2022-2023学年河北省衡水市武强中学高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

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这是一份2022-2023学年河北省衡水市武强中学高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={x|x2−4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|−2≤x≤1}，则a=( )
A. −4B. −2C. 2D. 4
2.已知P：x2−x < 0，那么命题P的一个必要非充分条件是( )
A. 03.已知a=lg20.2,b=20.2,c=0.20.3，则( )
A. a4.设函数f(x)=1+lg2(2−x)x<12x−1x≥1，则f(−2)+f(lg212)=( )
A. 3B. 6C. 9D. 12
5.函数y=2x32x+2−x在[−6,6]的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.已知函数y=f(x)的定义域[−8,1]，则函数g(x)= f(2x+1)x+2的定义域是( )
A. (−∞,−2)∪(−2,3]B. [−8,−2)∪(−2,1]
C. [-92,-2)∪(-2,0]D. [-92,-2]
7.已知函数f(x)=lg2x,x>02x,x≤0，且关于x的方程f(x)−a=0有两个实根，则实数a的取值范围为( )
A. (0,1]B. (0,1)C. [0,1]D. (0,+∞)
8.若2a+lg2a=4b+2lg4b，则( )
A. a>b2B. a2bD. a<2b
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列四组函数中，不表示同一函数的一组是( )
A. f(x)=x−1(x∈R)，g(x)=x−1(x∈N)
B. f(x)=|x|，g(x)= x2
C. f(x)= x+1⋅ x−1，g(x)=x+1
D. f(x)=x2−1x−1，g(x)=x+1
10.下列叙述中正确的是( )
A. 0⊆N
B. 若x∈A∩B，则x∈A∪B
C. 命题“∀x∈Z，x2>0”的否定是“∃x∈Z，x2<0”
D. 已知a∈R，则“ba11.已知a>0，b>0，且a+b=1，则( )
A. 2a−b>12B. a+ b≤ 2
C. lg2a+lg2b≥−2D. a2+b2≥12
12.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+3)=f(x−1)，若当x∈[0,2]时，f(x)=2x−1，则下列结论正确的是( )
A. 当x∈[−2,0]时，f(x)=2−x−1B. f(2019)=1
C. y=f(x)的图象关于点(2,0)对称D. 函数g(x)=f(x)−lg2x有3个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数f(x)=x3(a2⋅2x−2−x)是偶函数，则a=______.
14.设A={x|x2−8x+15=0}，B={x|ax−1=0}，若B⊆A，则实数a组成的集合C=__________.
15.已知f( x+2)=x+4 x，则f(x)的解析式为______.
16.已知函数f(x)=x3(x≥0)−x(x<0)，若函数g(x)=f(x)−|kx2−2x|(k∈R)恰有4个不同的零点，则k的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)经过点(3,27).
(1)求f(x)的解析式及f(−1)的值;
(2)若f(x−1)>f(−x)，求x的取值范围．
18.(本小题12分)
已知全集U=R，集合M={x|−2≤x≤5}，N={x|a+1≤x≤2a+1}.
(Ⅰ)若a=2，求M∩(∁RN)；
(Ⅱ)若M∪N=M，求实数a的取值范围．
19.(本小题12分)
已知p：0≤2x−1≤7，q：x2−(2a+3)x+a2+3a≤0(a为常数)，
(Ⅰ)若p是q的充要条件，求a的值；
(Ⅱ)若¬q是p的必要不充分条件，求a的范围.
20.(本小题12分)
已知fx是定义在R上的偶函数，且x≤0时，fx=lg12−x+1.
(1)求f3+f−1;
(2)求函数fx的解析式；
(3)若fa−1<−1，求实数a的取值范围．
21.(本小题12分)
设函数f(x)是增函数，对于任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)求f(0)；
(2)证明f(x)奇函数；
(3)解不等式12f(x2)−f(x)>12f(3x).
22.(本小题12分)
设函数f(x)=lgax(a>0且a≠1).
(1)解不等式f(2a+6)≤f(5a)；
(2)已知对任意的实数m，f(m2+m+1)≥f(34)恒成立，是否存在实数k，使得对任意的x∈[−1,0]，不等式f(4x+2x+1)−f(k−2⋅4x)>0恒成立，若存在，求出k的范围，若不存在，说明理由.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查集合的交集运算，同时考查不等式的解法，考查方程思想和运算能力.
由二次不等式和一次不等式的解法，化简集合A，B，再由交集的定义，可得a的方程，解方程可得a.
【解答】
解：集合A={x|x2−4≤0}={x|−2≤x≤2}，
B={x|2x+a≤0}={x|x≤−12a}，
由A∩B={x|−2≤x≤1}，可得−12a=1，
则a=−2.
故选：B.
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的应用，比较基础．
求出不等式的等价条件，结合必要不充分条件的定义进行判断即可．
【解答】
解：由x2−x<0得0设0则满足A⫋B，
显然−1故选：B.
3.【答案】B
【解析】解：∵lg20.220=1，0<0.20.3<0.20=1，
∴a故选：B.
根据对数函数和指数函数的单调性即可得出a<0，b>1，0本题考查了指数函数和对数函数的单调性，指数函数的值域，考查了计算能力，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．
先求f(−2)=1+lg2(2+2)=1+2=3，再由对数恒等式，求得f(lg212)=6，进而得到所求和．
【解答】
解：函数f(x)=1+lg2(2−x),x<12x−1,x≥1，
即有f(−2)=1+lg2(2+2)=1+2=3，
f(lg212)=2lg212−1=2lg212×12=12×12=6，
则有f(−2)+f(lg212)=3+6=9.
故选C.
5.【答案】B
【解析】解：由y=f(x)=2x32x+2−x在[−6,6]，知
f(−x)=−2x32x+2−x=−f(x)，函数是[−6,6]上的奇函数，因此排除C
又f(4)=21128+1>7，因此排除A，D.
故选：B.
由y=2x32x+2−x的解析式知该函数为奇函数可排除C，然后计算x=4时的函数值，根据其值即可排除A、D.
本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊值是判断函数图象的常用方法，是基础题．
6.【答案】C
【解析】【分析】
根据函数f(x)的定义域求出2x+1的范围，结合分母不为0求出函数g(x)的定义域即可．
本题考查了求抽象函数的定义域问题，是一道基础题．
【解答】
解：由题意得：
−8≤2x+1≤1，
解得：−92≤x≤0，
由x+2≠0，解得：x≠−2，
故函数的定义域是[−92,−2)∪(−2,0],
故选C.
7.【答案】A
【解析】解：当x≤0时，0<2x≤1，当x>1时，lg2x∈R.
所以，由图象可知当要使方程f(x)−a=0有两个实根，
即函数y=f(x)与直线y=a有两个交点，所以，由图象可知0故选：A.
当x≤0时，0<2x≤1，当x>1时，lg2x∈R，由题意可得，函数y=f(x)与直线y=a有两个交点，数形结合求得实数a的范围．
本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：∵2a+lg2a=4b+2lg4b，
∴2a+lg2a=22b+lg2b，
令f(x)=2x+lg2x，
则f(x)在(0,+∞)上是增函数，
又∵22b+lg2b<22b+lg22b，
∴2a+lg2a<22b+lg22b，
故a<2b，
故选：D.
化简得2a+lg2a=22b+lg2b，令f(x)=2x+lg2x，结合函数的单调性可得a<2b.
本题考查了指数函数与对数函数单调性的应用及整体思想的应用，属于中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：对于A，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为N，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数；
对于B，因为g(x)= x2=|x|，f(x)=|x|，两个函数的解析式相同，又两个函数的定义域相同都为R，所以是同一函数；
对于C，由x+1≥0x−1≥0得f(x)的定义域为[1,+∞),g(x)的定义域为R，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数；
对于D，由x−1≠0得f(x)的定义域为{x|x≠1}，g(x)的定义域为R，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数．
故选：ACD.
结合函数的基本概念，通过对函数的定义域和函数的解析式的判断逐一分析求解即可．
本题考查判断两个函数是否为同一函数，考查了计算能力，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：∵0是自然数，∴0∈N，或{0}⊆N，故A错误；
∵x∈A∩B，又(A∩B)⊆(A∪B)，∴x∈A∪B，故B正确；
命题“∀x∈Z，x2>0”的否定是“∃x∈Z，x2≤0”，故C错误；
∵ba−a>0，或−b>a>0，或a>b>0，或a故选：BD.
根据集合的关系与运算性质、命题的否定方法以及条件的充分性、必要性的判断方法逐项判断即可．
本题主要考查了集合包含关系的判断，含有量词的命题否定，不等式的性质，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查基本不等式的应用，考查逻辑推理与运算求解能力．
利用指数函数的性质即可判断选项A；由基本不等式即可判断选项B，C，D.
【解答】
解：因为a>0，b>0，且a+b=1，
所以a−b=a−(1−a)=2a−1>−1，
所以2a−b>2−1=12，故A正确；
( a+ b)2=a+b+2 ab=1+2 ab≤1+2×a+b2=2，
所以 a+ b≤ 2，当且仅当a=b=12时等号成立，故B正确；
lg2a+lg2b=lg2ab≤lg2(a+b2)2=−2，
当且仅当a=b=12时取等号，故C错误；
已知a>0，b>0，且a+b=1，
所以(a+b)2≤2a2+2b2，则a2+b2≥12，当且仅当a=b=12时等号成立，故D正确．
故选：ABD.
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，注意判断函数的周期，属于基础题．
根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案．
【解答】
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，当x∈[−2,0]时，−x∈[0,2]，则f(−x)=2−x−1，又由f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)=f(−x)=2−x−1，A正确，
对于B，f(x)满足f(x+3)=f(x−1)，即f(x+4)=f(x)，函数f(x)是周期为4的周期函数，则f(2019)=f(−1+2020)=f(−1)=f(1)=21−1=1，B正确，
对于C，f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+4)=f(x)，则有f(x+4)=f(−x)，y=f(x)的图象关于直线x=2对称，C错误，
对于D，根据题意，f(x)的图象与y=lg2x的草图如图：分析可得两个函数有3个交点，
即函数g(x)=f(x)−lg2x有3个零点，D正确；
故选：ABD.
13.【答案】2
【解析】解：因为函数f(x)=x3(a2⋅2x−2−x)是偶函数，且定义域为R，
所以f(−x)=(−x)3(a2⋅2−x−2x)=f(x)⇒a2⋅2x−2−x=−a2⋅2−x+2x，
a2⋅22x−1=−a2+22x⇒22x(a2−1)=1−a2恒成立，
所以a2−1=0,a=2.
故答案为：2.
根据偶函数的性质进行判定求解．
本题主要考查了偶函数的定义，属于基础题．
14.【答案】0,13,15
【解析】【分析】
本题主要考查集合之间的关系，集合中参数的取值问题，属于基础题．
根据B⊆A，分B=⌀时，B≠⌀时讨论即可求解.
【解答】
解：∵A={x|x2−8x+15=0}，∴A={3,5}，又∵B={x|ax−1=0}，
∴①B=⌀时，a=0，显然B⊆A；
②B≠⌀时，B={1a}，由于B⊆A，
1a=3或5，∴a=13或15，
故答案为0,13,15.
15.【答案】f(x)=x2−4(x≥2)
【解析】解：令t= x+2，则x=(t−2)2且t≥2，
∵f( x+2)=x+4 x，
∴f(t)=t2−4，t≥2
则f(x)=x2−4(x≥2)
故答案为：f(x)=x2−4(x≥2)
令t= x+2，则x=(t−2)2且t≥2，然后根据已知解析式代入即可求解．
本题主要考查了利用换元法求解函数的解析式，属于基础试题．
16.【答案】(−∞,0)∪(2 2,+∞)
【解析】解：若函数g(x)=f(x)−|kx2−2x|(k∈R)恰有4个零点，
则f(x)=|kx2−2x|有四个根，
即y=f(x)与y=h(x)=|kx2−2x|有四个交点，
当k=0时，y=f(x)与y=|−2x|=2|x|图象如下：
两图象只有两个交点，不符合题意；
当k<0时，y=|kx2−2x|与x轴交于两点x1=0，x2=2k(x2图象如图所示：
当x=1k时，函数y=|kx2−2x|的函数值为−1k，函数y=−x的函数值为−1k，
∴两图象有4个交点，符合题意；
当k>0时，y=|kx2−2x|与x轴交于两点x1=0，x2=2k(x2>x1)，在[0,2k)内两函数图象有两个交点，
则若有四个交点，只需y=x3与y=kx2−2x在(2k,+∞)内有两个交点即可，
即x3=kx2−2x在(2k,+∞)还有两个根，也就是k=x+2x在(2k,+∞)内有两个根，
函数y=x+2x≥2 2，(当且仅当x= 2时，取等号)，
∴0<2k< 2，且k>2 2，得k>2 2，
综上所述，k的取值范围为(−∞,0)∪(2 2,+∞).
故答案为：(−∞,0)∪(2 2,+∞).
问题转化为f(x)=|kx2−2x|有四个根，即y=f(x)与y=h(x)=|kx2−2x|有四个交点，再分k=0，k<0，k>0讨论两个函数是否能有4个交点，进而得出k的取值范围．
本题考查函数的零点，参数的取值范围，关键利用分类讨论思想，分析函数的交点，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为f(x)=ax(a>0且a≠1)经过点(3,27)，
所以a3=27，所以a=3，
所以f(x)=3x ，
所以f−1=3−1=13；
(2)因为f(x−1)>f(−x)，即3x−1>3−x，
又f(x)=3x 在R上为增函数，
所以x−1>−x⇒x>12，
∴x的取值范围为：x|x>12.
【解析】本题考查了指数函数的定义、指数函数的单调性以及不等式的解法，属于基础题
(1)将点(3,27)代入到f(x)=ax，解得a的值，即可求出解析式，由此可求出f(−1)的值；
(2)根据指数函数为增函数，转化不等式，解之即可.
18.【答案】解：(Ⅰ)若a=2，则N={x|3≤x≤5}，
则∁RN={x|x>5或x<3}；
则M∩(∁RN)={x|−2⩽x<3}；
(Ⅱ)若M∪N=M，则N⊆M，
①若N=⌀，即a+1>2a+1，得a<0，此时满足条件；
②当N≠⌀，则满足a+1≤2a+12a+1≤5a+1≥−2，得0≤a≤2，
综上a≤2，
故a的取值范围是a|a≤2.
【解析】本题主要考查集合的基本运算，根据集合的基本关系以及基本运算是解决本题的关键，属于拔高题.
(Ⅰ)根据集合的基本运算进行求解即可；
(Ⅱ)根据M∪N=M，得N⊆M，讨论N是否是空集，根据集合的关系进行转化求解即可．
19.【答案】解：(I)解不等式0≤2x−1≤7，
即1≤2x≤8，
得p：0≤x≤3，
解不等式x2−(2a+3)x+a2+3a≤0(a为常数)，
得q：a≤x≤a+3，
若p是q的充要条件，则a=0.
(II)∵p：0≤x≤3，¬q：x>a+3或x∴若¬q是p的必要不充分条件，
则a>3或a+3<0
解得a>3或a<−3，
即a的范围a>3或a<−3.
【解析】(Ⅰ)求出两个不等式的等价条件，根据若p是q的充要条件，建立方程关系即可求a的值；
(Ⅱ)求出¬q，根据¬q是p的必要不充分条件，建立不等式关系即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的应用和判断，比较基础．
20.【答案】解：(1)∵f(x)是定义在R上的偶函数，
x≤0时，fx=lg12−x+1，
∴f(3)+f(−1)=f(−3)+f(−1)=lg124+lg122=−2−1=−3；
(2)令x>0，则−x<0，f−x=lg12x+1=fx
∴x>0时，fx=lg12x+1，
则fx=lg12(−x+1),x≤0lg12(x+1),x>0;
(3)∵fx=lg12−x+1在(−∞,0]上为增函数，
∴f(x)在(0,+∞)上为减函数，
∵fa−1<−1=f1，所以f(|a−1|)∴|a−1|>1，
解得a>2或a<0.
【解析】本题考查函数解析式的求解以及不等式的求解，同时考查的函数奇偶性及单调性，考查分析与计算能力，属于中档题.
(1)利用函数奇偶性的性质即可求f3+f−1；
(2)根据函数奇偶性的性质即可求函数fx的解析式；
(3)若fa−1<−1，利用函数的单调性，将不等式进行转化即可求实数a的取值范围．
21.【答案】解：(1)由题设，令x=y=0，
恒等式可变为f(0+0)=f(0)+f(0)，解得f(0)=0；
(2)证明：令y=−x，
则由f(x+y)=f(x)+f(y)得f(0)=0=f(x)+f(−x)，
即f(−x)=−f(x)，
故f(x)是奇函数；
(3)∵12f(x2)−f(x)>12f(3x)，
f(x2)−f(3x)>2f(x)，
即f(x2)+f(−3x)>2f(x)，
又由已知f(x+y)=f(x)+f(y)得：f(x+x)=2f(x)，
∴f(x2−3x)>f(2x)，
由函数f(x)是增函数，不等式转化为x2−3x>2x，即x2−5x>0，
∴不等式的解集{x|x<0或x>5}.
【解析】本题主要考查了抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．
(1)利用已知条件通过x=y=0，直接求f(0)；
(2)通过函数的奇偶性的定义，直接证明f(x)是奇函数；
(3)利用已知条件转化不等式．通过函数的单调性直接求解不等式12f(x2)−f(x)>12f(3x)的解集即可．
22.【答案】解：(1)当0f(2a+6)≤f(5a)即为2a+6≥5a>0，解得0当a>1时，有0<2a+6≤5a，解得a≥2，即有a∈[2,+∞),
综上可知a∈(0,1)∪[2,+∞)；
(2)由于m2+m+1=(m+12)2+34≥34，且f(m2+m+1)≥f(34)，
可知f(x)为增函数，
f(4x+2x+1)−f(k−2⋅4x)>0即f(4x+2x+1)>f(k−2⋅4x)，
则有4x+2x+1>k−2⋅4x恒成立，
即k<3⋅4x+2x+1，令t=2x∈[12,1]，k<3t2+2t恒成立，
由3t2+2t=3(t+13)2−13∈[74,5]，
得到k<74；
又由于x∈[−1,0]时，k−2⋅4x>0恒成立，
由2⋅4x∈[12,2]，
解得k>2；
综上可得，这样的实数k不存在．
【解析】(1)讨论01，结合对数函数的单调性和对数的定义，解不等式可得所求解集；
(2)由题意可得a>1，f(x)为增函数，原不等式化为f(4x+2x+1)>f(k−2⋅4x)，则有4x+2x+1>k−2⋅4x恒成立，即k<3⋅4x+2x+1，令t=2x∈[12,1]，k<3t2+2t恒成立，由二次函数的值域求法和不等式恒成立思想，解得k的范围，即可判断存在性．
本题考查对数函数的单调性和不等式的解法，以及不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力，属于中档题．