2022-2023学年安徽省蚌埠市高二（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

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这是一份2022-2023学年安徽省蚌埠市高二（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={−1,0,1,13}，B={y|y=2x,x∈R}，则A∩B=( )
A. ⌀B. {1}C. {1,13}D. {0,1,13}
2.若函数f(x)的定义域为R，则“f(2)A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知随机变量ζ的分布列为P(ζ=k)=mk(k=1,2,3)，设F(x)=P(ζ≤x)，则F(52)=( )
A. 12B. 13C. 16D. 23
4.已知函数f(x)=lnx，则函数y=f( 11−x)的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.某产品在出厂时每5个一等品装成一箱，工人不小心把2件二等品和3件一等品装入了一箱，为找出该箱中的二等品，需要对该箱中的产品逐一取出检验，取出的产品不放回，则“所有二等品被取出时恰取出3件产品检验”的概率为( )
A. 110B. 310C. 15D. 35
6.设(13)a=lg2a，2b=lg13b，(14)c=5，则a、b、c的大小关系是( )
A. b7.把4个不同的小球随机放入3个不同的盒子中，则恰有1个空盒子的放法种数为( )
A. 24种B. 42种C. 60种D. 144种
8.先后抛掷两枚质地均匀的骰子，记第一枚骰子掷出的点数为X1，第二枚骰子掷出的点数为X2，设事件A={(X1,X2)|X1≥5}，B={(X1,X2)|X1+X2≥9}，则P(B|A)=( )
A. 736B. 718C. 712D. 79
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知1<1a<1b，则下列结论正确的是( )
A. 1−a> 1−bB. 0C. a+1a2
10.在(x3−2 x)5的展开式中，下列说法正确的是( )
A. 各项的二项式系数和为32B. 含x项的系数为80
C. 常数项为−32D. 各项的系数和为−1
11.已知变量x，y经过随机抽样获得的成对样本数据为(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)，其线性回归方程为y =b x+a ，下列说法正确的是( )
A. 若相关系数r的值越大，则成对样本数据的线性相关程度超强
B. 若相关系数r=−0.05，说明变量x，y线性相关程度较弱
C. 相关指数R2的值越接近1，表示线性回归方程拟合效果越好
D. 残差平方和越大，表示线性回归方程拟合效果越好
12.已知函数f(x)=3x−3a+1,x<0,lga(x+a),x≥0,则下列结论正确的是( )
A. 若a=54，则f(x)是增函数
B. 若a=2，则方程f(x)=−3的解为x1=lg32和x2=−158
C. 若 a=43，则 f(x)的值域为(−2,+∞)
D. 若f(x)有最大值，则实数a的取值范围是[13,1)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数f(x)=x−lnx，则曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为______.
14.现用5种不同颜色对如图所示的四个部分进行涂色，要求相邻的两块不能用同一种颜色，则不同的涂色方法种数为______(用数学作答).
15.语文老师抽查小明古文背诵的情况，已知要求背诵的15篇古文中.小明有2篇不会背诵.若老师从这15篇古文中随机抽取3篇检查，记抽取的3篇古文中，小明会背诵的篇数为X，则P(X≥2)=______；E(X)=______.
16.已知函数f(x)=ex−x−m，g(x)=x−lnx−m，若函数g(x)存在零点2023，则函数f(x)一定存在零点x0，且x0=______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知P(A−)=23，P(B−|A)=34，P(B−|A−)=13，计算：
(1)P(B|A)；
(2)P(B).
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax2−2ax+1+b(a>0,b∈R)在区间[2,4]上的最小值为1，最大值为9.
(1)求a，b的值；
(2)设g(x)=f(x)x，求g(x)的值域.
19.(本小题12分)
脂肪含量(单位：%)指的是脂肪重量占人体总重量的比例.某研究机构对某项健身活动参与人群的脂肪含量进行调查研究，假设该项健身活动全体参与者的脂肪含量X∼N(17,23).若脂肪含量超过21.8%为“偏胖”.
(1)现从该项健身活动全体参与者中随机抽取20位，记这20人中偏胖的人数为Y，求Y的数学期望E(Y)；
(2)根据样本数据(如表所示)，
依据α=0.05的独立性检验，能否认为该项健身活动参与者“偏胖”与性别有关？
参考数据：若X−N(μ,σ2)，则P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，
P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973，
22=4.7， 23=4.8，χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=x3+bx+c在定义域内是奇函数.
(1)求实数c的值；
(2)求函数f(x)的极小值(用b表示).
21.(本小题12分)
某农科所对大棚内的昼夜温差与某种子发芽率之间的关系进行分析研究，观测2023年4月1日至4月11日大棚内的昼夜温差与每天每100粒种子的发芽数，收集了11组数据列于如表中：
已知种子发芽数y(单位：粒)与昼夜温差x(单位： ℃)之间线性相关，该农科所确定的研究方案是：先从这11组数据中选取1组，用剩下的10组数据求线性回归方程，再用先选取的1组数据进行检验.
(1)若选取的是4月2日的数据，试根据除这一天之外的其他数据，求出y关于x的线性回归方程y =b x+a (精确到1)；
(2)若由线性回归方程得到的种子发芽数的估计数据与所选取的检验数据的误差不超过2粒，则认为求得的线性回归方程是可靠的，试问(1)中所求得的线性回归方程是否可靠.
参考数据：b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2=i=1nxiyi−nx−y−i=1nxi2−nx−2，a =y−−b x−，
i=111xi=118，i=111yi=249；i=111xiyi=2755；i=111xi2=1294.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=(1−x)emx.
(1)讨论f(x)在区间(0,+∞)上的单调性；
(2)若存在a0.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵A={−1,0,1,13},B={y|y>0}，
∴A∩B={1,13}.
故选：C.
可求出集合B，然后进行交集的运算即可．
本题考查了集合的列举法和描述法的定义，指数函数的值域，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由题意，若f(2)若f(x)是增函数，则f(2)即“f(2)故选：B.
根据必要不充分条件的定义，以及函数单调性的定义求解即可．
本题考查必要不充分条件的判断，考查函数的单调性的应用，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：由离散型随机变量的分布列的性质可得，m+2m+3m=1，解得m=16，
由题意，F(52)=P(ξ≤52)=P(ξ=1)+P(ξ=2)=16+13=12.
故选：A.
根据离散型随机变量的分布列的性质可求得m，再根据题意求解即可．
本题考查离散型随机变量的分布列的性质，是基础题．
4.【答案】D
【解析】解：∵f(x)=lnx，∴y=f( 11−x)=ln 11−x=−ln(1−x)，
∵1−x>0，∴x<1，即该函数的定义域为(−∞,1)，排除选项A和B，
当x=−1时，y=−ln2<0，排除选项C，
故选：D.
根据对数有意义的条件可求得函数的定义域，再计算当x=−1时，y的值，并与0比较大小，即可作出选择．
本题考查函数的图象与性质，一般可从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意，箱中有2件二等品和3件一等品，
若所有二等品被取出时恰取出3件产品检验，则第三次取出的是二等品，前两次取出的产品是一件二等品、一件一等品，
则有C21C21C31=12种情况，
前3次取出的产品有A53=60种情况，
则“所有二等品被取出时恰取出3件产品检验”的概率P=1260=15.
故选：C.
根据题意，由排列组合数公式分析“所有二等品被取出时恰取出3件产品检验”和“前3次取出的产品”的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．
本题考查古典概型的计算，涉及排列组合的应用，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：构造函数f(x)=lg2x−(13)x，因为函数y=lg2x、y=−(13)x在(0,+∞)上均为增函数，
所以函数f(x)为(0,+∞)上的增函数，且f(1)=−13<0，f(2)=89>0，
因为f(a)=0，由零点存在定理可知1构造函数g(x)=2x−lg13x，因为函数y=2x、y=−lg13x在(0,+∞)上均为增函数，
所以函数g(x)为(0,+∞)上的增函数，且g(19)=219−2<0，g(13)=213−1>0，
因为g(b)=0，由零点存在定理可知19因为(14)c=5，则c=lg145故选：B.
利用零点存在定理计算出a、b的取值范围，利用对数函数的单调性可得出c<0，即可得出a、b、c的大小关系．
本题主要考查对数值大小的比较，考查逻辑推理能力，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：将4个球分为1，3两组，有C41C33A33=24种放法，
将4个球分为2，2两组，有C42C22A22⋅A33=18种放法，
故把4个不同的小球随机放入3个不同的盒子中，则恰有1个空盒子的放法种数为24+18=42种．
故选：B.
将4个球分为1，3或2，2两组，再放入到3个盒子中，利用排列组合数计算即可．
本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：由题意得，先后抛掷两枚质地均匀的骰子，有36种可能结果，
事件A={(X1,X2)|X1≥5}，则n(A)=2×6=12种可能结果，
事件AB={(X1,X2)|X1≥5且X1+X2≥9}={(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}，则n(AB)=7，
P(B|A)=n(AB)n(A)=712.
故选：C.
根据条件概率公式计算即可．
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键，是基础题．
9.【答案】BCD
【解析】解：因为1<1a<1b，所以0选项A，因为0<1−a<1−b，所以 1−a< 1−b，故A错误；
选项B，因为0选项C，a+1a−(b+1b)=a−b+b−aab=(a−b)⋅ab−1ab，
因为00，ab−1<0，ab>0，
故(a−b)⋅ab−1ab<0，即a+1a−(b+1b)<0，故C正确；
选项D，因为a>b>0，所以ba+ab>2 ba×ab=2，故D正确．
故选：BCD.
由已知，可得0本题主要考查了不等式的性质，考查基本不等式的应用，属基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：在(x3−2 x)5的展开式中，各项的二项式系数和为25=32，故A正确．
它的通项公式为Tr+1=C5r⋅(−2)r⋅x15−7r2，令15−7r2=1，求得r=4，可得含x项的系数为C54⋅16=80，故B正确．
令15−7r2=0，求得r∈⌀，可得展开式中没有常数项，故C错误．
再令x=1，可得各项的系数和为−1，故D正确．
故选：ABD.
由题意，利用二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，以及给x赋值，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于基础题．
11.【答案】BC
【解析】解：对于选项A：因为相关系数r的值越接近1，
则成对样本数据的线性相关程度越强，故选项A错误；
对于选项B：因为|r|越大，
则y与x之间的线性相关程度越强，反之越弱，故选项B正确；
对于选项C：相关指数R2的值越接近1，
则表示线性回归方程拟合效果越好，故选项C正确；
对于选项D：若残差平方和越小，说明预测值与测量值的差距越小，
则模型拟合的效果越好，故选项D错误．
故选：BC.
由题意，根据线性相关系数的定义，对选项进行逐一分析，进而即可求解．
本题考查相关系数，考查了逻辑推理能力．
12.【答案】AD
【解析】解：函数f(x)=3x−3a+1,x<0,lga(x+a),x≥0,
若a=54，x<0时，f(x)=3x−114递增；x≥0时，f(x)=lg54(x+54)递增，
且1−114<1，所以f(x)是增函数，故A正确；
若a=2，则方程f(x)=−3即为3x−5=−3(x<0)或lg2(x+2)=−3(x≥0)，
解得x1=lg32(舍去)或x=−158(舍去)，故B错误；
若a=43，x<0时，f(x)=3x−3递增，可得−3所以f(x)的值域为(−3,−2)∪[1,+∞),故C错误；
当x<0时，f(x)=3x−3a+1递增，可得f(x)<2−3a；
若f(x)有最大值，可得0即有2−3a≥1，且0故选：AD.
由a=54，结合指数函数、对数函数的单调性可判断A；由a=2，解方程可判断B；由a=43，结合指数函数和对数函数的单调性可判断C；由指数函数、对数函数的单调性求得最大值，可判断D.
本题考查分段函数的运用，以及函数的单调性和值域，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
13.【答案】y=1
【解析】解：函数的导数为f′(x)=1−1x，
∴f′(1)=0，
f(1)=1，即切点坐标为(1,1)，
∴切线方程为y=1.
故答案为：y=1.
求函数的导数，利用导数的几何意义，求切线方程，
本题主要考查导数几何意义，以及导数的基本运算．比较基础．
14.【答案】180
【解析】解：如图，设需涂色的4个部分为A，B，C，D，
A区域有5种颜色可选，
B区域有4种颜色可选，
C区域有3种颜色可选，
D区域有3种颜色可选，
则不同的涂色方法种数为5×4×3×3=180种．
故答案为：180.
利用分步乘法计数原理计算即可．
本题考查涂色问题，考查分步乘法计数原理的应用，是基础题．
15.【答案】3435 135
【解析】解：由题意，X的可能取值为1，2，3，
P(X=1)=C131C153=135，P(X=2)=C132C21C153=1235，P(X=3)=C133C153=2235，
P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=1235+2235=3435；
E(X)=1×135+2×1235+3×2235=135.
故答案为：3435；135.
求得随机变量X的可能取值及对应概率，根据期望公式求解即可．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．
16.【答案】ln2023
【解析】解：∵g(x)=x−lnx−m存在零点2023，∴x=2023是方程x−lnx−m=0的根，
即2023−ln2023−m=0，m=2023−ln2023.
由f(x)=ex−x−m=0，得ex−x−2023+ln2023=0，
得ex−x=2023−ln2023=eln2023−ln2023.
即x=ln2023一定是方程ex−x−m=0的一个根，也就是函数f(x)一定存在零点x0，且x0=ln2023.
故答案为：ln2023.
由函数g(x)存在零点2023求得m值，代入函数f(x)=ex−x−m，在求解方程ex−x−m=0得答案．
本题考查函数零点的判定，考查函数零点与方程根的关系，是基础题．
17.【答案】解：(1)由P(B−|A)=34，得P(B|A)=1−P(B−|A)=1−34=14.
(2)由P(A−)=23，P(B−|A−)=13，
得P(A)=13，P(B|A−)=23，
所以P(B)=P(A)⋅P(B|A)+P(A−)⋅P(B|A−)
=13×14+23×23=1936.
【解析】根据条件概率公式逐项计算即可．
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，是基础题．
18.【答案】解：(1)因为f(x)=ax2−2ax+1+b(a>0)的图象开口向上，对称轴x=1，
故函数f(x)在[2,4]上单调递增，
所以f(x)min=f(2)=1+b=1，
当f(x)max=f(4)=16a−8a+1+b=8a+b+1=9，
所以a=1，b=0；
(2)由(1)得f(x)=x2−2x+1，
所以g(x)=x+1x−2(x≠0)，
易知g′(x)=1−1x2=(x+1)(x−1)x2，
当x<−1或x>1，g′(x)>0，当−1即g(x)在(−∞,−1)，(1,+∞)单调递增，在(−1,0)，(0,1)单调递减．
作出g(x)的图象，如图所示：
又g(−1)=−4，g(1)=0，
故g(x)的值域为(−∞,−4]∪[0,+∞).
【解析】(1)由二次函数的性质可知f(x)在[2,4]上单调递增，从而可得1+b=18a+b+1=9，求解即可；
(2)由题意可得g(x)=x+1x−2(x≠0)，利用导数可得函数g(x)的单调性，从而作出g(x)的图象，结合图象求解即可．
本题考查了二次函数的性质、导数的综合运用及数形结合思想，属于中档题．
19.【答案】解：(1)根据X∼N(17,23)可得μ=17，σ= 23=4.8，
所以参与者“偏胖”的概率为：
P(X>21.8)=P(X>μ+σ)=1−P(μ−σ≤X≤μ+σ)2≈0.15865，
所以Y∼B(20,0.15865)，
所以E(Y)=np=20×0.15865≈3(人).
(2)假设H0：该项健身活动参与者“偏胖”与性别无关联，
经计算得到χ2=220(10×110−10×90)2120×100×20×200=1160<3.841=x0.05，
所以没有充分证据推断H0不成立，
所以认为该项健身活动参与者“偏胖”与性别无关．
【解析】(1)根据X∼N(17,23)得到μ=17，σ= 23=4.8，再求出参与者“偏胖”的概率，进而求解即可；
(2)将数据代入χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，再跟3.841作比较即可．
本题主要考查独立性检验和离散型随机变量的期望，属于中档题．
20.【答案】解：(1)∵f(x)是奇函数，
∴f(−x)+f(x)=0，
即(−x)3+b(−x)+c+x3+bx+c=0，解得：c=0，
故c=0；
(2)结合(1)f(x)=x3+bx，定义域为R，f′(x)=3x2+b，
当b≥0，f′(x)≥0在R上恒成立，即f(x)为增函数，无极小值；
当b<0，令f′(x)<0，解得：− −b3令f′(x)>0，解得：x<− −b3或x> −b3，f(x)单调递增，
f(x)极小值=f( −b3)=2b3 −b3；
综上所述，当b≥0，f(x)无极小值；
当b<0，f(x)极小值为2b3 −b3.
【解析】(1)根据函数的奇偶性求出c的值即可；(2)求出函数的导数，通过讨论b的范围，求出函数的单调区间，求出函数的极小值即可．
本题考查了函数的奇偶性问题，考查函数的单调性，极值，考查导数的应用以及分类讨论思想，是中档题．
21.【答案】解：(1)由已知，去掉4月2日的数据，
可得i=110xi=108，i=110yi=227，i=110xiyi=2535，i=110xi2=1194，
∴b =i=110xiyi−10x−y−i=110xi2−10x−2=2535−10×10.8×22.71194−10×10.82≈3，
a =y−−b x−=22.7−3×10.8=−9.7，
∴y关于x的线性回归方程为y =3x−9.7；
(2)y =3x−9.7；
当x=10，得y =3×10−9.7=20.3，此时|20.3−22|<2.
∴可以认为求得的线性回归方程是可靠的．
【解析】(1)由已知结合最小二乘法求得b 与a 的值，可得y关于x的线性回归方程；
(2)在(1)中求得的线性回归方程中，取x=10，得到y ，进一步分析得结论．
本题考查线性回归方程，考查运算求解能力，是基础题．
22.【答案】解：(1)已知f(x)=(1−x)emx，函数定义域为R，
当m=0时，函数f(x)=1−x，
此时函数f(x)在(0,+∞)上单调递减；
当m≠0时，
可得f′(x)=−emx+m(1−x)emx=−m(x−1+1m)emx，
若m>1，
当00，f(x)单调递增；
当x>1−1m时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
若0此时f′(x)<0在(0,+∞)恒成立，f(x)单调递减；
若m<0，
当0当x>1−1m时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
综上，当m>1时，f(x)在(0,1−1m)单调递增，在(1−1m,+∞)单调递减；
当0≤m≤1时，f(x)在(0,+∞)单调递减；
当m<0时，f(x)在(0,1−1m)单调递减，在(1−1m,+∞)单调递增；
(2)证明：若存在a此时ln[(1−a)ea]=ln[(1−b)eb]，
即(1−a)ea=(1−b)eb，
由(1)知，当m=1时，f(x)=(1−x)ex，
可得f′(x)=−xex，
当x<0时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x>0时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
又f(1)=0，
所以当x<1时，f(x)>0；当x>1时，f(x)<0，
则a<0即ab<0，
要证1a+1b>0，
即证a+b<0，
不妨设g(x)=f(x)−f(−x)，函数定义域为(0,1)，
可得g′(x)=f′(x)+f′(−x)=x(e−x−ex)<0，
所以函数g(x)在定义域上单调递减，
此时g(x)即f(b)又f(a)=f(b)，
所以f(a)因为f(x)在(−∞,0)单调递增，
所以a<0，−b<0，
则a<−b，
故a+b<0.
【解析】(1)由题意，对m=0和m≠0这两种情况进行讨论，当m≠0时，对函数f(x)进行求导，分别讨论m>1，0(2)因为满足a+ln(1−a)=b+ln(1−b)，利用对数的运算性质得到(1−a)ea=(1−b)eb，当m=1时，对函数f(x)进行求导，利用导数得到函数f(x)的单调性和最值，进而推出ab<0，要证1a+1b>0，即证a+b<0，构造函数g(x)=f(x)−f(−x)，对函数g(x)进行求导，利用导数得到函数g(x)的单调性，进而即可求证．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、转化思想、分类讨论和运算能力．偏胖
不偏胖
男性
10
110
女性
10
90
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
日期
1日
2日
3日
4日
5日
6日
7日
8日
9日
10日
11日
温差x/℃
11
10
8
13
12
10
11
9
12
13
9
发芽数y/粒
24
22
15
30
28
18
22
18
27
28
17