函数的定义域与对应法则是否相同即可得解．
【解答】
解：对于A，f(x)= (x−1)2=|x−1|，g(x)=x−1，对应法则不同，不是同一函数，故A符合题意；
对于B，f(x)= x2−1的定义域为(−∞,−1]∪[1,+∞)，
g(x)= x+1⋅ x−1的定义域为[1,+∞),
两函数定义域不同，不是同一函数，故B符合题意；
对于C，f(x)=x−1，g(t)=t−1，两函数的定义域和对应法则都相同，是同一函数，故C不符合题意；
对于D，f(x)=x的定义域为R，g(x)=x2x的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
两函数定义域不同，不是同一函数，故D符合题意．
故选：ABD.
10.【答案】AC
【解析】解：ξ∼N(6,4)，则μ=6，σ=2，
P(ξ≤m+2)=P(ξ≥2m+1)，
则m+2+2m+12=6，解得m=3，
P(4≤ξ≤8)=P(6−2≤ξ≤6+2)=0.6827，P(2≤ξ≤10)=P(6−4≤ξ≤6+4)=0.9545.
则P(4≤ξ≤10)=P(4≤ξ≤8)+P(8<ξ≤10)
=P(4≤ξ≤8)+12×[P(2≤ξ≤10)−P(4≤ξ≤8)]
=0.6827+12×(0.9545−0.6827)
=0.8186.
故选：AC.
根据正态分布的对称性，求出m，根据正态分布的3σ原则，求出P(4≤ξ≤10)即可．
本题考查正态分布的应用，属于基础题．
11.【答案】ABCD
【解析】解：对于A，由x>0，y>0，且x+3y=xy可得xy≥2 3 xy，
即xy−2 3 xy≥0，由于 xy>0，所以上式的解集为 xy≥2 3，
即xy≥12，当且仅当x=3y时等号成立，A正确；
对于B，由x>0，y>0，且x+3y=xy可得3(x+3y)=3xy≤(x+3y2)2，
即(x+3y)2−12(x+3y)≥0，即(x+3y)(x+3y−12)≥0，
又x+3y>0，所以上式的解集为x+3y≥12，当且仅当x=3y时等号成立，B正确；
对于C，由x>0，y>0，且x+3y=xy可得x=y(x−3)，显然x>3，
所以3x+y=3x+xx−3=3(x−3)+9+x−3+3x−3=3(x−3)+3x−3+10，
由于x>3，即x−3>0，所以3(x−3)+3x−3+10≥3×2+10=16，
即3x+y≥16，当且仅当x−3=1，即x=4时等号成立，
由于t2+6t<3x+y恒成立，
令t2+6t<16，解得−8对于D，由tx+2y−3t−14≥0可得2y−14≥(3−x)t，
由于x>3，即3−x<0，
所以有2y−143−x≤t，
又y=xx−3，所以有2xx−3−143−x=12x−42(x−3)2=12x−36−6(x−3)2=121x−3−61(x−3)2，
显然当1x−3=122×6=1，即x=4时，上式取得最大值为12−6=6，
所以正实数t的取值范围是t≥6，D正确．
故选：ABCD.
结合基本不等式和一元二次不等式对各选项进行分析．
本题主要考查基本不等式和一元二次不等式，属中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：小明每步向上1级和向上2级的概率都是12，
{X2=2}=“跨2步，每步向上1个台阶”，
P(X2=2)=(12)2=14，故A正确；
X2的可能取值为2，3，4，
P(X2=2)=14，P(X2=3)=C21(12)2=12，P(X2=4)=(12)2=14，
所以E(X2)=3，故B正确；
{X4=6}=“跨4步到达第6级台阶，且2步每步向上1个台阶，剩余2步每步向上2个台阶”，
P(X4=6)=C42(12)4=38；
{X4=7}=“跨4步到第7级台阶，有1步向上1个台阶，剩余3步每步向上2个台阶”，
P(X4=7)=C43(12)4=14，故C错误；
由题意n∈[5,10]，n∈N，X5=10表示跨5步到达第10级台阶，每步向上2个台阶，P(X5=10)=(12)5=132，
{X6=10}=“跨6步到达第10级台阶，有2步每步向上1个台阶，剩余4步每步向上2个台阶”，
P(X6=10)=C62(12)6=1564，
依次类推得：P(X7=10)=C74(12)7=35128，P(X8=10)=C86(12)8=764，P(X9=10)=C98(12)9=9512，P(X10=10)=(12)10=11024，
所以X7=10时的概率最大，故D正确．
故选：ABD.
对于A，X2=2表示跨2步到达第2级台阶，由此算出对应概率；
对于B，X2的值可能为2，3，4，再求出各自的概率，再利用期望公式求解；
对于C，X4=6，说明这四步有两步一阶，两步两阶，结合二项分布的知识求出P(X4=6)，同理算出P(X4=7)，即可判断结论；
对于D，n可以取5，6，7，8，9，10，分别算出对应的概率，比较即可．
本题考查利用二项分布的知识与方法，计算随机变量对应事件的概率和随机变量的期望，属于中档题．
13.【答案】2116
【解析】解：由已知可得Cn3=Cn6，则n=9，
所以二项式的展开式的通项公式为Tr+1=C9rx9−r(−12 x)r=C9r(−12)rx9−3r2，
令9−3r2=0，解得r=6，
所以展开式的常数项为C96⋅(−12)6=2116，
故答案为：2116.
由已知求出n的值，再求出二项式的展开式的通项公式，令x的指数为0，进而可以求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】−43
【解析】解：依题意，f(lg434)=−f(−lg434)=−f(lg443)=−4lg443=−43.
故答案为：−43.
利用奇函数的性质及已知范围的解析式即可得解．
本题考查利用奇函数的性质求函数值，涉及了对数运算，属于基础题．
15.【答案】(−∞,−12]
【解析】【分析】
本题主要考查函数的单调性的性质，二次函数，分段函数，属于中档题．
根据分段函数单调递减，则各段上都是单调递减，且要注意两段函数间的衔接处，结合二次函数的性质得出关于a的不等式组，由此求得a的范围．
【解答】
解：∵函数f(x)=ax2+x−1(x>2)−x+1(x≤2)是R上的单调递减函数，
∴a<0−12a≤2−2+1≥4a+2−1，解得a≤−12，
故实数a的取值范围是(−∞,−12].
故答案为(−∞,−12].
16.【答案】(0,e2]
【解析】解：若ex+e2x≥a(x2−xlnx)(a>0)，
整理得exx+alnx−ax+e2≥0，
即exx+alnx−alnex+e2≥0，
可得exx−alnexx+e2≥0，
不妨设t=exx，函数定义域为(0,+∞)，
可得t=(x−1)exx2，
当0当t>1时，t′(x)>0，t(x)单调递增，
所以t(x)≥t(1)=e，
不妨设f(t)=t−alnt+e2，函数定义域为[e,+∞),
可得f′(t)=1−at=t−at，
若0此时f′(t)≥0，f(t)单调递增；
所以f(t)≥f(e)=e−a+e2≥0，
解得a≤e+e2，符合题意；
若a>e，
当e当t>a时，f′(t)>0，f(t)单调递增，
所以f(t)≤f(a)=a−alna+e2≥0，
不妨设g(a)=a−alna+e2，函数定义域为(e,+∞)，
可得g′(a)=−lna<0，
所以函数g(a)在定义域上单调递减，
又g(e2)=e2−e2lne2+e2=0，
则g(a)≥g(e2)，
所以e综上，满足条件的a的取值范围为(0,e2].
故答案为：(0,e2].
由题意，将问题转化成exx−alnexx+e2≥0恒成立，通过构造函数，将问题转化成函数最值问题，按部就班进行求解即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．
17.【答案】解：(1)∵在等差数列{an}中，S5=a1+a52×5=15，
∴a1=1，
∴d=a5−a14=1，
∴an=1+(n−1)=n；
(2)由(1)得an=n，则bn=1anan+1=1n(n+1)=1n−1n+1，
∴数列{bn}的前2023项和为1−12+12−13+…+12023−12024=1−12024=20232024.
【解析】(1)根据求和公式计算a1，从而得出公差，于是得出通项公式；
(2)利用裂项相消法求和，即可得出答案．
本题考查等差数列的性质和裂项相消法求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)因为f(x)=a⋅b−12=sinx⋅csx+12(1+cs2x)−12=12sin2x+12cs2x= 22sin(2x+π4)，
当2x+π4=π2+2kπ，k∈Z，即x=π8+kπ，k∈Z，则函数值f(x)最大，且为 22，
所以函数y=f(x)的最大值为 22，相应x的值为π8+kπ，k∈Z；
(2)由(1)可得f(A)= 22sin(2A+π4)=12，A角为锐角，所以2A+π4=34π，
解得A=π4，
又因为A+B=7π12，所以B=π3，
进而可得C=5π12，
由正弦定理可得BCsinA=ACsinB=ABsinC，BC=2，
可得AC= 6，AB=1+ 3，
所以S△ABC=12AC⋅AB⋅sinA=12⋅ 6⋅(1+ 3)⋅ 22=3+ 32.
【解析】(1)由题意可得函数f(x)的解析式，由函数的最大值的求法可得函数的最大值及相应的x的值；
(2)由(1)及A的范围可得A角的大小，进而求出B角的大小，再由三角形的内角和可知C角的大小，由正弦定理可得AC，AB边的值，代入三角形的面积公式求出三角形的面积．
本题考查数量积的应用及正弦定理的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由题得南方会员中喜欢有机水果A的概率P1=8080+40=23；
北方会员中喜欢有机水果A的概率为P2=4040+40=12，
所以南方、北方会员中喜欢有机水果A的概率分别为23，12.
(2)零假设H0：假设喜欢有机水果A与会员的区域无关；
χ2=200×(80×40−40×40)2120×80×120×80=509≈5.556>5.024=x0.025，
根据小概率值α=0.025的独立性检验，H0不成立，
即认为是否喜欢有机水果A与会员的区域有关．
【解析】(1)利用古典概率可求答案；
(2)计算卡方，和临界值比较，根据小概率可得答案．
本题主要考查概率的求法，独立性检验，考查运算求解能力，属于基础题．
20.【答案】解：关于x的方程8x2−(m−1)x+(m−7)=0，
(1)当满足△=(m−1)2−32(m−7)≥0m−18>0时，即满足1(2)当满足△=(m−1)2−32(m−7)>0m−18<0m−78<0时，即满足m<1时，
方程的两个根异号且负根绝对值大于正根．
(3)设f(x)=8x2−(m−1)x+(m−7)，则当f(x)满足f(2)<0时，
方程8x2−(m−1)x+(m−7)=0的两根满足一根大于2，一根小于2.
求得m>27.
(4)当f(x)满足f(1)=2>0f(2)=27−m>00【解析】由题意，利用一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，求得m的范围．
本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于基础题．
21.【答案】解：(1)由题知，t−=17×(1+2+3+4+5+6+7)=4，y−=17×i=17yi=164.01×17=23.43，
i=17(ti−t−)2=(1−4)2+(2−4)2+(3−4)2+(4−4)2+(5−4)2+(6−4)2+(7−4)2=28，
b =i=1nyiti−nyt−i=1n(ti−t−)2=631.26−7×4×23.4328=−0.885，a =y−−b t=23.43+0.885×4=26.97，
所以线性回归方程为y =−0.885t+26.97，
2023年为t=9，则y =−0.885×9+26.97=19.005，
所以2023年北京平原地区地下水位埋深19.005米．
(2)由题知，在2016年至2021年6年中，
2016年、2018年、2020年、2021年共4年该地的地下水位上升超过0.5米，
所以X的取值可能为0，1，2，
P(X=0)=C22C62=115，P(X=1)=C21C41C62=815，P(X=2)=C42C62=25，
所以X的分布列为：
所以E(X)=0×115+1×815+2×25=43.
【解析】(1)利用题目数据结合最小二乘法求解线性回归直线方程，代入计算即可；
(2)先求出随机变量X的所有取值，再求出对应的概率，写出分布列，利用数学期望公式计算即可．
本题考查回归方程的求解与应用，考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．
22.【答案】解：(1)f(x)=a(ex+a)−x，
则f′(x)=aex−1，
①当a≤0时，f′(x)<0恒成立，f(x)在R上单调递减，
②当a>0时，令f′(x)=0得，x=ln1a，
当x∈(−∞,ln1a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(ln1a,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
综上所述，当a≤0时，f(x)在R上单调递减；当a>0时，f(x)在(−∞,ln1a)上单调递减，在(ln1a,+∞)上单调递增．
证明：(2)由(1)可知，当a>0时，f(x)min=f(ln1a)=a(1a+a)−ln1a=1+a2+lna，
要证f(x)>2lna+32，只需证1+a2+lna>2lna+32，
只需证a2−lna−12>0，
设g(a)=a2−lna−12，a>0，
则g′(a)=2a−1a=2a2−1a，
令g′(a)=0得，a= 22，
当a∈(0, 22)时，g′(a)<0，g(a)单调递减，当a∈( 22,+∞)时，g′(a)>0，g(a)单调递增，
所以g(x)≥g( 22)=12−ln 22−12=−ln 22>0，
即g(x)>0，
所以a2−lna−12>0得证，
即f(x)>2lna+32得证．
【解析】(1)先求出导函数f′(x)，再对a分a≤0和a>0两种情况讨论，判断f′(x)的符号，进而得到f(x)的单调性；
(2)由(1)可知，当a>0时，f(x)min=f(ln1a)=1+a2+lna，要证f(x)>2lna+32，只需证1+a2+lna>2lna+32，只需证a2−lna−12>0，设g(a)=a2−lna−12，a>0，求导可得g(x)min=g( 22)>0，从而证得f(x)>2lna+32.
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了函数恒成立问题，属于中档题．喜欢有机水果A
不喜欢有机水果A
南方会员
80
40
北方会员
40
40
α
0.05
0.025
0.005
xa
3.841
5.024
7.879
年份
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
埋深(单位：米)
25.74
25.22
24.95
23.02
22.69
22.03
20.36
X
0
1
2
P
115
815
25