2022-2023学年河北省唐山市乐亭高平中学高二(下)期末数学试卷(含详细答案解析)
展开1.若( x+a)5的展开式中x2的系数为10,则x的系数是( )
A. 60B. 70C. 80D. 90
2.从4名男生和2名女生中选2人参加会议,至少有一名男生,不同的安排方法有种.( )
A. 13B. 14C. 15D. 16
3.直线x− 3y− 3=0的倾斜角是( )
A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘
4.投掷一枚质地均匀的骰子两次,记A={两次的点数均为奇数},B={两次的点数之和为6},则P(B|A)=( )
A. 112B. 13C. 29D. 23
5.如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+……+a7等于( )
A. 14B. 21C. 28D. 35
6.设双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2 3,则双曲线的渐近线方程为( )
A. y=± 2xB. y=±2xC. y=± 22xD. y=±12x
7.已知随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2),若P(ξ>2)=0.023,则P(−2≤ξ≤2)=( )
A. 0.477B. 0.954C. 0.628D. 0.977
8.曲线y=lnx上的点到直线y=x+2的最短距离是( )
A. 2B. 3 22C. 22D. 1
二、多选题:本题共4小题,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.(x+2x)6的展开式中,下列结论正确的是( )
A. 展开式共6项B. 常数项为64
C. 所有项的系数之和为729D. 所有项的二项式系数之和为64
10.圆C:(x−2)2+y2=1,点P(m,n)为圆C上的动点,则下列结论正确的是( )
A. nm的最大值为 33B. m2+n2的最大值为3
C. m2+n2的最大值为9D. nm无最大值
11.关于双曲线x2−y22=1有下列四个说法,正确的是( )
A. P为双曲线上一点,F1,F2分别为左、右焦点,若|PF1|=2|PF2|,此时∠F1PF2=π3
B. 与椭圆x24+y2=1有相同的焦点
C. 与双曲线y22−x2=4有相同的渐近线
D. 过右焦点的弦长最小值为4
12.已知数列{an}为等差数列,若a9a8<−1,且数列{an}的前n项和Sn有最大值,则下列结论正确的是( )
A. {an}中的最大值为a8B. Sn的最大值为S8
C. S17>0D. S16<0
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.在等比数列{an}中,a1=1,a5=4,则a3=______.
14.点A是圆x2+y2=4上的一个动点,点B(0,4),当点A在圆上运动时,线段AB的中点P的轨迹方程为______.
15.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两顶点为A(a,0),B(0,b),左焦点为F,在△FAB中,∠B=90∘,则椭圆的离心率为______.
16.等差数列{an}的前n项和为Sn,若S8=9,S5=6,则S13=______.
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
an=2n+1+2n,求该数列的前n项和.
18.(本小题12分)
已知y=x2−3lnx.
(1)求该曲线在x=1处的切线方程;
(2)求该函数的单调减区间.
19.(本小题12分)
新疆农科所在土壤环境不同的A、B两块实验地分别种植某品种的棉花,为了评价该品种的棉花质量,在棉花成熟后,分别从A、B两地的棉花中各随机抽取40根棉花纤维进行统计,结果如表:(记纤维长度不低于300mm的为长纤维,其余为短纤维).
由以上统计数据,填写下面2×2列联表,并依据α=0.01的独立性检验,分析纤维长度与土壤环境是否有关.
单位:根
附:x2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).
20.(本小题12分)
假设关于某设备的使用年限x(单位:年)和所支出的维修费用y(单位:万元)的有关统计资料如表所示:
(1)求线性回归方程y =b x+a ;
(2)估计当使用年限为10年时,维修费用是多少?
b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)=i=1nxiyi−nxy−i=1nxi2−nx−2.
21.(本小题12分)
某种植户对一块地上的n(n∈N*)个坑进行播种,每个坑播3粒种子,每粒种子发芽的概率均为12,且每粒种子是否发芽相互独立.如果每个坑内至少有两粒种子发芽,则不需要进行补种,否则需要补种.
(1)求每个坑不需要补种的概率;
(2)当n=4时,用X表示要补种的坑的个数,求X的分布列和期望.
22.(本小题12分)
设点M和N分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上不同的两点,线段MN最长为4,椭圆的离心率e= 32.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若直线MN过点Q(0,2),且OM⋅ON>0,线段MN的中点为P,求直线OP的斜率的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解:( x+a)5的展开式的通项为Tr+1=C5rx5−r2⋅ar,
令5−r2=2,可得r=1,
所以展开式中x2的系数为C51⋅a=10,解得a=2,
令5−r2=1,可得r=3,
所以x的系数为C53a3=10×8=80.
故选:C.
求出展开式的通项,令x的指数为2,求出r的值,从而可得关于a的方程,求出a的值,进而可得x的系数.
本题主要考查二项式定理,考查运算求解能力,属于基础题.
2.【答案】B
【解析】解:根据题意,从4名男生和2名女生中选2人参加会议,有C62=15种选法,
其中没有男生,即全部为女生的选法有C22=1种,
则至少有一名男生的选法有15−1=14种.
故选:B.
根据题意,用间接法分析:先计算全部的选法,排除其中“没有女生,即全部为男生”的选法,分析可得答案.
本题考查排列组合的应用,注意用间接法分析,属于基础题.
3.【答案】A
【解析】解:直线x− 3y− 3=0的斜率为: 33
倾斜角是α,则tanα= 33,
可得α=30∘.
故选:A.
求出直线的斜率,然后求解倾斜角.
本题考查直线的斜率与直线的倾斜角的关系,考查计算能力.
4.【答案】B
【解析】解:由题意可得,n(A)=3×3=9,n(AB)=3,
所以P(B|A)=n(AB)n(A)=39=13.
故选:B.
根据已知条件,结合条件概率公式,即可求解.
本题主要考查条件概率公式,需要学生熟练掌握公式,属于基础题.
5.【答案】C
【解析】解:由等差数列的性质得,3a4=a3+a4+a5=12,解得a4=4,
所以a1+a2+…a7=7a4=28.
故选:C.
由等差数列的性质和题意求出a4的值,再由等差数列的性质化简所求的式子,把a4代入求值即可.
本题考查了等差数列的性质灵活应用,属于基础题.
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了双曲线的几何性质,属于简单题.
由题意知b=1,c= 3,a= c2−b2= 2,因为双曲线的焦点在x轴上,由此可知渐近线方程为y=±bax=± 22x.
【解答】
解:由已知得到b=1,c= 3,a= c2−b2= 2,
因为双曲线的焦点在x轴上,
故渐近线方程为y=±bax=± 22x;
故选:C.
7.【答案】B
【解析】解:由随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2)可知正态密度曲线关于y轴对称,
而P(ξ>2)=0.023,则P(ξ<−2)=0.023,
故P(−2≤ξ≤2)=1−P(ξ>2)−p(ξ<−2)=0.954.
故选:B.
根据已知条件,结合正态分布的对称性,即可求解.
本题主要考查正态分布的概率求法,属于基础题.
8.【答案】B
【解析】【分析】
利用切线法,即先求出与直线y=x+2平行的切线,则切点到直线y=x+2的距离即为所求.
本题考查导数几何意义的应用.同时考查了学生利用转化思想解决问题的意义.属于基础题.
【解答】
解:设(m,lnm)处的切线与y=x+2平行.
因为y′=1x,故1m=1,所以m=1.
所以切点为(1,0).
所以最小距离为d=|1−0+2| 2=3 22.
故选:B.
9.【答案】CD
【解析】解:选项A:因为n=6,所以展开式共有7项,故A错误,
选项B:展开式的常数项为C63x3(2x)3=20×8=160,故B错误,
选项C:令x=1,则所有项的系数和为(1+2)6=729,故C正确,
选项D:所有项的二项式系数和为26=64,故D正确,
故选:CD.
选项A:根据二项式定理的性质即可判断,选项B:求出展开式的常数项即可判断,选项C:令x=1即可判断,选项D:根据二项式系数和公式即可判断.
本题考查了二项式定理的应用,考查了学生的运算能力,属于基础题.
10.【答案】AC
【解析】解:圆C:(x−2)2+y2=1的圆心为C(2,0),半径为r=1,
设k=nm,则n=mk,即mk−n=0,因P在圆上,
所以|2k| 1+k2≤1,解得− 33≤k≤ 33,nm的取值范围是:[− 33, 33],故A正确,D错误;
因为m2+n2的几何意义为P点到原点距离的平方,
又P到原点的距离的取值范围为[1,3],
所以m2+n2的取值范置为[1,9],故m2+n2的最大值为9,故B错误,C正确.
故选:AC.
设k=nm,则km−n=0,利用直线与圆有公共点可求出k的最值,求得P到原点的距离,可求m2+n2的最大值.
直本题考查直线圆的位置关系的应用,考查两点间的距离,属中档题.
11.【答案】ABC
【解析】解:对于选项A,P为双曲线上一点,F1,F2分别为左、右焦点,|PF1|=2|PF2|,
又||PF1|−|PF2||=2,
则|PF1|=4,|PF2|=2,
又|F1F2|=2 1+2=2 3,
则△PF1F2为直角三角形,
则cs∠F1PF2=|PF2||PF1|=24=12,
即∠F1PF2=π3,
故选项A正确;
对于选项B,双曲线x2−y22=1的焦点坐标为(± 3,0),
椭圆x24+y2=1的焦点坐标为(± 3,0),
即选项B正确;
对于选项C,双曲线x2−y22=1的渐近线方程为y=± 2x,
双曲线y22−x2=4的渐近线方程为y=± 2x,
即选项C正确;
对于选项D,当过右焦点的直线与双曲线交于同支时,其弦长最小值为2×21=4,
当过右焦点的直线与双曲线交于不同两支时,其弦长最小值为2,
又2<4,
即过右焦点的弦长最小值为2,
即选项D错误.
故选:ABC.
由椭圆的性质,结合双曲线的性质逐一判断即可.
本题考查了椭圆的性质,重点考查了双曲线的性质,属中档题.
12.【答案】BD
【解析】解:因为数列{an}的前n项和Sn有最大值且a9a8<−1,
所以a9+a8a8<0,
所以a8>0,a8+a9<0,d<0,{an}中的最大值a1,A错误;
Sn的最大值为S8,B正确;
S17=17(a1+a17)2=17a9<0,C错误;
S16=8(a1+a16)=8(a8+a9)<0,D正确.
故选:BD.
由已知结合等差数列的性质分析a8,a9的符号,然后结合等差数列的性质及求和公式检验各选项即可判断.
本题主要考查了等差数列的求和公式及性质的应用,属于中档题.
13.【答案】2
【解析】解:∵等比数列{an}中,a1=1,a5=4,
∴a32=a1⋅a5=4,
∴a3=2或a3=−2(舍去);
故答案为:2.
由题意知a32=a1⋅a5=4,从而求得.
本题考查了等比数列的性质的判断与应用.
14.【答案】x2+(y−2)2=1
【解析】解:设A(x0,y0),P(x,y),
则x=x02,y=y0+42,
所以x0=2x,y0=2y−4,
又点A在圆x2+y2=4上,
则(2x)2+(2y−4)2=4,即x2+(y−2)2=1,
所以线段AB的中点P的轨迹方程为x2+(y−2)2=1.
故答案为:x2+(y−2)2=1.
设A(x0,y0),P(x,y),利用中点坐标公式可用x,y表示出x0,y0,再根据点A在圆x2+y2=4上,即可得到答案.
本题考查动点轨迹方程的求法,考查运算求解能力,属于基础题.
15.【答案】 5−12
【解析】解:依题意可知点F(−c,0),
直线AB斜率为:−ba,直线BF的斜率为:bc,
∵∠FBA=90∘,
∴(−ba)⋅bc=−1,
整理得c2+ac−a2=0,
即e2+e−1=0,
解得e= 5−12或− 5+12,
∵0
故答案为: 5−12.
先求出F的坐标,求出直线AB和BF的斜率,两直线垂直可知两斜率相乘得−1,进而求得a和c的关系式,进而求得e.
本题主要考查了椭圆的性质,要注意椭圆的离心率小于1.属基础题.
16.【答案】13
【解析】解:等差数列{an}的前n项和为Sn,S8=9,S5=6,
∴S8−S5=3a7=3,
∴a7=1,
则S13=132(a1+a13)=13a7=13.
故答案为:13.
利用等差数列求和公式列方程组,求出首项和公差,由此能求出结果.
本题考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
17.【答案】解:该数列的前n项和为a1+a2+a3+…+an=(3+21)+(5+22)+(7+23)+…+(2n+1+2n)
=(3+5+7+…+2n+1)+(21+22+23+…+2n)
=(3+2n+1)n2+2(1−2n)1−2=(n2+2n−2)+2n+1.
【解析】采用分组求和法,结合等差、等比数列的前n项和公式,即可得解.
本题考查数列求和,熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式是解题的关键,考查逻辑推理能力和运算能力,属于基础题.
18.【答案】解:(1)由题意得y′=2x−3x=2x2−3x,
∴y′|x=1=−1,
当x=1时,y=1,
∴曲线在x=1处的切线方程为y−1=−(x−1),即x+y−2=0;
(2)由题意得函数定义域为(0,+∞),y′=2x2−3x,
由y′<0得0
【解析】(1)由题意得y′=2x2−3x,可得y′|x=1=−1,当x=1时,y=1,利用点斜式,即可得出答案;
(2)由题意得函数定义域为(0,+∞),y′=2x2−3x,求出y′<0的解集,即可得出答案.
本题考查利用导数研究函数的单调性和导数的几何意义,考查转化思想,考查逻辑推理能力和运算能力,属于中档题.
19.【答案】解:根据已知数据得到2×2列联表如下:
所以X2=80×(25×5−15×35)240×40×60×20≈6.667,
因为6.667>6.635,
所以依据α=0.01的独立性检验,可以认为纤维长度与土壤环境有关.
【解析】根据题中数据填写2×2列联表,计算X2的值,再与临界值比较即可得出结论.
本题主要考查了独立性检验的应用,属于基础题.
20.【答案】解:(1)x−=2+3+4+5+65=4,y−=2.2+3.8+5.5+6.5+75=5,
i=15xiyi=2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7=112.3,i−15xi2=90,
∴b =112.3−5×4×590−5×16=1.23,a =5−1.23×4=0.08.
∴线性回归方程为y =1.23x+0.08;
(2)在(1)中求得的线性回归方程中,取x=10,可得y =1.23×10+0.08=12.38.
即估计当使用年限为10年时,维修费用是12.38万元.
【解析】(1)由已知直接利用最小二乘法求解;
(2)在(1)中求得的线性回归方程中,取x=10求解y值即可.
本题考查线性回归方程,考查运算求解能力,是基础题.
21.【答案】解:(1)由题意可知每个坑要补种的概率P=C30×(12)3+C31×12×(12)2=12,
则每个坑不需要补种的概率为1−12=12.
(2)易知X的取值范围为{0,1,2,3,4},且X∼B(4,12),
因此P(X=0)=C40(12)0(12)4=116,
P(X=1)=C41(12)1(12)3=14,
P(X=2)=C42(12)2(12)2=38,
P(X=3)=C43(12)3(12)1=14,
P(X=4)=C44(12)4=116,
所以X的分布列为:
【解析】(1)由题意可知每个坑要补种的概率,进而求每个坑不需要补种的概率即可;
(2)由题意知X的取值范围为{0,1,2,3,4},且X∼B(4,12),再利用二项分布的概率公式可求出各自对应的概率,从而可得分布列.
本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望,属于中档题.
22.【答案】解:(1)由题意可得:2a=4,e= 32=ca,a2=b2+c2,
解得a=2,c= 3,b=1.
∴椭圆C的标准方程为x24+y2=1;
(2)直线MN为y轴时不符合题意.
设直线MN的方程为y=kx+2,M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点为P(x0,y0),
联立y=kx+2x2+4y2=4,
化为:(1+4k2)x2+16kx+12=0,
Δ=256k2−48(1+4k2)>0,化为:k2>34,
解得k> 32,或k<− 32.
x1+x2=−16k1+4k2,x1x2=121+4k2,x0=x1+x22=−8k1+4k2,
∵OM⋅ON>0,
∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=(1+k2)×121+4k2+2k×−16k1+4k2+4>0,
化为:k2<4,
解得:−2
【解析】(1)由题意可得:2a=4,e= 32=ca,a2=b2+c2,解得a,c,b,即可得出椭圆C的标准方程.
(2)直线MN为y轴时不符合题意.设直线MN的方程为y=kx+2,M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点为P(x0,y0),联立直线与椭圆方程化为:(1+4k2)x2+16kx+12=0,Δ>0,解得k范围.利用根与系数的关系、数量积运算性质、不等式的性质即可得出直线OP的斜率的取值范围.
本题考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆相交问题、数量积运算性质、一元二次方程的根与系数的关系、不等式的基本性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.纤维长度
(0,100)
[100,200)
[200,300)
[300,400)
[400,500]
A地(根数)
4
9
2
17
8
B地(根数)
2
1
2
20
15
A地
B地
总计
长纤维
短纤维
总计
使用年限x/年
2
3
4
5
6
维修费用y/万元
2.2
3.8
5.5
6.5
7
A地
B地
总计
长纤维
25
35
60
短纤维
15
5
20
总计
40
40
80
X
0
1
2
3
4
P
116
14
38
14
116
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