2022-2023学年上海市黄浦区高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2022-2023学年上海市黄浦区高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.圆O1:x2+y2−4x−6y+12=0与圆O2:x2+y2−8x−6y+16=0的位置关系是( )
A. 相交B. 外离C. 内含D. 内切
2.若{an}是等差数列，则由下列关系确定的数列{bn}也一定是等差数列的是( )
A. bn=an2B. bn=an+n2C. bn=an+an+1D. bn=nan
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2=10，S3=18，则过点P(n,an)和Q(n+2,an+2)(n∈N,n≥1)的直线的斜率是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
4.若函数f(x)=x−13sin2x+asinx在(−∞,+∞)单调递增，则a的取值范围是( )
A. [-1,1]B. [-1,13]C. [-13,13]D. [-1,-13]
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.直线x−6=0与直线x−y+3=0的夹角为______.
6.两直线ax+y−1=0与4x+ay−2=0平行，则a的值是______.
7.双曲线C:x2a2−y2b2=1过点( 2, 3)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为______.
8.双曲线C:x22−y24=1的右焦点F到其一条渐近线的距离为______.
9.设直线y=ax+3与圆x2+y2=4相交所得弦长为2 3，则a=______.
10.已知F1，F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|⋅|MF2|的最大值为______.
11.已知无穷数列{an}满足an+1=12an(n为正整数)，且a1=2，则i=1+∞ai=______.
12.在正项等比数列{an}中，a52+2a6a8+a92=100，则a5+a9=______.
13.《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，该书中提到：从冬至之日起，小寒、寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长次成等差数列，若立春的日影子长是12.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子为______尺.
14.已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+2(n∈N*)，则an=______.
15.已知在区间(0,1)上f′(x)>1.在下面所示的图象中，可能表示函数y=f(x)的图象的有______(填写所有可能的选项).
16.设a为实数，函数f(x)=x3+ax2+(a−3)x的导函数为f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线：y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为______.
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知数列{an}的前n项和为Sn=33n−n2.
(Ⅰ)求证：数列{an}是等差数列；
(Ⅱ)求Sn的最大值及取得最大值时n的值．
18.(本小题10分)
已知函数f(x)=excsx−2x.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值.
19.(本小题10分)
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px(p>0)上一点P的横坐标为4，且点P到F的距离为5.
(1)求抛物线的方程；
(2)若斜率为1的直线l交抛物线于A、B两点(位于对称轴异侧)，且OA⋅OB=94，求直线l的方程.
20.(本小题12分)
椭圆C的方程为x2+3y2=4，A、B为椭圆的左右顶点，F1、F2为左右焦点，P为椭圆上的动点.
(1)求椭圆的离心率；
(2)若△PF1F2为直角三角形，求△PF1F2的面积；
(3)若Q、R为椭圆上异于P的点，直线PQ、PR均与圆x2+y2=r2(021.(本小题12分)
设函数y=f(x)是定义在[0,1]上的函数，若存在x0∈(0,1)，使得f(x)在[0,x0]上是严格增函数，在[x0,1]上是严格减函数，则称f(x)为[0,1]上的单峰函数，x0称为峰点，[0,1]称为含峰区间.
(1)判断下列函数中，哪些是“[0,1]上的单峰函数”？若是，指出峰点；若不是，说出原因：f1(x)=2x−x2，f2(x)=1−|4x−1|；
(2)若函数f(x)=2a(x+2)3−x−1是区间[0,1]上的单峰函数，求实数a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：圆O1:x2+y2−4x−6y+12=0的标准方程为(x−2)2+(y−3)2=1，圆心O1(2,3)，半径r=1，
圆O2:x2+y2−8x−6y+16=0的标准方程为(x−4)2+(y−3)2=9，圆心O2(4,3)，半径R=3，
两圆心之间的距离|O1O2|=4−2=2=R−r，
∴两圆内切．
故选：D.
将圆的一般方程转化为标准方程，根据两圆圆心之间的距离和半径之间的关系进行判断．
本题主要考查圆与圆的位置关系的判断，利用圆心距离和半径之间的关系是解决圆与圆位置关系的主要依据．
2.【答案】C
【解析】解：∵{an}是等差数列，
∴an−an−1=d，
当an=n时，bn=an2=n2，数列{bn}不是等差数列，
bn=an+n2=n+n2，数列{bn}不是等差数列，
bn−bn−1=an+an+1−(an−1+an)=2d，故数列{bn}也一定是等差数列，
bn=nan=n2，数列{bn}不是等差数列．
故选：C.
取an=n，可判定选项A、B、D的真假，然后利用等差数列的定义判定选项C即可．
本题主要考查了等差数列的判定，以及利用列举法判定真假，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，
则a1+a2=103a2=18，即a1=4，a2=6，
故d=a2−a1=2，
an=a1+(n−1)×2=2n+2，
an+2=2n+6，
故过点P(n,an)和Q(n+2,an+2)(n∈N,n≥1)的直线的斜率是an+2−ann+2−n=42=2.
故选：B.
先求出公差，再结合直线斜率公式，即可求解．
本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立问题，属于中档题.求出f(x)的导数，由题意可得f′(x)≥0恒成立，设t=csx(−1≤t≤1)，则5−4t2+3at≥0，对t讨论，分t=0，0【解答】
解：函数f(x)=x−13sin2x+asinx的导数为：f′(x)=1−23cs2x+acsx，
由题意可得f′(x)≥0恒成立，即1−23cs2x+acsx≥0，
即53−43cs2x+acsx≥0，
设t=csx(−1≤t≤1)，则5−4t2+3at≥0，
当t=0时，不等式显然成立;
当0由g(t)=4t−gt=4t−5t在(0,1]单调递增，可得t=1时，取得最大值−1，
可得3a≥−1，即a≥−13;
当−1≤t<0时，3a≤4t−5t，
由gt=4t−5t在[−1,0)单调递增，可得t=−1时，取得最小值1，
可得3a≤1，即a≤13.
综上可得a的范围是[−13,13].
另解：设t=csx(−1≤t≤1)，即5−4t2+3at≥0，
由题意可得5−4+3a≥0，且5−4−3a≥0，
解得a的范围是[−13,13].
故答案选：C.
5.【答案】45∘
【解析】解：由于直线x−6=0的斜率不存在，它的倾斜角为90∘，
而直线x−y+3=0的斜率为1，倾斜角为45∘，
故这两条直线的夹角为45∘.
故答案为：45∘.
由题意，根据直线的斜率求出倾斜角，再根据两直线的夹角的定义，得出结论．
本题主要考查直线的斜率和倾斜角，两直线的夹角，属于基础题．
6.【答案】2
【解析】解：当a=0时，不符合题意，
当a≠0时，两直线ax+y−1=0与4x+ay−2=0平行，
则a4=1a≠1−2，解得a=2.
故答案为：2.
根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解．
本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
7.【答案】x2−y23=1
【解析】解：因为双曲线离心率为2，所以c=2a，
所以c2=4a2=a2+b2，即b2=3a2，
点( 2, 3)代入双曲线方程得：2a2−33a2=1，
解得a2=1，b2=3，
所以双曲线的标准方程为C:x2−y23=1.
故答案为：x2−y23=1.
根据离心率得出a，b的关系，代入点( 2, 3)求解即可．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
8.【答案】2
【解析】解：∵双曲线方程为x22−y24=1，
∴双曲线的右焦点F坐标为( 6,0)，
渐近线为y=± 2x，即 2x±y=0，
可得焦点F到其渐近线的距离为d= 12 2+1=2.
故答案为：2.
由双曲线方程，算出右焦点F为( 6,0)，渐近线为y=± 2x.由点到直线的距离公式加以计算，结合双曲线基本量的关系化简，即可求出焦点F到其渐近线的距离．
本题给出双曲线方程，求它的焦点F到渐近线的距离．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．
9.【答案】± 2
【解析】解：圆x2+y2=4，
则圆心为O(0,0)，半径r=2，
∵直线y=ax+3与圆x2+y2=4相交所得弦长为2 3，
∴圆心O到直线y=ax+3的距离d= 4−(12×2 3)2=1，
又圆心O(0,0)到直线y=ax+3的距离为3 a2+1，
∴3 a2+1=1，解得a=± 2.
故答案为：± 2.
根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
10.【答案】9
【解析】解：F1，F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，|MF1|+|MF2|=6，
所以|MF1|⋅|MF2|≤(|MF1|+|MF2|2)2=9，当且仅当|MF1|=|MF2|=3时，取等号，
所以|MF1|⋅|MF2|的最大值为9.
故答案为：9.
利用椭圆的定义，结合基本不等式，转化求解即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式的应用，是基础题．
11.【答案】4
【解析】解：由数列{an}满足an+1=12an(n∈N*)，且a2=1，
则数列{an}为以12为公比的等比数列，
由a1=2，
则i=1+∞ai=21−12=4，
故答案为：4.
由已知可得数列{an}为以12为公比的等比数列，再结合无穷等比数列求和公式求解即可．
本题考查了无穷等比数列求和，属基础题．
12.【答案】10
【解析】解：在正项等比数列{an}中，a52+2a6a8+a92=100，
∵a6a8=a5a9，
∴(a5+a9)2=100，a5+a9>0，
解得a5+a9=10，
故答案为：10.
根据等比数列的性质可得a6a8=a5a9，进而得出结论．
本题考查了等比数列的通项公式及其性质、方程的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
13.【答案】6.5
【解析】解：设该等差数列为{an}，公差为d，
由题意可知，a4=12.5，a12=4.5，
故8d=a12−a4=−8，解得d=−1，
a10=a12−2d=4.5+2=6.5，
所以立夏的日影子为6.5尺．
故答案为：6.5.
根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解．
本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．
14.【答案】3×2n−1−2
【解析】解：an+1=2an+2(n∈N*)，
则an+1+2=2(an+2)，
因为a1+2=3，
所以{an+2}是首项为3，公比为2的等比数列，
从而an+2=3×2n−1，故an=3×2n−1−2.
故答案为：3×2n−1−2.
先求出{an+2}是首项为3，公比为2的等比数列，即可求解．
本题主要考查数列数列的递推式，属于基础题．
15.【答案】(1)
【解析】解：依题意，在(0,1)上，y=f(x)切线的斜率始终大于1，
仅(1)满足．
故答案为：(1).
根据题意y=f(x)切线的斜率始终大于1，对比选项得到答案．
本题考查导函数与原函数之间的关系，考查函数的图象，属于基础题．
16.【答案】9x−y−16=0
【解析】解：∵f(x)=x3+ax2+(a−3)x，
∴f′(x)=3x2+2ax+(a−3)，
∵f′(x)是偶函数，
∴3(−x)2+2a(−x)+(a−3)=3x2+2ax+(a−3)，
解得a=0，
∴f(x)=x3−3x，f′(x)=3x2−3，则f(2)=2，k=f′(2)=9，
即切点为(2,2)，切线的斜率为9，
∴切线方程为y−2=9(x−2)，即9x−y−16=0.
故答案为：9x−y−16=0.
先由求导公式求出f′(x)，根据偶函数的性质，可得f′(−x)=f′(x)，从而求出a的值，然后利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而写出切线方程．
本题主要考查求导公式，偶函数的性质以及导数的几何意义，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)证明：当n≥2时，an=Sn−Sn−1=34−2n，
又当n=1时，a1=S1=32=34−2×1满足an=34−2n，
故{an}的通项公式为an=34−2n，
所以an+1−an=34−2(n+1)−(34−2n)=−2，
故数列{an}是以32为首项，−2为公差的等差数列；
(Ⅱ)an≥0，即34−2n≥0，解得n≤17，
故数列{an}的前16项或前17项和最大，
此时S16=S17=33×17−172=272.
【解析】(Ⅰ)当n≥2时，an=Sn−Sn−1=34−2n，验证当n=1时也满足，于是可求得{an}的通项公式为an=34−2n，利用等差数列的定义证明即可；
(Ⅱ)令an≥0可求得n≤17，从而可得答案．
本题考查等差数列的关系的确定及通项公式的应用，考查化归思想与运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)因为f(x)=excsx−2x，
所以f′(x)=ex(csx−sinx)−2，
f′(0)=−1.
又因为f(0)=1，
所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=−x+1.
(2)设h(x)=ex(csx−sinx)−2，
则h′(x)=ex(csx−sinx−sinx−csx)=−2exsinx.
当x∈[0,π2]时，h′(x)≤0，所以h(x)在区间[0,π2]上单调递减．
所以对任意x∈[0,π2]有h(x)≤h(0)=−1，
即f′(x)<0.
所以函数f(x)在区间[0,π2]上单调递减．
因此f(x)在区间[0,π2]上的最大值为f(0)=1，最小值为f(π2)=−π.
【解析】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，切线方程的求法，是中档题．
(1)求出导函数，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程．
(2)设h(x)=ex(csx−sinx)−2，利用函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的最值即可．
19.【答案】解：(1)由题可知，点P到抛物线准线的距离为5，
∵抛物线的准线方程为x=−p2，点P的横坐标为4，
∴4+p2=5，解得p=2，
∴抛物线的方程为y2=4x；
(2)根据题意可设直线l的方程为y=x+m，
联立y=x+my2=4x，得x2+(2m−4)x+m2=0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=4−2m，x1x2=m2，
∴y1y2=2 x1⋅2 x2=4 x1x2=4|m|，
∴OA⋅OB=x1x2+y1y2=m2+4|m|=94，
解得|m|=12，此时都有Δ=(2m−4)2−4m2>0，
∴m=±12，∴直线l的方程为y=x±12，
即2x−2y±1=0.
【解析】(1)根据题意建立关于p的等式，解出即可求得抛物线方程；
(2)设直线l的方程为y=x+m，联立抛物线方程，将数量积OA⋅OB用m表示，再由OA⋅OB=94建立方程，即可求解．
本题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由椭圆C的方程为x2+3y2=4，得标准方程为x24+y243=1，
∴a=2.c= 4−43=2 63，离心率e=ca= 63.
(2)设|PF1|=m，|PF2|=n，
当∠F1PF2=π2时，323=m2+n2，∴323=(m+n)2−2mn，∴mn=83，
此时；S△PF1F2=12mn=12×83=43，
由对称性，不妨设∠PF1F2=π2时，且P在第一象限，则P(2 63,23)，
此时；S△PF1F2=12×4 63×23=4 69，
综上，△PF1F2的面积为43或4 69.
(3)设P(x0,y0)，则直线PQ的方程为y−y0=k1(x−x0)，
由已知|k1x0−y1| 1+k12=r.∴(x02−r2)k12−2x0y0k1+y02−r2=0，
同理：(x02−r2)k22−2x0y0k2+y02−r2=0，
因而k1，k2，是方程(x02−r2)k2−2x0y0k+y02−r2=0的两根，所以k1k2=y02−r2x02−r2=1，
得x02=y02，由P在第一象限得P(1,1)，
∴存在位于第一象限的点P，使得k1k2=1，点P的坐标为P(1,1).
【解析】(1)由已知易求椭圆的离心率；
(2)分∠F1PF2=π2，∠PF1F2=π2两种情况可求△PF1F2的面积；
(3)设P(x0,y0)，则直线PQ的方程为y−y0=k1(x−x0)，可得(x02−r2)k12−2x0y0k1+y02−r2=0，进而可得k1k2=y02−r2x02−r2=1，可求P的坐标．
本题考查椭圆的几何性质，考查三角形的面积，考查直线与椭圆的位置关系，属中档题．
21.【答案】解：(1)对于f1(x)=2x−x2，有f1(x)=−(x−1)2+1，在区间[0,1]上是增函数，
则f1(x)不是[0,1]上的单峰函数，
对于f2(x)=1−|4x−1|，有f2(x)=1−|4x−1|=4x,0≤x≤142−4x,14在区间[0,14]上，f2(x)=4x，是增函数，在区间(14,1]上，f2(x)=2−4x，是减函数，
故f2(x)是[0,1]上的单峰函数，其峰点为14；
(2)根据题意，若函数f(x)=2a(x+2)3−x−1是区间[0,1]上的单峰函数，
则在f(x)在区间[0,1]上先增后减，
其导数f′(x)=6a(x+2)2−1，则f′(x)=6a(x+2)2−1的值在区间[0,1]上先正后负，
若a≤0，f′(x)=6a(x+2)2−1<0，f(x)在区间[0,1]上为减函数，不符合题意；
若a>0，f′(x)=6a(x+2)2−1在区间[0,1]上为增函数，且f′(0)=−1，
故在区间[0,1]上不存在x0，满足f′(x)=6a(x+2)2−1的值在区间[0,1]上先正后负，
综合可得：不存在实数a，使函数f(x)=2a(x+2)3−x−1是区间[0,1]上的单峰函数，即实数a的集合为⌀．
【解析】(1)根据题意，由“单峰函数”的定义，分析两个函数是否是“单峰函数”，即可得答案；
(2)根据题意，求出函数f(x)的导数，由“单峰函数”的定义，分析可得f′(x)的值在区间[0,1]上先正后负，分a≤0与a>0两种情况讨论，综合可得答案．
本题考查函数与方程的关系，注意理解“单峰函数”的定义，属于中档题．