2022-2023学年湖南省郴州市嘉禾六中高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2022-2023学年湖南省郴州市嘉禾六中高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x||x|≤1}，B={x|2x>1}，则A∩B=( )
A. [1,+∞)B. [−1,+∞)C. (0,1]D. (0,1)
2.若iz=2+i，则z−=( )
A. 1+2iB. −1+2iC. 1−2iD. −1−2i
3.若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1，a2=b2=2，b5=16，则{an}的公差为( )
A. 1B. −1C. −2D. 2
4.在财务审计中，我们可以用本福特定律来检验数据是否造假.本福特定律指出，在一组没有人为编造的自然生成的数据(均为正实数)中，首位非零数字是1，2，⋯，9这九个事件并不是等可能的.具体来说，假设随机变量X是一组没有人为编造的数据的首位非零数字，则P(X=k)=lgk+1k，k=1，2，⋯，9.根据本福特定律，首位非零数字是1的概率与首位非零数字是8的概率之比约为( )
(参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477)
A. 4B. 5C. 6D. 7
5.在△ABC中，点D满足BD=12CD，则AD=( )
A. 2AB−ACB. −AB+2ACC. 12AB+12ACD. 23AB+13AC
6.椭圆x2a2+y23=1(a> 3)的左、右焦点分别为F1，F2，A为上顶点，若△AF1F2的面积为 3，则△AF1F2的周长为( )
A. 8B. 7C. 6D. 5
7.设a=lg2π，b=sin1，c= 22，则( )
A. a>b>cB. b>a>cC. a>c>bD. c>b>a
8.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)<1−f′(x)，f(0)=4，则不等式f(x)<1+3ex解集为( )
A. (1,+∞)B. (−∞,1)C. (0,+∞)D. (−∞,0)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.以下四个命题中，真命题的有( )
A. 在回归分析中，可用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好
B. 回归模型中残差是实际值yi与估计值y 的差，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高
C. 对分类变量x与y的统计量χ2来说，χ2值越小，判断“x与y有关系”的把握程度越大
D. 已知随机变量X服从二项分布B(n,13)，若E(3X+1)=6，则n=6
10.已知函数f(x)=sinωx+csωx(ω>0)图象的最小正周期是π，则( )
A. f(x)的图象关于点(3π8,0)对称
B. 将f(x)的图象向左平移π8个单位长度，得到的函数图象关于y轴对称
C. f(x)在[0,π2]上的值域为[−1,1]
D. f(x)在[−π4,0]上单调递增
11.已知函数f(x)=x3−x+2，则( )
A. 函数f(x)在R上单调递增B. f(x)有三个零点
C. f(x)有两个极值点D. 直线y=2x是曲线y=f(x)的切线
12.在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱ABC−A1B1C1展开，得到的平面图如图所示．其中AB=4，AC=3，BC=AA1=5，M是BB1上的点，则( )
A. AM与A1C1是异面直线
B. AC⊥A1M
C. 平面AB1C将三棱柱截成两个四面体
D. A1M+MC的最小值是 106
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知平面向量a=( 3,1)，b=(1,− 3)，求|a+2b|=______.
14.已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(1+x)=f(3−x)，则f(x)的一个解析式为f(x)=______.
15.有三台车床加工同一型号的零件，第一台加工的次品率为0.06，第二三台加工的次品率均为0.05，加工出来的零件混放在一起.已知第一、二、三台车床加工的零件数分别占总数的0.25、0.3、0.45，任取一个零件，求它是次品的概率______.
16.在数列{an}中，已知a1=1，an+1={3an,n为奇数an+2,n为偶数，则a8=______，当 n为偶数时，an=______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
如图，在平面四边形ABCD中，∠ADB=45∘，∠BAD=105∘，AD= 62，BC=2，AC=3.
(1)求边AB的长；
(2)求△ABC的面积.
18.(本小题12分)
已知公差不为零的等差数列{an}的首项为1，且a1，a2，a5是一个等比数列的前三项，记数列{an}的前n项和为Sn.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{(−1)nSn}的前2n项的和.
19.(本小题12分)
飞盘运动是一项入门简单，又具有极强的趣味性和社交性的体育运动，目前已经成为了年轻人运动的新潮流.某俱乐部为了解年轻人爱好飞盘运动是否与性别有关，对该地区的年轻人进行了简单随机抽样，得到如下列联表：
(1)在上述爱好飞盘运动的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)依据小概率值α=0.0的独立性检验，能否认为爱好飞盘运动与性别有关联？如果把上表中所有数据都扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断爱好飞盘运动与性别之间的关联性，结论还一样吗？请解释其中的原因.
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.
20.(本小题12分)
正三棱柱ABC−A1B1C1中，BC=CC1=2，D为BC的中点，点E在AA1上.
(1)证明：BC⊥平面A1AD；
(2)若二面角A1−DE−C1大小为30∘，求以A1，E，D，C1为顶点的四面体体积.
21.(本小题12分)
已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 3x+y=0，且左焦点F到渐近线的距离为 3，直线l1、l2经过F且互相垂直(斜率都存在且不为0)，与双曲线C分别交于点A、B和M、N，D、E分别为AB、MN的中点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)证明：直线DE过定点.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=2xlnx−2ax2，a∈R.
(1)当a=12，求f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)≤f′(x)2−lnx−1在(1,+∞)恒成立，求实数a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵A={x|−1≤x≤1}，B={x|2x>20}={x|x>0}，
∴A∩B=(0,1].
故选：C.
可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
本题考查了绝对值不等式的解法，指数函数的单调性，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：∵iz=2+i，
∴z=2+ii=1−2i，
∴z−=1+2i.
故选：A.
根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．
本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：设等比数列{bn}的公比为q，b2=2，b5=16，
则b2=b1⋅q=2b5=b1⋅q4=16，解得q=2，
∴a1=b1=1，
设等差数列{an}的公差为d，a2=2，
则a2=a1+d=1+d=2，解得d=1，
故选：A.
根据等差数列和等比数列的通项公式，列出关于公比q的方程组，求出q，可得a1，即可得出答案．
本题考查等差数列和等比数列的综合，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：由题意可得：P(X=1)P(X=8)=lg2lg98=lg2lg9−lg8=lg22lg3−3lg2≈0.3013×0.477−3×0.301≈6.
故选：C.
根据题意结合对数运算求解．
本题主要考查了古典概率公式及对数的运算性质，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：由题，BD=12CD，
∴B、C、D三点共线．
∴B是CD的中点，
∴AB=12AD+12AC，
∴AD=2AB−AC.
故选：A.
根据题意，BD=12CD，B、C、D三点共线，根据平面向量基本定理，可得AB=12AD+12AC，所以AD=2AB−AC.
本题主要考查平面向量共线定理和基本定理，属于基础题，较简单．
6.【答案】C
【解析】解：设椭圆x2a2+y23=1(a> 3)的半短轴长为b，半焦距为c，
则b= 3，△AF1F2的面积S=12|F1F2|⋅b= 3c，
由题意得 3c= 3，
∴c=1，a= b2+c2=2，
由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|=2a=4，
又|F1F2|=2c=2，则△AF1F2的周长为4+2=6.
故选：C.
设椭圆的半焦距为c，由条件利用c表示△AF1F2的面积，由条件列方程求c，再由a，b，c关系求a，根据椭圆定义求|AF1|+|AF2|，即可得出答案．
本题考查椭圆的性质，考查转化思想，考查运算能力，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：因为 22=sinπ4又a=lg2π>lg22=1，
所以a>b>c.
故选：A.
根据对数函数、正弦函数的性质判断即可．
本题考查对数函数、正弦函数的性质，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：f(x)<1+3ex等价于exf(x)令F(x)=exf(x)−ex−3，
则F′(x)=exf(x)+exf′(x)−ex=ex[f(x)+f′(x)−1]，
因为f(x)<1−f′(x)，即f(x)+f′(x)−1<0，且有ex>0，
所以F′(x)<0，
故函数F(x)在R上单调递减，
由F(0)=4−1−3=0，
故F(x)<0的解集是(0,+∞).
故选：C.
条件等价于求exf(x)−ex−3>0的解集，构造函数F(x)=exf(x)−ex−3，利用导数及相关条件可判断出函数F(x)单调递减，进而可得其解集．
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．
9.【答案】AB
【解析】解：对于A，由相关指数的定义知：R2越大，模型的拟合效果越好，A正确；
对于B，残差点所在的带状区域宽度越窄，则残差平方和越小，模型拟合精度越高，B正确；
对于C，由独立性检验的思想知：χ2值越大，“x与y有关系”的把握程度越大，C错误．
对于D，∵E(3X+1)=3E(X)+1=6，
∴E(X)=53，
又∵X∼B(n,13)，
∴E(X)=n3=53，解得：n=5，D错误．
故选：AB.
根据相关指数的定义确定A；
根据残差的性质确定B；
根据独立性检验确定C；
根据二项分布与均值的运算确定D.
本题主要考查独立性检验，残差和独立性的定义，以及二项分布的期望公式，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：因为f(x)=sinωx+csωx= 2sin(ωx+π4)，
∵函数的最小正周期是π，
∴T=π=2πω，
∴ω=2，f(x)= 2sin(2x+π4)，
∵f(3π8)=sin(2×3π8+π4)=sinπ=0，
∴f(x)关于(3π8,0)对称，故A正确．
∵f(x+π8)= 2sin(2x+π2)= 2cs2x，
∴f(x+π8)关于y轴对称，故B正确．
当0≤x≤π2时，有0≤2x≤π，则π4≤2x+π4≤54π，所以− 22≤sin(2x+π4)≤1，
∴f(x)∈[−1, 2]，故C错误．
由−π2≤2x+π4≤π2，解得−38π≤x≤π8，
所以f(x)的一个单调增区间为[−3π8,π8]，而[−π4,0]⊆[−3π8,π8]，
∴f(x)在[−π4,0]上单调递增，故D正确．
故选：ABD.
利用赋值角公式将函数化简，再根据函数的最小正周期求出ω，即可得到函数的解析式，由正弦函数的对称性可判断A；由函数图象的平移变换，结合余弦函数的性质可判断B；根据x的范围和正弦函数的性质直接求解可判断C；根据正弦函数单调性通过解不等式可判断D.
本题考查了三角函数的周期、对称性、值域及单调性，属于中档题．
11.【答案】CD
【解析】解：函数f(x)=x3−x+2，定义域为R，f′(x)=3x2−1，
令f′(x)>0，解得x<− 33或x> 33；
令f′(x)<0，解得− 33则f(x)在(−∞,− 33)和( 33,+∞)上单调递增，在(− 33, 33)上单调递减，
极大值为f(− 33)=2+2 39，极小值为f( 33)=2−2 39>0，f(−2)=−4<0，f( 33)=2−2 39>0，函数图像如图所示，
则函数f(x)的图像与x轴只有一个交点，即f(x)只有一个零点，
所以AB选项错误，C选项正确；
曲线y=f(x)切线的切点坐标为(x0,f(x0))，当切线斜率为2时，f′(x0)=3x02−1=2，解得x0=±1，
当x0=1时，切点坐标为(1,2)，切线方程为y−2=2(x−1)，即y=2x，D选项正确．
故选：CD.
利用导数研究函数单调性和极值，通过极值判断函数零点个数，通过导数的几何意义求已知斜率的切线方程．
本题考查导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：由题设，可得如下直三棱柱，
由直三棱柱的结构特征知：AM与A1C1是异面直线，故A正确；
∵AA1⊥AC，BA⊥AC，且AA1∩BA=A，则AC⊥面AA1B1B，
∵A1M⊂面AA1B1B，∴AC⊥A1M，故B正确；
由图知：面AB1C将三棱柱截成四棱锥B1−ACC1A1和三棱锥B1−ABC，
一个五面体和一个四面体，故C错误；
将面AA1B1B和面CC1B1B展开成一个平面，如图，
当A1，M，C共线时，A1M+MC最小为 106，故D正确．
故选：ABD.
根据展开图还原直三棱柱，根据其结构特征及线面垂直的性质判断ABC，将面AA1B1B和面CC1B1B展开为一个平面，利用三点共线求A1M+MC的最小值．
本题考查命题真假的判断，考查直三棱柱的展开图、结构特征等基础知识，考查空间想象能力等基础知识，是中档题．
13.【答案】2 5
【解析】解：a+2b=( 3,1)+2(1,− 3)=( 3+2,1−2 3)，
所以模长为|a+2b|= ( 3+2)2+(1−2 3)2=2 5.
故答案为：2 5.
利用向量坐标的加减运算和模长计算公式得到答案．
本题主要考查向量模公式，属于基础题．
14.【答案】cs(π2x)
【解析】解：∵f(x)为R上的偶函数，∴f(−x)=f(x)，
又f(1+x)=f(3−x)，∴用3+x替换x，得f(x+4)=f(−x)，
∴f(x+4)=f(x)，∴f(x)的周期为4，
则f(x)的一个解析式可以为f(x)=cs(π2x)，
故答案为：cs(π2x)(答案不唯一).
由已知条件可推出f(x)的周期为4，从而得解．
本题主要考查了函数的周期性，属于基础题．
15.【答案】0.0525
【解析】解：设事件B表示“任取一个零件为次品”，事件Ai表示“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3)，
则Ω=A1∪A2∪A3，A1，A2，A3两两互斥，
P(A1)=0.25，P(A2)=0.3，P(A3)=0.45，
P(B|A1)=0.06，P(B|A2)=P(B|A3)=0.05，
∴由全概率公式得取一个零件，它是次品的概率为：
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05
=0.0525.
故答案为：0.0525.
设事件B表示“任取一个零件为次品”，事件Ai表示“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3)，则Ω=A1∪A2∪A3，A1，A2，A3两两互斥，P(A1)=0.25，P(A2)=0.3，P(A3)=0.45，P(B|A1)=0.06，P(B|A2)=P(B|A3)=0.05，由全概率公式能求出取一个零件，它是次品的概率．
本题考查概率的运算，考查全概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】1592×3n2−3
【解析】解：因为在数列{an}中，已知a1=1，an+1={3an,n为奇数an+2,n为偶数，
所以a2=3a1=3，a3=a2+2=5，a4=3a3=15，a5=a4+2=17，
a6=3a5=51，a7=a6+2=53，a8=3a7=159，
令n=2k−1，则a2k=3a2k−1，a2k+2=3a2k+1，
令n=2k，则a2k+1=a2k+2，
所以a2k+2=3a2k+6，
所以a2k+2+3=3(a2k+3)，
所以数列{a2k+3}是以3为公比，6为首项的等比数列，
所以a2k+3=6×3k−1=2×3k，
所以a2k=2×3k−3，
所以an=2×3n2−3，
所以当n为偶数时，an=2×3n2−3，
故答案为：159，2×3n2−3.
根据递推式求解出a8，令n=2k−1，则a2k=3a2k−1，令n=2k，则a2k+1=a2k+2，从而可得a2k+2=3a2k+6，进而可求出当n为偶数时的通项公式．
本题考查由数列递推式求通项的应用，属中档题．
17.【答案】解：(1)在△ABD中，∠ABD=180∘−(45∘+105∘)=30∘，
由正弦定理得AB=AD⋅sin45∘sin30∘= 62× 2= 3.
(2)在△ABC中，由余弦定理得cs∠ABC=AB2+BC2−AC22AB×BC=( 3)2+22−322 3×2=− 36.
∴sin∠ABC= 1−cs2∠ABC= 336.
∴S△ABC=12×AB×BC×sin∠ABC=12× 3×2× 336= 112.
【解析】(1)在△ABD中利用正弦定理可得解；
(2)在△ABC中，先由余弦定理得cs∠ABC，进而得sin∠ABC，最后利用面积公式求解即可．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)设等差数列{an}的公差为d，又a1=1，所以an=1+(n−1)d.
因为a1，a2，a5是一个等比数列的前三项，所以a1a5=a22，
即1+4d=(1+d)2，又d≠0，所以d=2，
所以数列{an}的通项公式为an=2n−1,n∈N*；
(2)由(1)知数列{an}的前n项和Sn=1+2n−12×n=n2，
所以(−1)nSn=(−1)nn2，
数列{(−1)nSn}的前2n项的和为(−12)+22+(−32)+42+⋯−(2n−1)2+(2n)2
=1+2+3+4+⋯+(2n−1)+2n=1+2n2×2n=2n2+n.
【解析】(1)由等差、等比数列的性质计算即可；
(2)先求出(−1)nSn的通项，再用并项求和法求和即可．
本题考查等差数列的通项公式、求和公式，以及数列的并项求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)样本中爱好飞盘运动的年轻人中男性16人，女性24人，比例为4：6，
按照性别采用分层抽样的方法抽取10人，则抽取男性4人，女性6人，
随机变量X的取值为：0，1，2，3，
P(X=0)=C63C103=16，
P(X=1)=C41C62C103=12，
P(X=2)=C42C61C103=310，
P(X=3)=C43C103=130，
随机变量X的分布列为：
随机变量X的数学期望E(X)=0×16+1×12+2×310+3×130=65；
(2)零假设为H0：爱好飞盘运动与性别无关联．
根据列联表的数据，经计算得到χ2=50×(6×24−4×16)210×40×22×28≈1.299<6.635=x0.01，
根据小概率值α=0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为爱好飞盘运动与性别无关联；
列联表中所有数据都扩大到原来的10倍后，
χ2=500×(60×240−40×160)2100×400×220×280≈12.99>6.635=x0.01，
根据小概率值α=0.011的独立性检验，推断H0成立，即认为爱好飞盘运动与性别有关联；
所以结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断结论发生了变化．
【解析】(1)分别写出对相应概率列分布列求数学期望即可；
(2)先求χ2再根据数表对应判断相关性即可，对比两次χ2的值可以得出结论说明原因．
本题考查了独立性检验和离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．
20.【答案】(1)证明：∵正三棱柱ABC−A1B1C1，则AA1⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，∴BC⊥AA1，
又D为BC的中点，则AD⊥BC，AD、AA1⊂平面A1AD，AD∩A1A=A，
∴BC⊥平面A1AD.
(2)解：由题意，△ABC为正三角形，D为BC的中点，AD⊥BC，如图建立空间坐标系，
由(1)易知平面A1ED法向量n1=(1,0,0)，
设AE=h，则E(0, 3,h)，D(0,0,0)，C1(1,0,2)，则DE=(0, 3,h),DC1=(1,0,2)，
设n2=(x,y,z)为平面DEC1的一个法向量，
则n2⋅DE= 3y+hz=0n2⋅DC1=x+2z=0，取z= 3，则n2=(−2 3,−h, 3)，
由题意cs30∘=|n1⋅n2||n1|⋅|n2|=2 3 (−h)2+15= 32，解得h=1或h=−1(舍去)，
∵S△AED=12×1× 3= 32，点C1到平面A1ED距离为1，
∴以A，E，D，C1为顶点的四面体体积为V=13× 32×1= 36.
【解析】(1)由线面垂直的判定定理可证；
(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量求出AE长度，再求以A1，E，D，C1为顶点的四面体体积．
本题主要考查线面垂直的证明，二面角的求法，棱锥体积的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1的渐近线方程为 3x+y=0，
所以ba= 3，①
因为左焦点F到渐近线的距离为 3，
所以d=|− 3c| ( 3)2+1= 3，②
又a2+b2=c2，③
联立①②③，解得a=1，b= 3，
所以双曲线C的方程为x2−y23=1；
(2)证明：不妨设直线l1的方程为y=k(x+2)(k≠± 3)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立y=k(x+2)x2−y23=1，消去y并整理得(3−k2)x2−4k2x−4k2−3=0，
易知Δ=36k2+36>0
由韦达定理得x1+x2=4k23−k2，
所以x1+x22=2k23−k2，y1+y22=k(x1+x2+4)2=6k3−k2，
此时D(2k23−k2,6k3−k2)，
因为直线l1、l2经过F且互相垂直(斜率都存在且不为0)，
不妨设直线l2的方程为y=−1k(x+2)(k≠± 33)，C(x3,y3)，D(x4,y4)，
联立y=−1k(x+2)x2−y23=1，消去y并整理得(3k2−1)x2−4x−3k2−4=0，
易知Δ=36k4+36k2>0，
由韦达定理得x3+x4=43k2−1，
所以x3+x42=23k2−1，y3+y42=−1k(x3+x4+4)2=−6k3k2−1，
此时E(23k2−1,−6k3k2−1)，
当2k23−k2=23k2−1，即k=±1时，直线DE的方程为x=1，
当k≠±1,k≠± 33,k≠± 3时，直线DE的斜率为6k3−k2−−6k3k2−12k23−k2−23k2−1=2kk2−1，
直线DE的方程为y−6k3−k2=2kk2−1(x−2k23−k2)，
即y=2kk2−1(x−1)，
所以直线DE过点(1,0)，
又直线x=1过点(1,0)，
综上，直线DE过定点(1,0).
【解析】(1)由题意，根据所给渐近线方程、左焦点F到渐近线的距离以及a2+b2=c2，列出等式求出a，b的值，进而得到双曲线C的方程；
(2)先利用设而不求的方法分别求出D，E两点的坐标，进而得到直线DE的方程，再进行分析即可求解．
本题考查双曲线的性质和直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．
22.【答案】解：(1)当a=12时，f(x)=2xlnx−x2，
所以f′(x)=2lnx−2x+2，令g(x)=f′(x)=2lnx−2x+2，所以g′(x)=2x−2，
当x∈(0,1)时，g′(x)>0，故g(x)为增函数；
当x∈(1,+∞)时，g′(x)<0，故g(x)为减函数，
所以g(x)≤g(1)=2ln1−2+2=0，即f′(x)≤0，
所以函数f(x)的单调递减区间为(0,+∞)，无单调递增区间．
(2)因为f(x)=2xlnx−2ax2，所以f′(x)=2lnx−4ax+2，
所以f(x)≤f′(x)2−lnx−1在x∈(1,+∞)上恒成立，
即2(xlnx−ax2)≤lnx−2ax+1−lnx−1在x∈(1,+∞)上恒成立，
转化为lnx−ax+a≤0在x∈(1,+∞)上恒成立，
令h(x)=lnx−ax+a，x∈(1,+∞)，则h′(x)=1x−a且h(1)=0
当a≤0时，h′(x)>0恒成立，故h(x)在x∈(1,+∞)上为增函数，
所以h(x)>h(1)=0，即a≤0时不满足题意；
当a>0时，由h′(x)=0，得x=1a，
若a∈(0,1)，则1a∈(1,+∞)，故h(x)在(1a,+∞)上为减函数，在(1,1a)上为增函数，
所以存在x0∈(1,1a)，使得h(x0)>h(1)=0，即a∈(0,1)时不满足题意；
若a∈(1,+∞)，则1a∈(0,1)，故h(x)在(1,+∞)上为减函数，
所以h(x)综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).
【解析】(1)当a=12时，f(x)=2xlnx−x2，f′(x)=2lnx−2x+2，令g(x)=f′(x)=2lnx−2x+2，利用导数研究函数的单调性即可得出．
(2)由f(x)=2xlnx−2ax2，可得f′(x)=2lnx−4ax+2，可得f(x)≤f′(x)2−lnx−1在x∈(1,+∞)上恒成立，即2(xlnx−ax2)≤lnx−2ax+1−lnx−1在x∈(1,+∞)上恒成立，转化为lnx−ax+a≤0在x∈(1,+∞)上恒成立，令h(x)=lnx−ax+a，x∈(1,+∞)，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．性别
飞盘运动
合计
不爱好
爱好
男
6
16
22
女
4
24
28
合计
10
40
50
α
0.1
0.01
0.001
xα
2.706
6.635
10.828
X
0
1
2
3
P
16
12
310
130