2022-2023学年河北省石家庄市北华中学高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2022-2023学年河北省石家庄市北华中学高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列命题中正确的为( )
A. 线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强
B. 线性相关系数r越小，两个变量的线性相关性越弱
C. 残差平方和越小的模型，模型拟合的效果越好
D. 用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好
2.已知C8m=C82m−1，则m等于( )
A. 1B. 3C. 1或3D. 1或4
3.某班联欢会原定的3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为( )
A. 12B. 20C. 36D. 120
4.在(x−2x)5的展开式中，x−1的系数为( )
A. 80B. 10C. −10D. −80
5.长时间玩手机可能会影响视力，据调查，某校大约有32%的学生近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机的时间超过1h，这些人的近视率约为40%.现从每天玩手机的时间不超过1h的学生中任意调查一名学生，则这名学生患近视的概率为( )
A. 310B. 38C. 12D. 13
6.设离散型随机变量X的分布列为
若随机变量Y=X−2，则P(Y=2)等于( )
A. 0.3B. 0.4C. 0.6D. 0.7
7.若(2−x)n(n∈N*)的展开式中常数项为32，则n=( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
8.有甲、乙两个袋子，甲袋中有2个白球和1个红球，乙袋中有2个红球和中1个白球，这6个球手感上不可区别.现从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，则收到红球的概率是( )
A. 34B. 712C. 12D. 47
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知X∼B(8,14)，则( )
A. E(X)=2B. E(X)=32C. D(X)=32D. D(X)=2
10.下列说法正确的是( )
A. 相关系数r越大，两个变量之间的线性相关性越强
B. 相关系数r与回归系数b 同号
C. 当P(B)>0时，P(A|B)=P(A)是A与B独立的充要条件
D. 正态曲线越“胖”，方差越小
11.若a=C3n38−n+C21+n3n，下列结论正确的是( )
A. n=10B. n=11C. a=466D. a=233
12.已知(1−2x)7=a0+a1x+a2x2+...+a7x7，则下列结论正确的是( )
A. a0=1B. a0+a2+a4+a6=37−12
C. a12+a222+...+a626+a727=0D. a1+2a2+3a3+...+7a7=−14
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知关于x，y的一组数据：
根据表中这五组数据得到的线性回归直线方程为y =0.28x+0.16，则n−0.28m的值为______.
14.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有______种(用数字作答).
15.抛掷3个骰子，事件A为“三个骰子向上的点数互不相同”，事件B为“其中恰好有一个骰子向上的点数为2”，则P(A|B)=______.
16.设(2x−1)6=a6x6+a5x5+⋯+a1x+a0，则a1+a3+a5=______.(用数字作答)
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=x3−3x+2.
(1)求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；
(2)求f(x)在区间[−2,0]上的最值.
18.(本小题12分)
计算：
(1)求C33+C43+⋯+C103的值；
(2)若An7−An5An5=89，求n的值.
19.(本小题12分)
已知(1+2x)n=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn，其中a1=18.
(1)求实数n的值；
(2)求a1+a2+⋯+an的值.
20.(本小题12分)
从某大学中随机选取7名女大学生，其身高x(单位：cm)和体重y(单位：kg)数据如下表：
(1)求y关于x的回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，分析这7名女大学生的身高和体重的变化，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重.
参考公式：b =i=1nxiyi−nx−⋅y−i=1nxi2−nx−2=i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2，a =y−−b x−.
21.(本小题12分)
一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单．
(1)2个相声节目要排在一起，有多少种排法？
(2)第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？
(3)前3个节目中要有相声节目，有多少种排法？
22.(本小题12分)
已知函数f(x)是定义在[−3,3]上的奇函数，当0(1)求当−3≤x<0时，函数f(x)的解析式；
(2)若f(a+1)+f(2a−1)>0，求实数a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：线性相关系数|r|越接近1，两个变量的线性相关性越强，∴A、B错误；
残差平方和越小的模型，模型拟合的效果就越好，C正确；
相关指数R2来刻画回归效果，R2越大，说明模型的拟合效果就越好，∴D错误．
故选：C.
根据线性相关系数|r|越接近1，两个变量的线性相关性越强；
残差平方和越小的模型，模型拟合的效果就越好；
相关指数R2来刻画回归效果，R2越大，模型的拟合效果就越好；
由此判断正误即可．
本题考查了线性相关系数、残差平方和以及相关指数的应用问题，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：已知C8m=C82m−1，则m=2m−1或m+2m−1=8，
解得m=1或m=3，
m=1时，C81=C81，满足题意，
m=3时，C83=C85，满足题意，
∴m=1或3.
故选：C.
利用组合数公式的性质列方程求解即可．
本题考查了组合数公式的应用问题，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：利用分步计数原理，第一步先插入第一个节目，有4种方法，第二步插入第二个节目，此时有5个空，故有5种方法．因此不同的插法共有20种．
故选：B.
把两个新节目分步依次插入找出每步的插法，相乘即可．
考查分步计数原理，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：(x−2x)5的展开式的通项公式Tr+1=C5rx5−r(−2x)r=(−2)r⋅C5r⋅x5−2r,r=0,1,2,3,4,5，
令5−2r=−1，解得r=3，
可得T4=(−2)3×C53⋅x−1=−80x−1，即x−1的系数为−80.
故选：D.
根据二项展开式的通项公式分析运算即可．
本题考查二项式定理相关知识，属于简单题．
5.【答案】A
【解析】解：设A1=“玩手机时间超过1h的学生”A2=“玩手机时间不超过1h的学生”，
B=“任意调查一人，此人患近视”，
则Ω=A1∪A2，且A1，A2互斥，
P(A1)=0.2，P(A2)=0.8，P(B|A1)=0.4，P(B)=0.32，
由P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)，
得0.2×0.4+0.8×P(B|A2)=0.32，解得P(B|A2)=0.3.
故选：A.
根据给定信息，结合全概率公式列式求解作答．
本题主要考查全概率公式，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：由离散型随机变量X的分布列得：
0.2+0.1+0.1+0.3+m=1，
解得m=0.3，
∵随机变量Y=X−2，∴P(Y=2)=P(X=4)=0.3.
故选：A.
由离散型随机变量X的分布列列方程求出m=0.3，再由随机变量Y=X−2，得P(Y=2)=P(X=4)，由此能求出结果．
本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
利用二项展开式的通项，根据常数项为32，求n.
【解答】
解：(2−x)n(n∈N*)的展开式通项为Tk+1=Cnk⋅2n−k⋅(−x)k.
故常数项为T1=Cn0⋅2n=32，得n=5.
故选：A.
8.【答案】B
【解析】解：设A1=“从甲袋放入乙袋的是白球”，A2=“从甲袋放入乙袋的是红球”，B=“从乙袋中任取一球是红球”，
则P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)=24×23+34×13=712.
故选：B.
利用条件概率及古典概率的计算公式，结合全概率公式即可求解．
本题考查全概率公式相关知识，属于基础题．
9.【答案】AC
【解析】解：因为X∼B(8,14)，所以E(X)=8×14=2,D(X)=8×14×(1−14)=32.
故选：AC.
根据二项分布的期望、方差公式计算可得．
本题考查了二项分布的期望、方差公式，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：相关系数r∈[−1,1]，相关系数|r|越大，两个变量之间的线性相关性越强，A错误；
相关系数r为正时，则两个变量为正相关，故回归系数b 为正，相关系数r为负时，则两个变量为负相关，故回归系数b 为负，
故相关系数r与回归系数b 同号，B正确；
当P(B)>0时，P(A|B)=P(A)，因为P(A|B)=P(AB)P(B)，所以P(A)=P(AB)P(B)，
即P(AB)=P(A)P(B)，故A与B独立，
若A与B独立，则P(AB)=P(A)P(B)，
因为P(B)>0，所以P(A|B)=P(AB)P(B)=P(A)P(B)P(B)=P(A)，
所以当P(B)>0时，P(A|B)=P(A)是A与B独立的充要条件，C正确；
正态曲线越“胖”，说明随机变量的取值越分散，故方差越大，D错误．
故选：BC.
A选项，结合相关系数的意义作出判断，A错误；B选项，分r为正和r为负两种情况进行说明；C选项，从条件概率公式和独立事件的定义进行分析即可；D选项，从正态曲线的性质得到方差越大．
本题主要考查命题真假的判断，涉及相关系数，条件概率与独立事件，正态分布曲线的特点，属于中档题．
11.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查组合数公式的应用，关键是求出n的值，属于基础题．
根据题意，由组合数的定义可得38−n≥03n≥38−n3n≥021+n≥3n，解可得n的范围，即可得n的值，代入组合数公式计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，a=C3n38−n+C21+n3n，
则有38−n≥03n≥38−n3n≥021+n≥3n，解可得384≤n≤212，则n=10，
则a=C3028+C3130=C302+C311=466，
故选：AC.
12.【答案】ABD
【解析】解：对于A，令x=0，得a0=1，故A正确；
对于B，令x=1，得a0+a1+a2+⋅⋅⋅+a7=−1；
令x=−1，得a0−a1+a2−⋅⋅⋅−a7=37，
两式相加，得2(a0+a2+⋅⋅⋅+a6)=37−1，
∴a0+a2+⋅⋅⋅+a6=37−12，故B正确；
对于C，令x=12，得a0+a12+a222+⋅⋅⋅+a727=0，
又∵a0=1，∴a12+a222+⋯⋯+a727=−1，故C错误；
对于D，对(1−2x)7=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a7x7，
两边同时求导数，得7(1−2x)6×(−2)=a1+2a2x+3a3x2+⋅⋅⋅+7a7x6，
即a1+2a2x+3a3x2+⋅⋅⋅+7a7x6=−14(1−2x)6，
令x=1，得a1+2a2+⋅⋅⋅+7a7=−14，故D正确，
故选：ABD.
令x=0，可判断A，分别令x=1和x=−1，可判断B，令x=12，可判断C，对已知等式两边分别平方可判断D.
本题主要考查了二项式系数的性质，考查了赋值法的应用，属于基础题．
13.【答案】0.44
【解析】解：根据表格中的数据可得，x−=1+m+3+4+55=13+m5，
y−=0.5+0.6+n+1.4+1.55=4+n5，
∵线性回归直线方程为y =0.28x+0.16，
∴4+n5=0.28×13+m5+0.16，解得n−0.28m=0.44.
故答案为：0.44.
先求出变量x与y的均值，再结合线性回归方程过样本中心，即可求解．
本题主要考查了线性回归方程的性质，以及平均值的求解，属于基础题．
14.【答案】64
【解析】解：若选2门，则只能各选1门，有C41C41=16种，
如选3门，则分体育类选修课选2，艺术类选修课选1，或体育类选修课选1，艺术类选修课选2，
则有C41C42+C42C41=24+24=48，
综上共有16+48=64种不同的方案．
故答案为：64.
利用分类计数原理进行计算即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用分类计数原理进行计算是解决本题的关键，是基础题．
15.【答案】45
【解析】解：根据题意，抛掷3个骰子，有6×6×6=216个基本事件，
事件B为“其中恰好有一个骰子向上的点数为2”，有C31×5×5=75个基本事件，则P(B)=3×5×56×6×6=2572，
事件AB，即三个骰子向上的点数互不相同且其中恰好有一个骰子向上的点数为2，有C31×5×4=60个基本事件，则P(AB)=3×5×46×6×6=1036，
则P(A|B)=P(AB)P(B)=45；
故答案为：45.
根据题意，由古典概型公式计算P(B)和P(AB)，据此由条件概率公式计算可得答案．
本题考查条件概率的计算，注意条件概率的计算公式，属于基础题．
16.【答案】−364
【解析】解：因为(2x−1)6=a6x6+a5x5+⋯+a1x+a0，
令x=1，则1=a0+a1+⋯+a5+a6①，
令x=−1，则729=a0−a1+⋯+a4−a5+a6②，
∴①-②得2(a1+a3+a5)=−728，
所以a1+a3+a5=−364.
故答案为：−364.
利用赋值法计算可得．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
17.【答案】解：(Ⅰ)对函数f(x)求导，f′(x)=3x2−3，
∴f′(2)=9，f(2)=4，
∴所求得的切线方程为y−4=9(x−2)，即y=9x−14；
(Ⅱ)由(Ⅰ)有f′(x)=3x2−3，
令f′(x)>0，解得：x<−1或者x>1，
故函数f(x)在[−2,−1]递增，在(−1,0]递减，
故函数f(x)在x=−1取最大值f(−1)=4，
∵f(−2)=0，f(0)=2，
故函数在[−2,0]的最大值为4，最小值为0.
【解析】(Ⅰ)直接求导找出切点处斜率，再将x=2代入原函数得到纵坐标从而得到切线；
(Ⅱ)令其导函数大于0，判断函数在[−2,0]的单调性从而确定最值．
本题主要考查导函数中切线问题及封闭区间的最值问题分析．属于基础题．
18.【答案】解：(1)C33+C43+⋯+C103=C44+C43+⋯+C103=C54+C53+⋯+C103=C114=11×10×9×84×3×2×1=330.
(2)An7−An5An5=[(n−5)(n−6)−1]An5An5=89，(n−5)(n−6)=90，解正整数n=15.
故正整数n的值为15.
【解析】(1)由组合数性质求解即可；
(2)由An7−An5An5=[(n−5)(n−6)−1]An5An5=89，化简解方程即可得出答案．
本题主要考查排列数与组合数的公式，是基础题．
19.【答案】解：(1)二项式(1+2x)n的展开式的通项公式为Tr+1=Cnr(2x)r=2rCnrxr，
又a1=18，令r=1，
则a1=2Cn1=18，解得：n=9，
所以n的值为9.
(2)由(1)得：(1+2x)9=a0+a1x+a2x2+⋯+a9x9，
令x=1得：a0+a1+a2+⋯+a9=(1+2×1)9=39=19683，
令x=0得：a0=(1−2×0)9=1，
则a1+a2+⋯+a9=19683−1=19682.
【解析】(1)利用二项式展开式的通项公式即可求解；
(2)利用赋值法，令x=1求得所有项的系数和，再令x=0得到a0，即可得出答案．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
20.【答案】解：(1)∵x−=163+164+165+166+167+168+1697=166，y−=52+52+53+55+54+56+567=54，
∴b=6+4+1+0+0+4+6(9+4+1)×2=34，
∴a=54−34×166=−70.5，
∴y=34x−70.5；
(2)∵b>0，
∴这7名女大学生的身高和体重的变化具有正的线性相关关系，
x=172时，y=34×172−70.5=58.5(kg).
【解析】(1)计算平均数，求出b，a，即可求出回归方程；
(2)b>0，可得这7名女大学生的身高和体重的变化具有正的线性相关关系，代入公式，预报一名身高为172cm的女大学生的体重．
本题考查回归方程，考查学生的计算能力，正确求出回归方程是关键．
21.【答案】解：(1)2个相声节目要排在一起，则有A44A22=48种排法；
(2)选2个唱歌节目排在首尾，剩下的3个节目在中间排列，则有A32A33=36种排法；
(3)5个节目全排列减去后两个都是相声的排法，共有A55−A33A22=120−12=108种排法．
【解析】(1)相邻问题利用捆绑法进行求解．
(2)特殊位置问题优先排列进行求解．
(3)利用排除法进行求解即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用相邻问题捆绑法，特殊位置问题优先排列，以及排除法进行计算是解决本题的关键，是基础题．
22.【答案】解：(1)因为函数f(x)是定义在[−3,3]上的奇函数，当0当−3≤x<0时，0<−x≤3，
则f(−x)=12x2−x=−f(x)，
所以f(x)=−12x2+x；
(2)因为0根据奇函数的对称性可知，f(x)在[−3,3]上单调递增
若f(a+1)+f(2a−1)>0，则f(a+1)>−f(2a−1)=f(1−2a)，
则−3≤a+1≤3−3≤1−2a≤3a+1>1−2a，解得0故a的取值范围为(0,2].
【解析】(1)由已知区间上函数解析式，结合奇函数定义即可求；
(2)结合奇函数性质先判断函数在[−3,3]上的单调性，结合单调性即可求解．
本题主要考查了函数的奇偶性在函数解析式求解中的应用，还考查了函数的奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
x
1
m
3
4
5
y
0.5
0.6
n
1.4
1.5
编号
1
2
3
4
5
6
7
身高x
163
164
165
166
167
168
169
体重y
52
52
53
55
54
56
56