2022-2023学年湖北省武汉市部分重点中学高二（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年湖北省武汉市部分重点中学高二（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.样本数据x1，x2，…，xn的平均数x−=4，方差S2=1，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2xn+1的平均数，方差分别为( )
A. 9，4B. 9，2C. 4，1D. 2，1
2.某同学参加篮球测试，老师规定每个同学罚篮10次，每罚进一球记5分，不进记−1分，已知该同学的罚球命中率为60%，并且各次罚球互不影响，则该同学得分的数学期望为( )
A. 30B. 36C. 20D. 26
3.从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为( )
A. 13B. 23C. 49D. 59
4.某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶青生产红茶.根据其种植经验，在正常环境下，甲、乙两个品种的茶青每500克的红茶产量(单位：克)分别为X，Y，且X∼N(μ1,σ12)，Y∼N(μ2,σ22)，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是( )
A. Y的数据较X更集中
B. P(X≤c)c)+P(Y≤c)=1
5.若f(x)=alnx+bx2+x在x=1和x=2处有极值，则函数f(x)的单调递增区间是( )
A. (−∞,1)B. (2,+∞)C. (1,2)D. (12,1]
6.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为第一象限内一点，且点P在双曲线C的一条渐近线上，PF1⊥PF2，且|PF1|=3|PF2|，则双曲线C的离心率为( )
A. 52B. 52C. 102D. 54
7.一堆苹果中大果与小果的比例为9：1，现用一台水果分选机进行筛选.已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为5%，把小果筛选为大果的概率为2%.经过一轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为( )
A. 855857B. 8571000C. 171200D. 910
8.已知正三棱锥的高为h，且1≤h≤3，其各个顶点在同一球面上，且该球的表面积为16π，则该三棱锥体积的最大值为( )
A. 64 327B. 64 39C. 16 327D. 16 39
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.以下说法正确的是( )
A. 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
B. 若A、B两组数据的样本相关系数分别为rA=0.97，rB=−0.99，则A组数据比B组数据的相关性较强
C. 决定系数R2越小，模型的拟合效果越差
D. 有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率是715
10.爆竹声声辞旧岁，银花朵朵贺新春.除夕夜里小光用3D投影为家人进行虚拟现实表演，表演分为“燃爆竹、放烟花、辞旧岁、迎新春”4个环节.小光按照以上4个环节的先后顺序进行表演，每个环节表演一次.假设各环节是否表演成功互不影响，若每个环节表演成功的概率均为34，则( )
A. 事件“成功表演燃爆竹环节”与事件“成功表演辞旧岁环节”互斥
B. “放烟花”、“迎新春”环节均表演成功的概率为916
C. 表演成功的环节个数的期望为3
D. 在表演成功的环节恰为3个的条件下“迎新春”环节表演成功的概率为34
11.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于P(x1,y1)，Q(x2,y2)两点，点P在l上的射影为P1，则下列说法正确的是( )
A. 若x1+x2=5，则|PQ|=7
B. 以PQ为直径的圆与准线l相交
C. 设M(0,1)，则|PM|+|PP1|≥ 2
D. 过点M(0,1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线有3条
12.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，E为边AB的中点，沿DE将△ADE折起，点A折至A1处(A1∉平面ABCD，若M为线段A1C的中点，二面角A1−DE−C大小为α，直线A1E与平面DEBC所成角为β，则在△ADE折起过程中，下列说法正确的是( )
A. 存在某个位置，使得BM⊥A1D
B. △A1EC面积的最大值为2 2
C. 三棱锥A1−EDC体积最大是4 23
D. 当α为锐角时，存在某个位置，使得sinα=2sinβ
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某校高三年级进行了一次高考模拟测试，这次测试的数学成绩X∼N(90,δ2)，且P(X0)−x,(x≤0)，若直线y=kx+1与曲线y=f(x)有且只有一个公共点，则实数k的取值范围是______.
16.近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道亮丽的风景线.某外卖小哥每天来往于4个外卖店(外卖店的编号分别为1，2，3，4)，约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余3个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推.假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的3个外卖店取单，设事件Ak={第k次取单恰好是从1号店取单}，P(Ak)是事件Ak发生的概率，显然P(A1)=1，P(A2)=0，则P(A3)=______，P(A10)=______(第二空精确到0.01).
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，2a1+a2=a3，数列{bn}满足2bn=4an(Sn+1).
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)记Tn为数列{1bnbn+1}的前n项和，正数m≤Tn恒成立，求m的取值范围.
18.(本小题12分)
国内某企业，研发了一款环保产品，为保证成本，每件产品售价不低于43元，经调研，产品售价x(单位：元/件)与月销售量y(单位：万件)的情况如表所示：
(1)求相关系数r(结果保留两位小数)；
(2)建立y关于x的经验回归方程，并估计当售价为55元/件时，该产品的月销售量约为多少件？
参考公式：对于一组数据(xi,yi)(i=1,2,3,⋯,n)，相关系数r=i=1n(xi−x−)(yi−y−) i=1n(xi−x−)2 i=1n(yi−y−)2，其回归直线y =b x+a 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2,a =y−−b ⋅x−.( 34≈5.83)
19.(本小题12分)
某车企随机调查了今年某月份购买本车企生产的20n(n∈N*)台新能源汽车车主，统计得到如表2×2列联表，经过计算可得χ2≈5.556.
(1)完成表格并求出n值，并判断有多大的把握认为购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别有关；
(2)采用比例分配的分层抽样法从调查的不喜欢和喜欢新能源汽车的车主中随机抽取12人，再从抽取的12人中抽取4人，设被抽取的4人中属于不喜欢新能源汽车的人数为X，求X的分布列及数学期望.
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.
20.(本小题12分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b,0xcsx，x∈(0,π2)，
先证左边：x>sinx，令h(x)=x−sinx，h′(x)=1−csx>0，h(x)在(0,π2)单调递增，
∴h(x)>h(0)=0，即x>sinx.
再证右边：sinx>xcsx，令k(x)=sinx−xcsx，k′(x)=csx−csx+xsinx=xsinx>0，
∴k(x)在(0,π2)上单调递增，
∴k(x)>k(0)=0，即sinx>xcsx，
∴x∈(0,π2)时，x>g(x)>f(x).
(2)解：sinxx−f(x)g(x)=sinxx−xcsxasinx，
令F(x)=sinxx−xcsxasinx，x∈(−π2,0)∪(0,π2)，
因为F(−x)=F(x)，所以题设等价于F(x)>0在(0,π2)恒成立，
由(1)知，当x∈(0,π2)时，x>sinx>csx，于是：
①当a0恒成立；
②当a>0时，F(x)>0等价于asin2x−x2csx>0，
(i)当0xcsx，即可证得x>g(x)0恒成立，即可求出a的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，不等式的证明，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．时间x
1
2
3
4
5
销售量y(千只)
0.5
0.8
1.0
1.2
1.5
售价x(元/件)
52
50
48
45
44
43
月销售量y(万件)
5
6
7
8
10
12
喜欢
不喜欢
总计
男性
10n
_____
12n
女性
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3n
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总计
15n
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_____
P(x2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
喜欢
不喜欢
总计
男性
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2n
12n
女性
5n
3n
8n
总计
15n
5n
20n
X
0
1
2
3
P
1455
2855
1255
155