2022-2023学年湖北省武汉外国语学校高二（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年湖北省武汉外国语学校高二（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.(1−2x)8展开式中第4项的二项式系数为( )
A. −448B. 1120C. 56D. 70
2.根据变量Y和x的成对样本数据，用一元线性回归模型Y=bx+a+eE(e)=0,D(e)=σ2得到经验回归模型y =b x+a ，对应的残差如图所示，模型误差( )
A. 满足一元线性回归模型的所有假设
B. 不满足一元线性回归模型的E(e)=0的假设
C. 不满足一元线性回归模型的D(e)=σ2假设
D. 不满足一元线性回归模型的E(e)=0和D(e)=σ2的假设
3.设随机变量X的概率分布列如图所示，则D(2X+7)=( )
A. 0.84B. 3.36C. 1.68D. 10.36
4.命题：“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定是( )
A. ∃x∈R，∃n∈N*，使得nx2+2lnx+2
C. 当x>−m，且m≤2时，ex>ln(x+m)
D. x∈R时，sinx≤x
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
10.设离散型随机变量X，非零常数a，b，下列说法正确的有( )
A. E(aX+b)=aE(X+ba)B. D(aX+b)=a2D(X+ba)
C. D(X)=E(X2)−E(X)D. D(X)=E(X2)−(E(X))2
11.下列说法正确的有( )
A. 命题：“∀x∈R，1x>0”的否定是：“∃x∈R，1x≤0”
B. 命题：“若x>1，则2x+1>5”的否定是：“若x>1，则2x+1≤5”
C. 已知x，y∈R，则“x或y为有理数”是“xy为有理数”的既不充分也不必要条件
D. 如果x，y是实数，则“x≠y”是“csx≠csy”的必要不充分条件
12.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足：对∀x，y∈(0,+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)，则对于∀x，y∈(0,+∞)，n∈N*，下式成立的有( )
A. f(x+y)=f(x)f(y)B. f(xy)=f(x)−f(y)
C. f(xn)=nf(x)D. f(nx)=1nf(x)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数f(x)=ex(2x−1)x−1的单调减区间为______.
14.2160有______个不同的正因数.
15.已知某商品进价为a元/件，根据以往经验，当售价是b(b≥43a)元/件时，可卖出c件，市场调查表明，当售价下降10%时，销量可增加40%.现决定一次性降价，为获得最大利润，售价应定为______元/件.(用含a，b的式子表示)
16.已知n∈N*，n≥2，计算Cn1+22Cn2+32Cn3+⋯+n2Cnn=______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120∘，求：
(1)直线AD与平面BDC所成角的大小；
(2)平面ABD和平面BDC夹角的余弦值.
18.(本小题12分)
(1)设集合A={x|x2−(a+1)x+a=0,a∈R}，B={x|x2−5x+4=0}，求：A∩B，A∪B.
(2)已知x，y，z都是正数，且满足x32+y32+z32=32，求证：xy+z+yz+x+zx+y≤34 xyz.
19.(本小题12分)
已知数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，若a3=32，S3=92.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)已知数列{bn}是等差数列，b1=2，如果等差数列{cn}的通项cn满足cn=n2bn(n∈N+).令xn=an⋅bncn(n∈N+)，求数列{xn}的前n项和Tn.
20.(本小题12分)
甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.
(1)求n(n∈N+)次传球后球在甲手中的概率；
(2)求n(n∈N+)次传球后球在乙手中的概率；
(3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi=1)=1−P(Xi=0)=qi，i=1，2，…，n，则E(i=1nXi)=i=1nqi，记前n次传球后(即从第1次传球到第n次传球后)球在甲手中的次数为Y，求E(Y).
21.(本小题12分)
平面内与两定点A1(−a,0)，A2(a,0)(a>0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1，A2两点所成的曲线记为曲线C.
(1)求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；
(2)若m=−1时，对应的曲线为C1；对给定的m∈(−1,0)∪(0,+∞)，对应的曲线为C2.设F1，F2是C2的两个焦点，试问：在C1上是否存在点N，使得△F1NF2的面积S=|m|a2，并证明你的结论.
22.(本小题12分)
已知矩形ABCD(AB>AD)的周长为6.
(1)把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P，求△ADP的最大面积；
(2)若AB=2，AD=1，如图，AB，AD分别在x轴，y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合，将矩形ABCD折叠，使A点落在线段DC上，设折痕所在直线的斜率为k，问当k为何值时，折痕的长度取最大值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据二项式系数的定义可知，二项式各项二项式系数为：C80，C81，C82，C83，…C88，
所以(1−2x)8的展开式中第4项的二项式系数是C83=56.
故选：C.
根据已知条件，结合二项式系数的定义，即可求解．
本题考查二项展开式中二项式系数的计算，注意二项展开式项的系数与二项式系数的区别，是基础题，
2.【答案】C
【解析】解：用一元线性回归模型Y=bx+a+eE(e)=0,D(e)=σ2得到经验回归模型y =b x+a ，
根据对应的残差图，残差的均值E(e)=0可能成立，
但明显残差的x轴上方的数据更分散，D(e)=σ2不满足一元线性回归模型，正确的只有C.
故选：C.
根据一元线性回归模型Y=bx+a+eE(e)=0,D(e)=σ2有关概念即可判断．
本题考查了一元线性回归模型的含义，属于中档题．
3.【答案】B
【解析】解：由题意知：E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.4+4×0.1=2.4.
所D(X)=(1−24)2×0.2+(2−0.4)2×0.3+(3−0.4)2×0.4+(4−0.4)2×0.1=0.84，
D(2X+7)=4D(X)=4×0.84=3.36.
故选：B.
先计算出E(X)，即可计算出D(X)，即可计算D(2X+7).
本题考查排列组合的应用，属于中档题．
4.【答案】B
【解析】解：命题命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”，
则命题的否定为：∃x∈R，∀n∈N*，使得n0.5时向右偏倚，当p1，显然(x+1)ln(x+1)−xlnx>0，x(x+1)ln2(x+1)>0，
所以f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以有f(5)>f(3)，即ln5ln6>ln3ln4，
即lg65>lg43，A错误；
对于B，令g(x)=ex−(1+x)，h(x)=x−(lnx+1)，
则g′(x)=ex−1，h′(x)=1−1x，
当01，g′(x)=ex−1>0，h′(x)=1−1x>0，g(x)，h(x)单调递增，
又g(1)=0，h(1)=0，所以g(x)≥0，h(x)≥0，
所以有当x>0，x(ex−1+2)≥x(x+2)≥x2+2lnx+2，
由于等号在同一点取得，所以x(ex−1+2)≥x2+2lnx+2，当且仅当x=1，等号成立，
对于C，令I(x)=x−ln(x+1)，同上可证明I(x)≥0，
结合上面分析所以有ex≥1+x≥ln(x+2)，
由于等号不是在同一点取得，所以ex>ln(x+2)，
当m≤2，自然有ex>ln(x+m)，C正确；
对于D，由于sin(−π2)=−1>−π2，所以D错误．
故选：C.
构造函数并结合反例进行分析即可．
本题主要考查对数的比较，构造函数是解决本题的关键．
10.【答案】ABD
【解析】解：对于A，E(aX+b)=aE(X+ba)，故A正确；
对于B，D(aX+b)=a2D(X)=a2D(X+ba)，故B正确；
对于C，D，D(X)=E(X2)−(E(X))2，故C错误；D正确．
故选：ABD.
根据已知条件，结合期望与方差的线性公式，即可求解．
本题主要考查期望与方差的线性公式，属于基础题．
11.【答案】CD
【解析】解：对于A，命题“∀x∈R，1x>0”的否定为“∃x∈R，1x≤0”或“x=0”，A错误；
对于B，命题“若x>1，则2x+1>5”的否定为“存在x>1，使2x+1≤5”，B错误；
对于C，x，y∈R，则“x或y为有理数”是“xy为有理数”的既不充分也不必要条件，
比如x=1，y=π，满足“x或y为有理数”，但xy=π是无理数，所以”x或y为有理数”是“xy为有理数”的不充分条件，再比如x= 2，y= 2，满足“xy为有理数”，但x，y都不是有理数，所以”x或y为有理数”是“xy为有理数”的不必要条件，所以“x或y为有理数”是“xy为有理数”的既不充分也不必要条件，C正确；
对于D，由于余弦函数为周期函数，所以若“x≠y”，不一定有“csx≠csy”，
“x≠y”是“csx≠csy”不充分条件，
若“csx≠csy”，则x，y必不相等，所以“x≠y”是“csx≠csy”的必要条件，
所以如果x，y是实数，则“x≠y”是“csx≠csy”的必要不充分条件，D正确．
故选：CD.
命题的否定是对命题结论的否定，相当于找命题的漏洞，由此分析各选项即可．
本题主要考查命题否定的概念以及充要条件，属中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：因为xy⋅y=x，
所以f(x)=f(xy⋅y)=f(xy)+f(y)，
所以f(xy)=f(x)−f(y)，故B正确；
所以f(xn)=f(x)+f(xn−1)=f(x)+f(x)+f(xn−2)=…=f(x)+f(x)+…+f(x)=nf(x)，故C正确；
又因为x=(nx)n=nx×nx×nx×…×nx，
所以f(x)=f(nx)+f(nx)+…+f(nx)=nf(nx)，故D正确；
对于A，由题意可设f(x)=lnx，x>0，
则f(x+y)=ln(x+y)，
而f(x)f(y)=lnxlny≠ln(x+y)，故A错误．
故选：BCD.
设函数f(x)=lnx，x>0判断A选项，结合有f(xy)=f(x)+f(y)判断B，C，D选项．
本题考查了抽象函数的应用、对数的基本运算及逻辑推理能力，属于中档题．
13.【答案】(0,1)和(1,32)
【解析】解：由题意得函数定义域为{x|x≠1}，f′(x)=ex⋅[2x−1x−1+2(x−1)−(2x−1)(x−1)2]=ex⋅2x2−3x(x−1)2，
由f′(x)=0得x=0或x=32，由f′(x)