2022-2023学年广西百色市高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2022-2023学年广西百色市高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.5名同学去听同时进行的4个科技知识讲座，每名同学可自由选择其中一个，则不同的选择
种数是( )
A. 45B. 5×4×3×2C. 54D. 5×4
2.设f(x)是可导函数，且Δx→0limf(1−3Δx)−f(1)Δx=2，则f′(1)=( )
A. 2B. −23C. −1D. −2
3.若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，则以下正确的是( )
A. E(X)=13B. E(2X+3)=43C. E(2X+2)=83D. E(2X+1)=73
4.对具有线性相关关系的变量x、y有观测数据(xi,yi)(i=1,2,…，10)，它们之间的回归直线方程是y=3x+20，若i=110xi=18，则i=110yi=( )
A. 74B. 21.8C. 25.4D. 254
5.设f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是( )
A. B.
C. D.
6.甲乙两位游客慕名来到百色旅游，准备分别从凌云浩坤湖、大王岭原始森林、靖西鹅泉和乐业大石围天坑4个景点中随机选择其中一个，记事件A：甲和乙选择的景点不同，事件B：甲和乙恰好一人选择乐业大石围天坑，则条件概率P(B|A)=( )
A. 34B. 38C. 12D. 14
7.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )
A. 36种B. 24种C. 18种D. 12种
8.f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，有xf′(x)+2f(x)>0恒成立，则( )
A. f(1)>4f(2)B. f(−1)<4f(−2)
C. 4f(2)<9f(3)D. 4f(−2)<9f(−3)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.如果散点图中所有的散点都落在一条斜率为非0实数的直线上，则( )
A. 解释变量和响应变量是函数关系B. 相关系数r=1
C. 残差平方和为0D. 决定系数R2=1
10.若3男3女排成一排，则下列说法正确的是( )
A. 共计有720种不同的排法B. 男生甲排在两端的排法总数共有120种
C. 男生甲、乙相邻的排法总数为120种D. 男女生相间排法总数为72种
11.已知某地区有20000名同学参加某次模拟考试(满分150分)，其中数学考试成绩X近似服从正态分布N(90,σ2)(σ>0)，则下列说法正确的是( )
(参考数据：①P(μ−σA. 根据以上数据无法计算本次数学考试的平均分
B. σ的值越大，成绩不低于100分的人数越多
C. 若σ=15，则这次考试分数高于120分的约有46人
D. 从参加考试的同学中任取3人，至少有2人的分数超过90分的概率为12
12.已知函数f(x)=x(x−3)2，若f(a)=f(b)=f(c)，其中a>b>c，则( )
A. 12
C. a+b+c=6D. abc的取值范围为(0,4)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设曲线y=2ln(−x+1)在x=0处的切线方程为______.
14.在(1−2x)4的展开式中含x3项的系数为______.
15.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为______.
16.已知函数f(x)=(x+1)ex,x≤0lnxx,x>0，函数g(x)=(f(x)−2)(f(x)−a)，若函数g(x)恰有三个零点，则a的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知(2x−1)n=a0+a1x+a2x2+⋯⋯+anxn，n∈N*，若(2x−1)n的展开式中，_______.
(1)求n的值；
(2)求|a1|+|a2|+|a3|+...+|an|的值.
在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为210，这三个条件中任选一个，补充在上面(横线处)问题中，解决上面两个问题.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
18.(本小题12分)
某校为研究本校的近视情况与本校学生是否有长时间使用电子产品习惯的关系，在已近视的学生中随机调查了100，同时在未近视的学生中随机调查了100人，得到如下数据：
(1)依据α=0.01的独立性检验，能否认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关联？
(2)据调查，某校患近视学生约为46%，而该校长时间使用电子产品的学生约为30%，这些人的近视率约为60%.现从每天非长时间使用电子产品的学生中任意调查一名学生，求他患近视的概率.
附：x2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.
19.(本小题12分)
已知函数fx=x3+ax2+bx+1在x=−2处有极值，且曲线y=fx在点−1,f−1处的切线与直线x+y−1=0平行.
(1)求fx；
(2)求函数fx在区间−3,0上的最值.
20.(本小题12分)
某乡村合作社借助互联网直播平台进行农产品销售，众多网红主播
参与到直播当中，在众多网红直播中，统计了10名网红直播的观看人次xi和农产品销售量yi(i=1,2,3⋯,10)的数据，得到如图所示的散点图.
(1)利用散点图判断，y =a +b x和y =c +d lnx哪一个更适合作为观看人次x和销售量y的回归方程类型；(只要给出判断即可，不必说明理由)
(2)对数据作出如下处理：得到相关统计量的值如表：
其中令ωi=lnxi，ω−=110i=110ωi.根据(1)的判断结果及表中数据，求y(单位：千件)关于x(单位：十万次)的回归方程，并预测当观看人次为280万人时的销售量.参考数据和公式：ln2≈0.69，ln7≈1.95
附：对于一组数据(u1,v1)、(u2,v2)、...、(un,vn)，其回归线v =α +β u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β =i=1n(ui−u−)(vi−v−)i=1n(ui−u−)2，α =v−−β u−.
21.(本小题12分)
某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为23，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的.
(1)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；
(2)设甲公司答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差；
(3)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnx−ax.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)有两个相异零点x1，x2，求证：x1x2>e2.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：5名同学去听同时进行的4个科技知识讲座，每名同学可自由选择其中一个，
则不同的选择种数是45.
故选：A.
根据分步乘法计数原理计算即可．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：∵Δx→0limf(1−3Δx)−f(1)Δx=2，
∴−3Δx→0limf(1−3△x)−f(1)−3△x=2，
∴−3f′(1)=2，
∴f′(1)=−23，
故选：B.
根据导数的定义即可得到结论．
本题主要考查导数的定义，比较基础．
3.【答案】D
【解析】解：根据题意，随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，
则P(X=1)=1−13=23，
依次分析选项：
对于A，E(X)=0×13+1×23=23，A错误；
对于B，E(2X+3)=2E(X)+3=2×23+3=133，B错误；
对于C，E(2X+2)=2E(X)+2=2×23+2=103，C错误；
对于D，E(2X+1)=2E(X)+1=2×23+1=73，D正确．
故选：D.
根据题意，由两点分布的定义求出P(X=1)，结合期望的计算公式和性质进而依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查两点分布的性质，涉及期望的计算，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查回归直线方程的运用，解题的关键是运用回归直线方程恒过样本中心点，是基础题．
先计算x=1.8，代入回归直线方程，可得y=25.4，从而可得结论．
【解答】
解：∵i=110xi=18，∴x=1.8，
代入回归直线方程y=3×1.8+20=25.4，可得 y=25.4，
∴i=110yi=254，
故选D.
5.【答案】B
【解析】解：由f(x)的图象可得，在y轴的左侧，图象下降，f(x)递减，
即有导数小于0，可排除C，D；
再由y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，
函数f(x)递减，再递增，后递减，
即有导数先小于0，再大于0，最后小于0，
可排除A；
则B正确．
故选：B.
由f(x)的图象可得在y轴的左侧，图象下降，f(x)递减，y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，即有y轴左侧导数小于0，右侧导数先小于0，再大于0，最后小于0，对照选项即可判断．
本题考查导数的概念和应用，考查函数的单调性与其导数符号的关系，以及数形结合的思想方法，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：根据题意，事件A：甲和乙选择的景点不同，则P(A)=4×34×4=34，
事件AB：甲和乙选择的景点不同且恰好一人选择乐业大石围天坑，则P(AB)=C21×C314×4=38，
则条件概率P(B|A)=P(AB)P(A)=12.
故选：C.
根据题意，由古典概型的概率求法求P(A)、P(A∩B)，再由条件概率公式求P(B|A).
本题考查条件概率的计算，涉及古典概型的计算公式，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：根据题意，先将4项工作分成3组，有C42=6种分组方法，
将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有A33=6种情况，
则有6×6=36种不同的安排方式；
故选：A.
根据题意，分2步进行分析：先将4项工作分成3组，再将分好的三组全排列，对应3名志愿者，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列、组合的应用，注意题目中“每人至少完成1项，每项工作由1人完成”的要求．
8.【答案】C
【解析】解：令g(x)=x2f(x)，
因为x>0时，有xf′(x)+2f(x)>0恒成立，
所以x>0时，g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)>0，
故g(x)在(0,+∞)上单调递增，
因为f(x)为奇函数，f(−x)=−f(x)，
所以g(−x)=(−x)2f(−x)=−x2f(x)=−g(x)，
故g(x)为奇函数，
故g(x)在R上为奇函数且单调递增，
则g(2)>g(1)，即4f(2)>f(1)，A错误；
g(−1)>g(−2)，即f(−1)>4f(−2)，B错误；
g(2)g(−2)>g(−3)，即4f(−2)>9f(−3)，D错误．
故选：C.
令g(x)=x2f(x)，然后结合导数与单调性关系先判断g(x)的单调性，再判断函数的奇偶性，结合单调性及奇偶性即可比较函数值大小．
本题主要考查了导数与单调性关系在函数值大小比较中的应用，属于中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：因为样本点都落在直线上，所以样本相关系数|r|=1，
若直线的斜率为正，则r=1，若斜率为负，则r=−1，故B错误；
直线对应的函数为一次函数，故解释变量和响应变量是一次函数关系，故A选项说法正确；
决定系数和残差平方和都能反映模型的拟合程度，故决定系数数R²=1，残差平方和为0，故C，D选项说法正确．
故选：ACD.
根据变量间的关系可解．
本题考查变量间的相关关系，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：选项A，3男3女排成一排共计有A66=700种不同的排法，故A正确；
选项B，先将男生甲排在两端有2种排法，再将剩余的人排列有A55排法，
根据分步计数原理可知男生甲排在两端的排法总数有2A55=240种，故B错误；
选项C，现将甲乙捆绑看成一体的排法有A22种，
再将剩余的4人与捆绑元素排列的排法有A55种，
根据分步计数原理可知男生甲、乙相邻的排法总数为A22A55=240种排法，故C错误；
选项D，现将男生排列有A33种排法，将3个女生排入形成的4个间隔，
要求男女生相间，则中间的2个间隔必须排人，即要么排前3个间隔要么排后3个间隔，有2A33种排法，
根据分步计数原理可知男女生相间排法总数有2A33A33=72种，故D正确．
故选：AD.
利用排列组合以及分步计数原理用捆绑法和插空法求解．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
11.【答案】BD
【解析】解：对A，根据正态分布知，数学考试成绩X的平均值为90，故A错误；
对B，根据N(90,σ2)(σ>0)中标准差的意义，σ的值越大则高于90(分)低于100分的人数变小，所以成绩不低于100分的人数增多，故B正确；
对于C，σ=15时，P(X>120)=12[1−P(60故这次考试分数高于1(20分)的约有20000×0.02275=455人，故C错误；
对D，由数学考试成绩X近似服从正态分布N(90,σ2)(σ>0)知P(X>90)=12，
由n次独立重复试验可知，从参加考试的同学中任取3人，至少有2人的分数超过90(分)的概率为C32(12)2(12)+C33(12)3=38+18=12，故D正确．
故选：BD.
根据正态分布中μ，σ的意义判断AB选项，根据σ=15计算对应的概率求出人数判断C，由独立重复试验计算至少有2人的分数超过90(分)的概率判断D.
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
12.【答案】BCD
【解析】解：因为f(x)=x(x−3)2，所以f′(x)=3x2−12x+9=3(x−3)(x−1)，
令f′(x)=0，解得x=1或x=3，
当f′(x)>0时，x>3或x<1，所以f(x)单调递增区间为(−∞,1)和(3,+∞)；
当f′(x)<0时，1f(a)=f(b)=f(c)=t，则0又f(x)−t=(x−a)(x−b)(x−c)，所以x(x−3)2−t=(x−a)(x−b)(x−c)，
即x3−6x2+9x−t=x3−(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x−abc，
对照系数得a+b+c=6，故选项C正确；
abc=t∈(0,4)，故选项D正确；
因为3故选：BCD.
对f(x)求导，利用导数判断函数的单调区间，从而可得函数的大致图象，再设f(a)=f(b)=f(c)=t，由图象可得知a，b，c的取值范围，从而可判断A；又根据f(x)−t=(x−a)(x−b)(x−c)，对照系数可得a+b+c的值，可得abc得取值范围，从而可判断C，D；结合A和C即可判断B.
本题考查了导数与单调性关系的应用，还考查了函数性质的综合应用，属于中档题．
13.【答案】y=−2x
【解析】解：由y=2ln(−x+1)，得y′=−2−x+1，则y′|x=0=−2，
又x=0时，y=0，
∴曲线y=2ln(−x+1)在x=0处的切线方程为y=−2x.
故答案为：y=−2x.
求出原函数的导函数，得到函数在x=0处的导数值，再求出f(0)，利用直线方程的斜截式得答案．
本题考查临沂导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．
14.【答案】−32
【解析】解：由Tr+1=C4r(−2x)r=(−2)rC4rxr，
令r=3，得T4=−32x3.
∴在(1−2x)4的展开式中含x3项的系数为−32.
故答案为：−32
写出二项展开式的通项，由x的指数为3得到r值，则答案可求．
本题考查二项式系数的性质，熟记二项展开式的通项是关键，是基础题．
15.【答案】23
【解析】解：将4个1和2个0随机排成一行，4个1产生5个空，
若将2个0相邻，则有C51=5种排法，若2个0不相邻，则有C52=10种排法；
所以2个1不相邻的概率为1010+5=23.
故答案为：23.
直接利用古典概型问题的应用，利用排列和组合问题的应用求出结果．
本题考查的知识要点：古典概型问题，排列数和组合数，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
16.【答案】(−1e2,0)∪(0,1e)
【解析】解：当x≤0时，f(x)=(x+1)ex，所以f′(x)=(x+2)ex，
当x<−2时，f′(x)<0，函数f(x)在(−∞,−2)上单调递减，
当20，函数f(x)在(−2,0)上单调递增，
且f(0)=1，f(−2)=−1e2，f(−1)=0，
当x<−1时，f(x)<0，当−10，
当x→−∞时，与一次函数y=x+1相比，函数y=e−x增长更快，
从而f(x)=(x+1)e−x→0，
当x>0时，f(x)=lnxx，所以f′(x)=1−lnxx2，
当00，函数f(x)在(0,e)上单调递增，
当e且f(1)=0，f(e)=1e，
当x>1时，f(x)>0，当0当x→−∞时，与对数函数y=lnx相比，一次函数y=x增长更快，
从而f(x)=lnxx→0，
当x>0时，且x→0时，f(x)=lnxx→−∞，
根据以上信息，可作出函数f(x)的大致图象：
令(f(x)−2)(f(x)−a)=0，得f(x)=a或f(x)=2，
由图象可得f(x)=2没有解，
所以方程(f(x)−2)(f(x)−a)=0的解的个数与方程f(x)=a解的个数相等，
而方程f(x)=a的解的个数与函数y=f(x)的图象与函数y=a的图象的交点个数相等，
由图知当a∈(−1e2,0)∪(0,1e)时，函数y=f(x)的图象与函数y=a的图象有3个交点．
故答案为：(−1e2,0)∪(0,1e).
利用导数法，作出函数f(x)的大致图象，令(f(x)−2)(f(x)−a)=0，f(x)=a或f(x)=2，由f(x)=2没有解，得到(f(x)−2)(f(x)−a)=0的解的个数与方程f(x)=a解的个数相等求解．
本题考查函数零点与方程根的关系，属于中档题．
17.【答案】解：(1)在二项式(2x−1)n的展开式中，
若选填①，只有第6项的二项式系数最大，则展开式中有11项，即n=10；
若选填②，第4项与第8项的二项式系数相等，
则Cn3=Cn7，即n=10；
若选填③，所有二项式系数的和为210，
则2n=210，即n=10.
故n=10；
(2)∵二项式(2x−1)10的展开式的通项Tr+1=C10r(2x)10−r(−1)r=(−1)r210−rC10r⋅x10−r，
可知x的奇数次方的系数为负，x的偶数次方的系数为正．
在(2x−1)10=a0+a1x+a2x2+⋯⋯+anxn中，
取x=0，得a0=1；
取x=−1，得a0−a1+a2−a3+⋯+a10=310.
∴|a1|+|a2|+|a3|+...+|an|=a0−a1+a2−a3+⋯+a10−a0=310−1；
【解析】(1)根据题意，由二项式的性质即可得到n的值；
(2)根据题意，由(1)可得n=10，从而得到其展开式的通项，然后再取x=0与x=−1即可得到结果．
本题主要考查二项式定理的应用，属于中档题．
18.【答案】18.解：(1)零假设为H：学生患近视与长时间使用电子产品无关，
X2=200×(45×80−20×55)2100×100×65×135≈14.245>6.635，
根据小概率α=0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关联；
(2)令A1=“每天长时间使用电子产品的学生”，A2=“每天非长时间使用电子产品的学生”，
B=“任意调查一人，此人近视”，
则Ω=A1∪A2，且A1，A2互斥，
P(A1)=0.3，P(A2)=0.7，P(B|A1)=0.6，P(B)=0.46，
依题意，P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.3×0.6+0.7×P(B|A2)=0.46，
解得P(B|A2)=0.4，
所以从每天非长时间使用电子产品的学生中任意调查一名学生患近视的概率为0.4.
【解析】(1)计算X2，对照临界值即可得出结论；
(2)设令A1=“每天长时间使用电子产品的学，A2=“每天非长时间使用电子产品的学生”，B=“任意调查一人，此人近视”，利用全概率公式计算即可．
本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了全概率公式应用问题，是中档题．
19.【答案】解：(1)函数f(x)的导函数为f′(x)=3x2+2ax+b，
由题意得f′(−2)=12−4a+b=0f′(−1)=3−2a+b=−1，解得a=4b=4，
∴f(x)=x3+4x2+4x+1.
(2)由(1)得f′(x)=3x2+8x+4=(3x+2)(x+2).
当−3≤x≤0时，由f′(x)≥0，得−3≤x≤−2或−23≤x≤0；
由f′(x)≤0，得−2≤x≤−23.
∴函数f(x)在x=−2处取极大值，在x=−23处取极小值，
∴f(−3)=−2，f(−2)=1，f(−23)=−527，f(0)=1，
∴函数f(x)在区间[−3,0]上的最小值为−2，最大值为1.
【解析】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的极值、最值的求法，属于中档题．
(1)求出导函数，利用切线的斜率与极值点，列出方程组求解即可．
(2)判断函数的单调性求出极值以及函数的端点值，即可得到函数f(x)在区间[−3,0]上的最小值和最大值．
20.【答案】解：(1)由散点图知，散点分布在一条对数型曲线附近，所以选择回归方程y =c +d lnx更合适；
(2)令ω=lnx，此时y =c +d ω，
因为i=110(ωi−ω−)(yi−y−)=66，i=110(ωi−ω−)2=6.6，
所以d =i=110(ωi−ω−)(yi−y−)i=110(ωi−ω−)2=666.6=10，
此时c =y−−d ω−=30.3−10×2=10.3，
则y关于ω的线性回归方程为y =10.3+10ω，
因为ω=lnx，
所以y关于x的回归方程为y =10.3+10lnx，
当x=28时，y ≈43.6，
则当观看人次为280万人时的销售量约为43600件．
【解析】(1)由题意，根据散点图来确定选择那种类型；
(2)令ω=lnx，结合题目所给信息求出d 和c 的值，进而可得y关于x的回归方程，将x=28代入方程中即可求解．
本题考查线性回归方程的应用，考查了数据分析和运算能力．
21.【答案】解：(1)由题意可知，所求概率P=C41C22C63×C31(23)1(1−23)2+C42C21C63×(1−22)3=115.
(2)设甲公司正确完成面试的题数为X，则X的取值分别为1，2，3，
P(X=1)=C41C22C63=15，P(X=2)=C42C21C63=35，P(X=3)=C43C20C63=15.
则X的分布列为：
∴E(X)=1×15+2×35+3×15=2，
D(X)=(1−2)2×15+(2−2)2×35+(3−2)2×15=25.
(3)设乙公司正确完成面试的题为Y，则Y取值分别为0，1，2，3，
P(Y=0)=127，P(Y=1)=C31×23×(13)2=29，
P(Y=2)=C32×(23)2×13=49，P(Y=3)=(23)3=827，
则Y的分布列为：
∴E(Y)=0×127+1×29+2×49+3×827=2.(或∵Y∼B(3,23)，
∴E(Y)=3×23=2，D(Y)=(0−2)2×127+(1−2)2×29+(2−2)2×49+(3−2)2×827=23.(D(Y)=3×23×13=23)
由E(X)=E(Y)，D(X)【解析】(1)利用独立重复试验的概率公式求解甲、乙两家公司共答对2道题目的概率．
(2)设甲公司正确完成面试的题数为X，则X的取值分别为1，2，3.求出概率，得到X的分布列求解期望；
(3)设乙公司正确完成面试的题为Y，则Y取值分别为0，1，2，3.求出概率得到分布列，求出期望即可，比较即可得结论．
本题考查独立重复试验概率以及分布列期望的求法，考查计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由题意得f(x)的定义域是(0,+∞)，
f′(x)=1x−a=1−axx，
当a≤0时，f′(x)>0；
当a>0时，由f′(x)>0得01a，
综上所述，当a>0时，f(x)在(0,1a)上单调递增，在(1a,+∞)上单调递减；
当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；
(2)证明：因为f(x)有两个相异的零点，又由于x>0，
故不妨令x1>x2>0，且有lnx1=ax1，lnx2=ax2，
∴lnx1+lnx2=a(x1+x2)，lnx1−lnx2=a(x1−x2)，
要证x1⋅x2>e2⇔ln(x1⋅x2)>2
⇔lnx1+lnx2>2⇔a>2x1+x2
⇔lnx1−lnx2x1−x2>2x1+x2
⇔lnx1−lnx2>2(x1−x2)x1+x2
⇔lnx1x2>2(x1x2−1)x1x2+1，
令t=x1x2，则t>1，
故只要证明当t>1时，lnt>2(t−1)t+1恒成立，
令g(t)=lnt−2(t−1)t+1，t>1，
则g′(t)=1t−4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2>0，
故g(t)在(1,+∞)上单调递增，∴g(t)>g(1)=0，
∴t>1时，g(t)>0恒成立，即lnt−2(t−1)t+1>0恒成立，
即lnt>2(t−1)t+1恒成立，从而证明x1x2>e2，
故x1x2>e2.
【解析】(1)由题意得f(x)的定义域是(0,+∞)，f′(x)=1x−a=1−axx，分类讨论a≤0，a>0，即可得出答案；
(2)不妨令x1>x2>0，用分析法对x1x2>e2进行等价转化，最后可构造函数即可证明结论成立．
本题考查了函数的零点、应用导数研究函数的单调性、最值，对于恒成立问题往往转化为函数最值解决，属于中档题．长时间使用电子产品
非长时间使用电子产品
近视
45
55
未近视
20
80
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
x−
y−
ω−
i=110(xi−x−)2
i=110(ωi−ω−)2
i=110(xi−x−)(yi−y−)
i=110(ωi−ω−)(yi−y−)
9.4
30.3
2
366
6.6
439.2
66
X
1
2
3
P
15
35
15
Y
0
1
2
3
P
127
29
49
827