2022-2023学年广东省江门市高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2022-2023学年广东省江门市高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某运动员射击一次所得环数的分布列如表所示，则P(ξ≥9)=( )
A. 0.69B. 0.67C. 0.66D. 0.64
2.若An2=42(n∈N*)，则Cn2=( )
A. 30B. 20C. 35D. 21
3.在回归分析中，下列判断正确的是( )
A. 回归直线不一定经过样本点的中心B. 样本相关系数r∈[0,1]
C. 相关系数|r|越接近1，拟合效果越好D. 相关系数r越小，相关性越弱
4.已知f(x)=xm(m∈Q,且m≠0)，若f′(−1)=−2，则m=( )
A. 2B. −2C. 3D. −3
5.若直线x−y+3=0与圆x2+y2−2x+2−a=0相切，则a=( )
A. 9B. 8C. 7D. 6
6.以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心，其内容如下：如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则(a,b)内至少存在一个点x0∈(a,b)，使得f(b)−f(a)=f′(x0)(b−a)，其中x=x0称为函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的“中值点”.请问函数f(x)=5x3−3x在区间[−1,1]上的“中值点”的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
7.将5名教育志愿者分配到甲、乙、丙和丁4个学校进行支教，每名志愿者只分配到1个学校，每个学校至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有( )
A. 60种B. 120种C. 240种D. 480种
8.设Tn为数列{an}的前n项积，若an+2an+1=0，n∈N*且a2−a3=192，当Tn取得最小值时，则n=( )
A. 8B. 9C. 10D. 11
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知随机变量X服从正态分布N(2,4)，则( )
A. P(X≤3)>12B. P(1≤X≤32)=P(52≤X≤3)
C. P(0≤X≤32)=P(1≤X≤52)D. X的方差为2
10.根据变量Y和x的成对样本数据，由一元线性回归模型Y=bx+a+eE(e)=0,D(e)=σ2得到线性回归模型y =b x+a ，对应的残差如图所示，则残差模型( )
A. 满足回归模型E(e)=0的假设
B. 不满足回归模型E(e)=0的假设
C. 满足回归模型D(e)=σ2的假设
D. 不满足回归模型D(e)=σ2的假设
11.已知函数f(x)=ex+e−x，则( )
A. f(x)的图象是轴对称图形B. f(x)的单调递减区间是(0,+∞)
C. f(x)的极值小值为2D. f(x)的极大值为2
12.已知抛物线y2=4x的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点(其中点A在x轴上方)，则( )
A. 1|AF|+1|BF|=1B. 弦AB的长度最小值为l
C. 以AF为直径的圆与y轴相切D. 以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数f(x)=lnxx的极大值为______.
14.在(x+1x)5的展开式中，含x3的系数为_____.
15.已知甲箱内有4个白球2个黑球，乙箱内有3个白球2个黑球，先从甲箱中任取一球放入乙箱，然后从乙箱中任取一球，则事件“从乙箱中取得黑球”的概率为______.
16.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次.X表示抽到的二等品件数，则D(X)=______；若将抽出的产品送往专门的检测部门检测，且检测费用 Y元与二等品件数X满足：Y=10X+300，则D(Y)=______
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知数列{an}中，a2=6，a4=20，数列{bn}是等差数列，且bn=ann(n∈N*).
(1)求b2，b4和数列{bn}的通项公式；
(2)求数列{1an}的前n项和Sn.
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，四边形ABCD为直角梯形，AB//CD，AD⊥DC.
(1)求证；AD⊥PC；
(2)若AB=1，AD=DC=DP=2，∠PDC=120∘，求平面PAB与平面ABC的夹角的余弦值.
19.(本小题12分)
体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想.为推动落实全民健身国家战略，某学校以锻炼身体为目的，每天下午组织足球训练活动.
(1)为了解喜爱足球运动是否与性别有关，从该校随机抽取了男学生和女学生各100名观众进行调查，得到如表列联表：
依据小概率值α=0.001的χ2独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关？
(2)在某次足球训练课上，球首先由A队员控制，此后足球仅在A，B，C三名队员之间传递，假设每名队员控球时传给其他队员的概率如表所示：
若传球3次，记B队员控球次数为X，求X的分布列及均值.
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d.
附表：
20.(本小题12分)
台山市镇海湾蚝是台山市著名的特产，因镇海湾的生蚝田处于咸淡水交汇之地，所以这里的生蚝长得比其他地方肥大，味道更加鲜美.2023年镇海湾某养殖基地考虑增加人工投入，根据市场调研与模拟，得到人工投入增量x人与年收益增量y万元的数据和散点图分别如下：
根据散点图，建立了y与x的两个回归模型：
模型①：y =4.1x+11.8；模型②：y =b x+a .
(1)求出模型②中y关于x的回归方程(精确到0.1)；
(2)比较模型①，②的决定系数R2的大小，说明哪个模型拟合效果更好，并用该模型预测，要使年收益增量超过80万元，人工投入增量至少需要多少人？(精确到1)
线性回归方程y =b x+a 的系数：b =i=1nxiyi−nxy−i=1nxi2−nx−2=i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2，a =y−−b x−；
模型的决定系数：R2=1−i=1n(yi−yi)2i=1n(yi−y−)2.
参考数据：令t= x，则y =b t+a ，且t−≈2.46，y−≈38.86，i=17(ti−t−)(yi−y−)≈80.97，i=17(ti−t−)2≈3.78；模型①中i=17(yi−yi)2=182.42；模型②中i=17(yi−yi)2=74.12.
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=ae2x+(a−2)ex−x，其中a≥1.
(1)若a=1，求f(x)的单调区间；
(2)讨论函数f(x)的零点个数.
22.(本小题12分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 22，且与双曲线y2−x2=12有相同的焦距.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，过左焦点F的直线l交椭圆C于D，E两点(其中点D在x轴上方)，求△AEF与△BDF的面积之比的取值范围.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：P(ξ≥9)=1−P(ξ=8)=1−0.36=0.64.
故选：D.
根据所有事件概率和为1，从而得到P(ξ≥9).
本题主要考查离散型随机变量分布列的性质，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：Cn2=An22!=21.
故选：D.
根据排列组合数公式计算．
本题主要考查组合数公式，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：对于A，回归直线一定经过样本点的中心，A错误；
对于B，样本相关系数r∈[−1,1]，B错误；
对于C，相关系数|r|越接近1，拟合效果越好，C正确；
对于D，相关系数|r|越小，相关性越弱，D错误．
故选：C.
利用回归直线的性质判断A；利用相关系数的范围、和相关性强弱的关系判断BCD作答．
本题考查回归分析、相关系数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】A
【解析】解：因为f(x)=xm，则f′(x)=mxm−1，所以，f′(−1)=m(−1)m−1=−2，
因为m∈Q，且m≠0，解得m=2.
故选：A.
求出f′(x)，由f′(−1)=−2可求得实数m的值．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：圆(x−1)2+y2=a−1(a>1)的圆心(1,0)，半径 a−1，
依题意，|1−0+3| 12+(−1)2= a−1，解得a=9，
所以a=9.
故选：A.
求出圆的圆心和半径，再利用圆的切线性质求解作答．
本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由拉格朗日中值定理，f(−1)=−2，f(1)=2，f′(x)=15x2−3，
则f(1)−f(−1)=f′(x0)×2⇒f′(x0)=2，则15x02−3=2,x0=± 33，共2个解．
故选：B.
根据定义，代入拉格朗日中值定理，令f(b)−f(a)=f′(x0)(b−a)，找到 f′(x)=2，解方程．
本题以新定义为载体，主要考查了函数性质的简单应用，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：根据题意，有一个学校分配2名志愿者，其余学校各分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有C52种选法，
然后连同其余三人，看成四个元素分配到4个不同的学校，有A44种方法，
由分步乘法计数原理可知，不同的分配方案种数为C52A44=240.
故选：C.
先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，然后连同其余三人，看成四个元素分配到4个不同的学校，再利用分步乘法计数原理求得．
本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：由题易知an≠0，因为an+2an+1=0,n∈N*，所以an+1an=−12，
所以数列{an}是公比为−12的等比数列，
由a2−a3=192，得−12a1−(−12)2a1=192，解得a1=−256，
所以an=−256×(−12)n−1，
所以Tn=⋅q1+2+3+...+(n−1)=(−256)n(−12)n(n−1)2=(−1)n2+n2(12)n2−17n2，
要使Tn取得最小值，则n2+n2为奇数，且n2−17n2取最小值，
结合二次函数知识知n=9时，满足n2+n2为奇数，且n2−17n2取最小值，
所以当Tn取得最小值时，n=9，
故选：B.
通过等比数列定义及等比数列基本量计算求出通项公式an=−256×(−12)n−1，然后求出前n项积Tn，利用指数函数单调性及二次函数知识求解最值即可．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于中档题．
9.【答案】AB
【解析】解：因为随机变量X服从正态分布N(2,4)，则μ=2，σ=2，
所以随机变量X所对正态曲线关于X=2对称，
于是P(X≤2)=12，P(X≤3)=P(X≤2)+P(2P(X≤2)=12，A正确；
显然[1,32]和[52,3]关于X=2对称，而[0,32]和[1,52]关于X=2不对称，
因此P(1≤X≤32)=P(52≤X≤3)，P(0≤X≤32)≠P(1≤X≤52)，B正确，C错误；
显然X的方差为4，D错误．
故选：AB.
根据题意得出μ=2，σ=2，结合正态分布的对称性，对各选项逐项判定，即可求出结果．
本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：根据一元线性回归模型Y=bx+a+eE(e)=0,D(e)=σ2中对随机误差e的假定，
残差散点图中散点应是分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，
故由已知残差图可知残差与观测变量x有线性关系，
因此残差模型既不满足回归模型E(e)=0的假设，也不满足回归模型D(e)=σ2的假设．
故选：BD.
根据已知残差散点的分布图，结合一元线性回归模型Y=bx+a+eE(e)=0,D(e)=σ2中对随机误差e的假定的含义，即可判断答案．
本题考查线性回归方程与回归分析，考查学生的读图视图能力，是基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：函数f(x)=ex+e−x的定义域为R，且f(−x)=e−x+ex=f(x)，
则函数f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，故A正确；
由f(x)=ex+e−x，得f′(x)=ex−e−x，函数f′(x)在R上单调递增，且f′(0)=0，
当x0，
则函数f(x)在(−∞,0)上递减，在(0,+∞)上递增，故B错误；
函数f(x)在x=0处取得极小值f(0)=2，无极大值，故C正确，D错误．
故选：AC.
判断函数的奇偶性判断A；求出函数的导数，利用导数分析单调性与极值判断BCD.
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查运算求解能力，是中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：已知抛物线y2=4x的焦点为F，
则F(1,0)，
设直线l：x=ty+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，y1>0，y20，
则y1+y2=4t，y1y2=−4，
则|AF|= (x1−1)2+y12= t2y12+y12=|y1|⋅ t2+1，
同理可得，|BF|=|y2|⋅ t2+1，
对于选项A，1|AF|+1|BF|=|AF|+|BF||AF|⋅|BF|= t2+1(|y1|+|y2|)(t2+1)|y1y2|
=y1−y24 t2+1= (y1+y2)2−4y1y24 t2+1=4 t2+14 t2+1=1，
故选项A正确；
对于选项B，|AB|=|AF|+|BF|= t2+1(|y1|+|y2|)= t2+1(y1−y2)
= t2+1 (y1+y2)2−4y1y2=4(t2+1)≥4，
故弦AB的长度最小值为4，
故选项B错误；
对于选项C，记AF中点M(x1+12,y12)，
则点M到y轴的距离为d=|x1+12|=x1+12，
由抛物线的性质，|AF|=x1+1,d=12|AF|，
所以以AF为直径的圆与y轴相切，
故选项C正确；
对于选项D，|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2，
记AB中点N(x1+x22,y1+y22)，
则点N到抛物线的准线的距离d′=x1+x22+1=x1+x2+22=|AB|2，
故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，
故选项D正确．
故选：ACD.
由弦长公式计算可判定选项A、B；C、D选项，可以利用圆的性质，圆心到直线的距离等于半径判定直线与圆相切．
本题考查了抛物线的性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属中档题．
13.【答案】1e
【解析】解：f(x)=lnxx，x>0，
∴f′(x)=1x⋅x−lnx⋅1x2=1−lnxx2，
令f′(x)=0，解得x=e，
当x>e时，f′(x)10.828=χ0.001，
根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为喜欢足球运动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001.
(2)因为球首先由A队员控制，此后足球仅在A，B，C三名队员之间传递，
此时X的所有取值为0，1，2，
可得P(X=0)=12×23×12=16，P(X=1)=12×23×12+12×23×12+12×13×23+12×13×23+12×13×13=1118，
P(X=2)=12×23×12+12×13×13=29，
则X的分布列为：
故E(X)=0×16+1×1118+2×29=1918.
【解析】(1)由题意，代入公式中求出观测值，将其与临界值进行对比，进而即可求解；
(2)先得到X的所有取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解．
本题考查离散型随机变量分布列及期望，考查了逻辑推理和运算能力．
20.【答案】解：(1)令t= x，则模型②为：y =b t+a ，
由t−≈2.46，y−≈38.86，i=17(ti−t−)(yi−y−)≈80.97，i=17(ti−t−)2≈3.78，
得b =i=17(ti−t−)(yi−y−)i=17(ti−t−)2=≈21.4，a =38.86−21.4×2.46≈−13.8，
∴模型②中y关于x的回归方程是y =21.4 x−13.8；
(2)模型①中的决定系数R2=1−182.42i=17(yi−y−)2，
模型②的决定系数R2=1−74.12i=17(yi−y−)2，
∵182.42>74.12，∴模型①中的决定系数小于模型②的决定系数，
故模型②的拟合效果更好．
在模型②下，年收益增量超过80万元，
则有21.4 x−13.8>80，∴x>(93.821.4)2≈19.2，
∴人工投入增量至少需要20人．
【解析】(1)t= x，先求出y 关于t的线性回归方程，进而可求y关于x的回归方程；
(2)代入公式分别求出模型①和模型②的决定系数，然后比较大小即可；再通过解不等式即可得至少人工投入增量人数．
本题考查线性回归方程与决定系数的求法，考查运算求解能力，是基础题．
21.【答案】解：(1)函数f(x)=ae2x+(a−2)ex−x的定义域为R，
故f′(x)=2ae2x+(a−2)ex−1=(aex−1)(2ex+1)，
当a=1时，f′(x)=(ex−1)(2ex+1)，
当x0，
则函数f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
所以函数f(x)的递减区间是(−∞,0)，递增区间是(0,+∞).
(2)当a=1时，由(1)知，f(x)min=f(0)=0，因此函数f(x)只有1个零点，
当a>1时，由f′(x)=0，得x=−lna，当x0，
因此函数f(x)在(−∞,−lna)上单调递减，在(−lna,+∞)上单调递增，
当x=−lna时，f(x)min=f(−lna)=a(1a)2+(a−2)⋅1a+lna=1−1a+lna>0，于是函数f(x)无零点，
所以当a=1时，函数f(x)有1个零点，当a>1时，函数f(x)无零点．
【解析】(1)把a=1代入，利用导数求出函数的单调区间作答．
(2)按照a=1与a>1分别求出函数f(x)的最小值，即可判断作答．
本题主要考查函数零点个数问题及导数与单调性的应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)∵双曲线y2−x2=12的方程可化为y212−x212=1，
∴其焦距为2 12+12=2，
设椭圆C的焦点为(±c,0)(c>0)，
∴2c=2，解得：c=1，
又椭圆C的离心率e=ca=1a= 22，
∴a= 2，b2=a2−c2=1，
∴椭圆C的方程为x22+y2=1.
(2)由(1)知：F(−1,0)，A(− 2,0)，B( 2,0)，
由题意知：直线l斜率不为0，
则可设l：x=ty−1，D(x1,y1)(y1>0)，E(x2,y2)(y20，
∴y1+y2=2tt2+2，y1y2=−1t2+2，
∵S△AEF=12|AF|⋅|y2|= 2−12⋅(−y2)，S△BDF=12|BF|⋅|y1|= 2+12⋅y1，
∴S△AEFS△BDF= 2−12⋅(−y2) 2+12⋅y1=− 2−1 2+1⋅y2y1=(2 2−3)⋅y2y1；
∵(y1+y2)2y1y2=4t2(t2+2)2−1t2+2=−4t2t2+2=−4(t2+2)−8t2+2=−4+8t2+2，
又t2+2≥2，
∴0