2022-2023学年湖南省衡阳市衡南县高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2022-2023学年湖南省衡阳市衡南县高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.A={x|x≤2}，B={x∈Z|0≤x≤4}，则A∩B=( )
A. {x|0≤x≤2}B. {x|−2≤x≤4}C. {1,2}D. {0,1,2}
2.在复平面内，复数z对应的点的坐标为(1,2)，则zi=( )
A. 2+iB. −2+iC. −2−iD. 1+2i
3.命题p：∃x>1，x2−2x>0的否定为( )
A. ∀x>1，x2−2x≤0B. ∀x≤1，x2−2x≤0
C. ∃x≤1，x2−2x≤0D. ∃x>1，x2−2x≤0
4.已知a=(0,5),b=(2,−1)，则b在a上的投影向量的坐标为( )
A. (0,1)B. (−1,0)C. (0,−1)D. (1,0)
5.马林⋅梅森(MarinMersenne,1588−1648)是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物.梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p−1作了大量的计算、验证工作.人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2p−1(其中p是素数)的素数，称为梅森素数(素数也称质数).在不超过40的素数中，随机选取3个不同的数，至少有一个为梅森素数的概率是( )
A. 755B. 1755C. 3455D. 4155
6.设随机变量η∼N(1,σ2)，若P(η<−1)=P(η>2a−1)，则a的值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
7.等腰三角形的底和腰之比为 5−12(黄金分割比)的三角形称为黄金三角形，它被称为最美的三角形.如图，正五角星由五个黄金三角形和一个正五边形组成，且黄金三角形ABC的顶角A=36∘.根据这些信息，可求得cs216∘的值为( )
A. − 5+14
B. − 5−12
C. 1− 54
D. −3+ 58
8.已设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，椭圆C上的两点A，B关于原点对称，且满足FA⋅FB=0，|FB|≤|FA|≤2|FB|，则椭圆C的离心率的取值范围是 ( )
A. 22, 53B. 53,1C. 22, 3−1D. [ 3−1,1)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的有( )
A. 在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法
B. 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和
C. 线性回归方程对应的直线y =b x+a 至少经过其样本数据点中的一个点
D. 在回归分析中，决定系数R2越大，模拟的效果越好
10.若函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图，则( )
A. f(x)是以π为周期的周期函数
B. f(x)的图象向左平移π3个单位长度得到的图象对应的函数是奇函数
C. f(x)在[5π12,5π6]上单调递减
D. f(x)的图象的对称中心为(kπ2+π12,0)，k∈Z
11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则( )
A. 异面直线D1C和BC1所成的角为π4
B. 点A到平面BC1D的距离为2 33
C. 若P，Q分别为线段C1D，AC的中点，则PQ//平面ABC1D1
D. 线段PQ长度的最小值为2 33
12.函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，若f(x)为奇函数，且f(x+2)=f(x)，则( )
A. f′(x)为偶函数
B. f′(0)=0
C. f(x)的图象关于(1,0)对称
D. 若F(x)=f(x)+xf′(x)，则F′(x)为奇函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.(1x−x3)4的二项展开式中的常数项为______.
14.小智和电脑连续下两盘棋，已知小智第一盘获胜的概率是0.5，小智连续两盘都获胜的概率是0.4，那么小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是______.
15.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是y=f(x)的导数，φ(x)是y=f′(x)的导数，若方程φ(x)=0有实数解x0，则称点(x0,f(x0))为曲线y=f(x)的“拐点”，可以发现，任何一个三次函数都有“拐点”.设函数g(x)=2x3−3x2+4x−3，则g(12023)+g(22023)+⋯+g(20222023)=______.
16.若x>0，设[x]表示x的整数部分，{x}表示x的小数部分，如[2.1]=2，{2.1}=0.1.已知数列{an}的各项都为正数，a1= 2，且an+1=[an]+1{an}，则a2023=______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
等比数列{an}的公比为2，且a2，a3+2，a4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=lg2an+an，求数列{bn}的前n项和Tn.
18.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cb−a=sinA+sinBsinA+sinC.
(Ⅰ)求角B的大小；
(Ⅱ)若sinC=2sinA，且S△ABC=2 3，求a和c；
(Ⅲ)若b= 3，ac=1，求△ABC的周长.
19.(本小题12分)
如图，矩形ABCD是圆柱OO1的一个轴截面，点E在圆O上，AD=AE=3，且∠ABE=60∘，EF=λED(0≤λ≤1).
(1)当λ=12时，证明：平面OAF⊥BDE；
(2)若直线AF与平面ODE所成角的正弦值为 105，试求此时λ的值.
20.(本小题12分)
第22届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，这是我国继北京后第二次举办亚运会.为迎接这场体育盛会，浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市A社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A社区参加市亚运知识竞赛.已知A社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为12,13,12，通过初赛后再通过决赛的概率均为13，假设他们之间通过与否互不影响.
(1)求这3人中至少有1人通过市知识竞赛的概率
(2)某品牌商赞助了A社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：
方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为13，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖励600元：
方案二：只参加了初赛的选手奖励100元，参加了决赛的选手奖励400元.
若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好.
21.(本小题12分)
如图，已知椭圆Γ1：x28+y24=1的两个焦点为F1，F2，且F1，F2为双曲线Γ2的顶点，双曲线Γ2的离心率e= 2，设P为该双曲线Γ2上异于顶点的任意一点，直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，且直线PF1和PF2与椭圆Γ1的交点分别为A，B和C，D.
(1)求双曲线Γ2的标准方程；
(2)证明：直线PF1，PF2的斜率之积k1⋅k2为定值；
(3)求|AB||CD|的取值范围.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex−ax−1.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)∀x∈(0,+∞)，关于x的不等式ex−1+xln(tx)≥x2+2x恒成立，求正实数t的取值范围.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：B={0,1,2,3,4}，
∴A∩B={0,1,2}.
故选：D.
根据交集的定义求解即可．
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：因为复数z对应的点的坐标为(1,2)，
所以z=1+2i，
所以zi=i+2i2=−2+i.
故选：B.
由复数的几何意义确定复数z，再由复数乘法求zi.
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：原命题的否定为：∀x>1，x2−2x≤0.
故选：A.
根据题意，由特称命题的否定是全称命题即可得到结果．
本题考查特称命题的否定相关知识，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：a=(0,5),b=(2,−1)，
则b在a上的投影向量为|b|cs⟨a⋅b⟩a|a|=a⋅b|a|×a|a|=−55×(0,1)=(0,−1).
故选：C.
根据投影向量的定义即可求解．
本题主要考查投影向量的定义，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意，设在不超过40的素数中，随机选取3个不同的数，至少有一个为梅森素数为事件A，
则A−为取出的三个数中，不含梅森素数，
不超过40的素数，有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37一共有12个．
其中梅森素数为：3，7，31，共有3个．
不含梅森素数的概率为P(A−)=C93C123=2155，
则随机选取3个素数，至少有一个梅森素数的概率P(A)=1−P(A−)=1−C93C123=3455.
故选：C.
列举法找出所有不超过40的素数和梅森素数，计算随机抽取其中3个素数时，不含梅森素数的概率，利用对立事件的性质分析可得答案．
本题考查古典概型的计算，注意用间接法分析，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由题意可得：正态曲线的对称轴为x=μ=1，
若P(η<−1)=P(η>2a−1)，则−1+(2a−1)=2，解得a=2.
故选：B.
根据正态分布的对称性分析运算．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：由图形知∠A=36∘，则12∠A=18∘，
所以sin18∘=12×BCAC=12× 5−12= 5−14，
∴cs36∘=1−2sin218∘=1−2×( 5−14)2=1+ 54，
∴cs216∘=cs(180∘+36∘)=−cs36∘=−1+ 54.
故选：A.
由图可得sin18∘=12×BCAC，再利用倍角余弦公式可得cs36∘，再结合诱导公式即可求解．
不同检查解三角形问题，三角函数的公式的应用，属基础题．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查椭圆的离心率的计算，结合椭圆的定义进行转化是解决本题的关键，综合性较强，属于拔高题．
根据条件判断四边形AFBF′为矩形，结合椭圆的定义结合椭圆离心率方程进行转化求解即可．
【解答】解：作出椭圆的左焦点F′，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF′为平行四边形，
又FA⋅FB=0，
即FA⊥FB，故平行四边形AFBF′为矩形，
∴|AB|=|FF′|=2c，
设|AF′|=n，|AF|=m，
则在直角三角形ABF中，m+n=2a，m2+n2=4c2，①
得mn=2b2，②
①÷②得mn+nm=2c2b2，令mn=t，得t+1t=2c2b2，
又由|FB|≤|FA|≤2|FB|，得mn=t∈[1,2]，
∴t+1t=2c2b2∈[2,52]，即c2b2∈[1,54]，
即1≤c2b2≤54，得45≤b2c2≤1，
即45≤a2−c2c2≤1，
即45≤a2c2−1≤1，
则95≤a2c2≤2，
即12≤c2a2≤59，得 12≤e≤ 59，
得 22≤e≤ 53，
则椭圆的离心率的取值范围是[ 22, 53]，
故选：A.
9.【答案】ABD
【解析】解：对于A选项，在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，A对；
对于B选项，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和，B对；
对于C选项，线性回归方程对应的直线必过样本中心点(x−,y−)，不一定过样本数据点中的一个点，C错；
对于D选项，在回归分析中，决定系数R2越大，模拟的效果越好，D对．
故选：ABD.
利用独立性检验的概念可判断A选项；利用离散型随机变量的概念可判断B选项；利用回归直线的概念可判断C选项；利用决定系数R2与模拟效果的关系可判断D选项．
本题主要考查独立性检验，线性回归方程，考查命题真假的判断，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：由题图可知A=2，因为当x=0时，f(x)=− 3，所以sinφ=− 32.
因为|φ|<π2，所以φ=−π3，所以f(x)=2sin(ωx−π3).
由题图可知14T<5π12<12T，所以5π6由题图可知，当x=5π12时，y取得最大值，
所以5πω12−π3=π2+2kπ，k∈Z，解得ω=245k+2，k∈Z.
又65<ω<125，所以ω=2，所以f(x)=2sin(2x−π3).
对于A，T=2π2=π，则A正确．
对于B，f(x)的图象向左平移π3个单位长度得到函数g(x)=2sin(2x+π3)的图象，
此函数不是奇函数，故B错误．
对选项C，x∈[5π12,5π6]，则2x−π3∈[π2,4π3]⊆[π2,3π2]，
所以f(x)在[5π12,5π6]上单调递减，故C正确．
对选项D，2x−π3=kπ，k∈Z，得x=kπ2+π6，k∈Z，
所以f(x)的图象的对称中心为(kπ2+π6,0)，k∈Z，则D错误．
故选：AC.
首先根据函数图象得到f(x)=2sin(2x−π3)，对于选项A，根据三角函数的周期性即可判断A正确，对选项B，f(x)向左平移π3后得到g(x)=2sin(2x+π3)，不是奇函数，即可判断B错误，对选项C，根据2x−π3∈[π2,4π3]⊆[π2,3π2]，即可判断C正确，对选项D，根据f(x)的图象的对称中心为(kπ2+π6,0)，即可判断D错误．
本题主要考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：因为AD1//BC1，
所以异面直线D1C和BC1所成的角即为D1C和AD1所成的角∠AD1C，
因为AD1=AC=CD1，
所以△AD1C为等边三角形，即∠AD1C=π3，故A错误；
连接AC1如图所示：
点A到平面BC1D的距离为h，
因为VA−BC1D=VC1−ABD，
所以13S△BC1D⋅h=13S△ABD⋅C1C，
因为S△BC1D=12×2 2×2 2×sin60∘=2 3,S△ABD=12×2×2=2,C1C=2，
所以h=2 33，
所以点A到平面BC1D的距离为2 33，故B正确；
当P，Q分别为线段C1D，AC的中点时，
则PQ为△BC1D的中位线，所以PQ//BC1，
又PQ⊄平面ABC1D1，BC1⊂平面ABC1D1，
所以PQ//平面ABC1D1，故C正确；
以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
则D(0,0,0)，C1(0,2,2)，
设P(x,y,z)，DP=λDC1(0≤λ≤2 2)，
所以(x,y,z)=λ(0,2,2)，
所以P(0,2λ,2λ)，
设Q(a,b,c)，AQ=μAC(0≤μ≤2 2)，
又A(2,0,0)，C(0,2,0)
所以(a−2,b,c)=λ(−2,2,0)，
所以Q(2−2μ,2μ,0)，
所以|PQ|= (2−2μ)2+(2λ−2μ)2+(2λ)2= 8(λ−μ2)2+6(μ−23)2+43，
当λ−μ2=0μ−23=0，即λ=13μ=23时，|PQ|有最小值，
所以PQmin=2 33，故D选项正确．
故选：BCD.
利用异面直线所成角的概念判断选项A，利用等体积法求点到面的距离判断B，利用线面平行的判定定理判断C，建立空间直角坐标系利用向量共线的性质判断选项D.
本题考查异面直线所成角的求解，等体积法求解点面距问题，线面平行的证明，坐标法求解两点间距离的最值，属中档题．
12.【答案】AC
【解析】解：因为f(x)为奇函数且在定义域R上可导，即f(−x)=−f(x)，
所以两边对x取导可得(−x)′f′(−x)=−f′(x)，即f′(−x)=f′(x)，
所以f′(x)为偶函数，故A正确；
对于B：令f(x)=sin(πx)，显然f(x)为奇函数，且最小正周期T=2ππ=2，
即满足f(x+2)=f(x)，则f′(x)=πcs(πx)，则f′(0)=π，故B错误；
对于C：因为f(x+2)=f(x)且f(x)为R上的奇函数，所以f(−x)=−f(x)，
即f(x+2)=−f(−x)，所以f(x−1+2)=f(x+1)=−f(1−x)，即f(x+1)+f(1−x)=0，
所以f(x)的图象关于(1,0)对称，故C正确；
对于D：因为F(x)=f(x)+xf′(x)，则F(−x)=f(−x)−xf′(−x)=−f(x)−xf′(x)=−F(x)，
即F(x)为奇函数，由A可知F′(x)为偶函数，故D错误．
故选：AC.
根据简单复合函数的求导法则及奇偶性的定义判断A、D，利用特殊值判断B，根据周期性及奇偶性判断函数的对称性，即可判断C.
本题主要考查导数的综合应用，考查转化能力，属于中档题．
13.【答案】−4
【解析】解：(1x−x2)4的二项展开式Tr+1=C4r⋅(1x)4−r⋅(−1)r⋅x3r=C4r(−1)rx4r−4，
令4r−4=0，解得r=1，
故展开式的常数项为C41⋅(−1)1=−4.
故答案为：−4.
直接利用二项展开式求出常数项．
本题考查的知识要点：二项展开式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
14.【答案】0.8
【解析】解：根据题意，设A=小智第一盘获胜，B=小智第二盘获胜，
则P(A)=0.5，P(AB)=0.4，则(B|A)=P(AB)P(A)=
故答案为：0.8.
根据题意，设A=小智第一盘获胜，B=小智第二盘获胜，易得P(A)=0.5，P(AB)=0.4，由条件概率公式计算可得答案．
本题考查条件概率的计算，注意条件概率的计算公式，属于基础题．
15.【答案】−3033
【解析】解：因为g(x)=2x3−3x2+4x−3，
所以g′(x)=6x2−6x+4，
设h(x)=6x2−6x+4，则h′(x)=12x−6，
令h′(x)=12x−6=0，可得x=12，
又g(12+x)=2(12+x)3−3(12+x)2+4(12+x)−3=2x3+52x−32g(12−x)=2(12−x)3−3(12−x)2+4(12−x)−3=−2x3−52x−32，
所以g(12+x)+g(12−x)=−3，即g(x)+g(1−x)=−3，
所以g(12023)+g(20222023)=g(22023)+g(20212023)=⋅⋅⋅=g(10112023)+g(10122023)=−3，
所以g(12023)+g(22023)+⋯+g(20222023)=−3033.
故答案为：−3033.
由题意对已知函数进行二次求导，证明函数关于点(12,0)中心对称，即g(1−x)+g(x)=0，由此可得到结果．
本题主要考查了函数的求导，还考查了函数性质在函数求值中的应用，属于中档题．
16.【答案】4044+ 2
【解析】解：由a1= 2得a2=[a1]+1{a1}=[ 2]+1{ 2}=1+1 2−1=1+ 2+1=2+ 2，
a3=[a2]+1{a2}=[2+ 2]+1{2+ 2}=2+[a1]+1{a1}=2+2+ 2=4+ 2，
a4=[a3]+1{a3}=[4+ 2]+1{4+ 2}=4+[a1]+1{a1}=4+2+ 2=6+ 2，
依次类推知an+1=[an]+1{an}=2n+ 2，
所以a2023=2×2022+ 2=4044+ 2.
故答案为：4044+ 2.
根据[x]，{x}表示的含义，即可代入求解a2，a3，⋯，通过规律即可归纳求解．
本题主要考查数列递推式，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)∵等比数列{an}的公比q=2，且a2，a3+2，a4成等差数列，
∴2(a3+2)=a2+a4，
∴2(4a1+2)=2a1+8a1，
∴a1=2，又q=2，
∴an=2n；
(2)∵bn=lg2an+an=n+2n，
∴Tn=(1+2+⋅⋅⋅+n)+(2+22+⋅⋅⋅+2n)
=n(n+1)2+2n+1−2.
【解析】(1)根据等差数列的性质，等比数列的通项公式，方程思想，即可求解；
(2)根据分组求和法，等差数列与等比数列的求和公式，即可求解．
本题考查差数列的性质，等比数列的通项公式，方程思想，分组求和法，等差数列与等比数列的求和公式，属中档题．
18.【答案】解：(Ⅰ)△ABC中，因为cb−a=sinA+sinBsinA+sinC，所以cb−a=a+ba+c，
所以ac+c2=b2−a2，即c2+a2−b2=−ac，
所以csB=c2+a2−b22ac=−ac2ac=−12，
因为0(Ⅱ)因为sinC=2sinA，所以c=2a，
又S△ABC=12acsinB= 34ac=2 3，所以ac=8，
所以a=2，c=4.
(Ⅲ)由余弦定理：3=b2=a2+c2−2accsB=(a+c)2−ac=(a+c)2−1，
所以a+c=2，所以△ABC的周长为2+ 3.
【解析】(Ⅰ)利用正弦定理角化边，再利用余弦定理计算csB得出B的大小；
(Ⅱ)根据正弦定理和面积公式求出a，c；
(Ⅲ)根据余弦定理得出a+c的值，进而求得周长．
本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，属于中档题．
19.【答案】解：(1)当λ=12时，点F为DE的中点，
∵AD=AE，∴AF⊥DE，
∵AB是底面圆的直径，∠AEB=90∘，∴AE⊥BE，
∵AD是圆柱的母线，∴AD⊥平面ABE，
∵BE⊂平面ABE，∴AD⊥BE，
又AD∩AF=A，AD，AF⊂平面ADE，
∴BE⊥平面ADE，∵AF⊂平面ADE，∴BE⊥AF，
∵BE∩ED=E，BE，DE⊂平面BDE，
∴AF⊥平面BDE，∵AF⊂平面OAF，∴平面OAF⊥平面BDE；
(2)过A在平面ABE内作直线⊥AB为x轴，AB为轴，AD为z轴建立空间直角坐标系，
∵AE=3，且∠ABE=60∘，∴BE= 3，AB=2 3，
则O(0, 3,0)，E(32,3 32,0)，D(0,0,3)，A(0,0,0)，
∴OE=(32, 32,0)，OD=(0,− 3,3)，ED=(−32,−3 32,3)，
EF=λED(0≤λ≤1).∴EF=λ(−32,−3 32,3)=(−32λ,−3 32λ,3λ)，
∴F(−32λ+32,−3 32λ+3 32,3λ)，
∴AF=(−32λ+32,−3 32λ+3 32,3λ)，
设平面ODE的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅OE=32x+ 32y=0n⋅OD=− 3y+3z=0，令y= 3，则z=1，x=−1，
∴平面ODE的一个法向量为n=(−1, 3,1)，
∴设直线AF与平面ODE所成角为θ，
∴sinθ=|cs|=|AF⋅n|AF|⋅|n||=|32λ−32−92λ+92+3λ| (−32λ+32)2+(−3 32λ+3 32)2+9λ2× 5=3 18λ2−18λ+9× 5= 105，
解得λ=12.
【解析】(1)由已知可证AF⊥DE，BE⊥AF，可证AF⊥平面BDE，可证平面OAF⊥平面BDE；
(2)过A在平面ABE内作直线⊥AB为x轴，AB为轴，AD为z轴建立空间直角坐标系，求得直线AF的方向向量与平面的法向量，利用向量法可求λ的值．
本题考查面面垂直的证明，考查线面角的求法，考查运算求解能力，属中档题．
20.【答案】解：(1)3人都没有通过初赛的概率为(1−12)×(1−13)×(1−12)=16，
所以，这3人中至少有1人通过市知识竞赛的概率为1−16=56.
(2)方案一：设三人中奖人数为X，所获奖金总额为Y元，则Y=600X，且X∼B(3,13)，
所以E(Y)=600E(X)=600×3×13=600元，
方案二：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为Z元，则Z的所有可能取值为300、600、900、1200，
则P(Z=300)=(1−12)×(1−13)×(1−12)=16，P(Z=600)=C21⋅12(1−12)(1−13)+13(1−12)2=512，P(Z=900)=(12)2×(1−13)+C21⋅12(1−12)×13=13，P(Z=1200)=12×13×12=112，
所以，E(Z)=300×16+600×512+900×13+1200×112=700.
所以E(Y)所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好．
【解析】(1)计算出3人都没有通过初赛的概率，再利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；
(2)利用二项分布及期望的性质求出方案一奖金总额的期望，对方案二，列出奖金总额为随机变量的所有可能取值，并求出对应的概率，求出其期望，比较大小作答．
本题主要考查离散型随机变量的数学期望，概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由椭圆Γ1：x28+y24=1的方程可得两个焦点F1，F2的坐标分别为(−2,0)，(2,0)，
题意可得双曲线的顶点坐标为(±2,0)，
设双曲线的方程为：x2a2−y2b2=1，则a=2，
又离心率e=ca= 2，∴c=2 2，∴b=2，
所以双曲线Γ2的标准方程为：x24−y24=1；
(2)证明：设P(x0,y0)，则x02−y02=4，
由题意k1⋅k2=y0x0+2⋅y0x0−2=y02x02−4=y02y02=1，
即证得直线PF1，PF2的斜率之积k1⋅k2为定值1；
(3)由(2)可得积k1⋅k2为定值1，可得直线PF1，PF2的斜率存在且不为0，
设直线PF1方程为x=my−2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立x=my−2x2+2y2=8，整理可得：(2+m2)y2−4my−4=0，
因为F1在椭圆内部，所以Δ>0，y1+y2=4m2+m2，y1y2=−42+m2，
所以|AB|= 1+m2⋅ (y1+y2)2−4y1y2= 1+m2⋅ 16m2(2+m2)2−4⋅−42+m2=4 2(1+m2)2+m2，
因为两条直线的斜率之积为1，则斜率的倒数之积也为1，同理可得|CD|=4 2(1+1m2)2+1m2=4 2(1+m2)1+2m2，
所以求|AB||CD|=4 2(1+m2)2+m24 2(1+m2)1+2m2=1+2m22+m2=2(2+m2)−32+m2=2−32+m2，
因为m是不为0的实数，所以2+m2>2，
因为渐近线方程的斜率为±1，直线与双曲线有两个交点，则直线PF1，PF2的斜率不等于±1，则m≠±1，
所以0<32+m2<32，m≠±1，
可得|AB||CD|的取值范围为(12,1)∪(1,2)，
所以|AB||CD|的取值范围为：(12,1)∪(1,2).
【解析】(1)由椭圆的方程可得它的焦点的坐标，即双曲线的顶点坐标，再由双曲线的渐近线的方程可得b的值，即求出双曲线的方程；
(2)设P的坐标，代入双曲线的方程，可得P的横纵坐标的关系，求出直线PF1，PF2的斜率之积的表达式，将P的横纵坐标的关系代入，可证得斜率之积为定值；
(3)由(2)可知两条直线的斜率为定值1，可得直线的斜率存在且不为0，且斜率的倒数之积也为1，设直线PF1的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，求出弦长|AB|的表达式，同理可得|CD|的表达式，进而求出|AB||CD|的表达式，分离常数，再由参数的范围，求出|AB||CD|的取值范围．
本题考查求双曲线的方程及直线与椭圆的综合应用，分离常数求值域的方法的应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)f′(x)=ex−a，
当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在R上递增；
当a>0时，令f′(x)=0解得x=lna，
所以f(x)在区间(−∞,lna)，f′(x)<0，f(x)递减；
在区间(lna,+∞)，f′(x)>0，f(x)递增．
综上所述，a≤0时，f(x)在 R上是增函数；a>0时，f(x)在(−∞,lna)上是减函数，在(lna,+∞)上是增函数；
(2)不等式ex−1+xln(tx)≥x2+2x，即ex−1+xlnt+xlnx≥x2+2x，
由于t>0，x>0，所以lnt≥−ex−1x−lnx+x+2恒成立，
设g(x)=−ex−1x−lnx+x+2(x>0)，g′(x)=−xex−1−ex−1x2−1x+1=−(x−1)(ex−1−x)x2，
由(1)知，a=1时，f(x)=ex−x−1，f(x)在(−∞,0)上是减函数，在(0,+∞)上是增函数，f(x)≥f(0)=0，
所以ex−x−1≥0，用x−1替换x得ex−1−x≥0，且x=1时，ex−1−x=0，
所以00，g(x)递增，x>1时，g′(x)<0，g(x)递减，
所以x=1时，g(x)max=g(1)=2，
所以lnt≥2，t≥e2，所以t的取值范围是[e2,+∞).
【解析】(1)求得f′(x)，对a进行分类讨论，从而求得f(x)的单调区间；
(2)由不等式ex−1+xln(tx)≥x2+2x分离lnt，利用构造函数法，结合导数求得t的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查转化能力，属于中档题．