2024高考数学基础知识综合复习冲A专题3平面向量的综合应用

这是一份2024高考数学基础知识综合复习冲A专题3平面向量的综合应用，共5页。
A.-1B.1
C.D.-
2.在△ABC中,AB=2,若=-,则∠A的最大值为( )
A.B.C.D.
3.已知平面向量a,b(a≠b)满足|a|=1,且a与b-a的夹角为150°.若c=(1-t)a+tb(t∈R),则|c|的最小值为( )
A.1B.C.D.
4.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一.每年新春佳节,我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗,以此达到装点环境、渲染气氛的目的,并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花,已知图2中正六边形ABCDEF的边长为2,圆O的圆心为正六边形的中心,半径为1,若点P在正六边形的边上运动,MN为圆O的直径,则的取值范围是( )
图1
图2
A.[2,4]B.[2,3]
C.,4D.,3
5.在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,D是AB的中点,E,F分别是边BC,AC上的动点,且EF=1,则的最小值等于( )
A.B.
C.D.
6.(2023浙江温州十校)已知向量a,b均为单位向量,且a⊥b,向量c满足|c|=,则(c-a)·(c-b)的最大值为( )
A.B.
C.D.4
7.(多选)已知向量a,b,c满足|a|=2,|b|=3,a·b=3,|c|2-2b·c+8=0,则下列说法正确的有( )
A.|c-b|=1
B.若c⊥(c-b),则|c|=2
C.∀t∈R,有|b+ta|≥恒成立
D.若c=λa+(1-λ)b,则|a-c|=-1
8.(多选)(2023浙江台金六校)在△OAB中,OA=1,OB=2,∠AOB=120°,P是等边三角形ABC(点O与C在AB的两侧)边上的一动点.若=x+y,则有( )
A.当x=时,点P必在线段AB的中点处
B.x+y的最大值是
C.的最小值是-1
D.的最大值为
9.在扇形OAB中,∠AOB=60°,C为弧AB上的一个动点.若=x+y,则3x+y的取值范围是 .
10.(2023浙江学军中学)在直角坐标平面内,A(-2,0),B(2,0),若对任意实数t∈R,点P都满足-t≥1,则的最小值为 .
11.(2023浙江奉化)如图,分别以等边三角形ABC的顶点为圆心,以边长为半径作圆弧,由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形.若该等边三角形ABC的边长为1,P为弧AB上的一个动点,则·()的最小值为 .
冲A专题三 平面向量的综合应用
1.C 解析 设D是BC中点,由重心的定义可知)=),所以)=-.所以x+y=-.故选C.
2.B 解析 设AB的中点为E,由=-,AB=2,得-1=-,∴,即点C在以E为圆心,为半径的圆上.当CA与圆相切时,∠A取到最大值.故选B.
3.C 解析 如图所示,设=a,=b,则=b-a,可令=t(b-a),t∈R,
则=a+t(b-a)=(1-t)a+tb=c,点D在BC上.
因为a与b-a的夹角为150°,则∠ABC=30°,
当AD⊥BC时,线段AD最短,此时|c|取最小值,
即|c|min=||sin30°=.故选C.
4.B 解析 如图,取AF的中点Q,根据题意,△AOF是边长为2的正三角形,易得|OQ|=,又=()·()=||2+=||2+·()-1=||2-1.
根据图形可知,当点P位于正六边形各边的中点时|PO|有最小值为,此时||2-1=2,当点P位于正六边形的顶点时,|PO|有最大值为2,此时||2-1=3,所以2≤≤3.故选B.
5.B 解析 (H为EF中点),又因为CH+DH≥CD,所以DH≥CD-CH==2.所以≥4-.
6.D 解析 (方法1)设=a,=b,=c,则由a⊥b可知△AOB是∠AOB=的等腰直角三角形.又由|c|=知点C在以O为圆心,为半径的圆上.设AB的中点为E,由极化恒等式得,(c-a)·(c-b)=≤2-=4.故选D.
(方法2)因为向量a,b均为单位向量,且a⊥b,可设a=(1,0),b=(0,1).
又因为|c|=,设c=(csθ,sinθ),θ∈[0,2π),
则c-a=(csθ-1,sinθ),c-b=(csθ,sinθ-1),可得(c-a)·(c-b)=csθ(csθ-1)+sinθ(sinθ-1)=2(cs2θ+sin2θ)-(sinθ+csθ)=2-2sinθ+.
因为θ∈[0,2π),所以θ+∈,
当且仅当θ+,即θ=,c=(-1,-1)时,(c-a)·(c-b)取最大值4.
故选D.
7.ABC 解析 设=a,=b,=c,|c|2-2b·c+8=0可化为(c-b)2=1,∴点C在以B为圆心,1为半径的圆上,故A正确;对于B,|c|2-2b·c+8=0可化为2c·(c-b)-c2+8=0,若c⊥(c-b),则c·(c-b)=0,∴|c|=2,故B正确;对于C,|b+ta|2=b2+2ta·b+t2a2=4t2+6t+9=4t+2+,∴|b+ta|≥,故C正确;对于D,c=λa+(1-λ)b,知点C在直线AB上,由|a|=2,|b|=3,a·b=3知在△AOB中,∠AOB=,如图,可知|a-c|不是定值,故D错误.故选ABC.
8.BC 解析 对于A,记D为AO的中点,过点D作DP∥OB交BC于点P,如图,
此时存在λ∈R,使得=λ,则+λ,
显然满足x=,但点P不在线段AB的中点处,故A错误;
对于B,延长OA,在OA上任取一点E'作E'P'平行于OB,如图,
则=OE'·,即x=OE',y=,
易得∠CBO=60°+∠ABO大于∠AOB=120°的外角,则AO与CB的延长线必交于一点,
故E'P'离OB越远,其值越大,同时,OE'的值也越大,
显然,当P'到达P点与C点重合时,OE'与E'P'都取得最大值,此时x+y也取得最大值,此时,在△OAB中,AB2=OA2+OB2-2OA·OBcs∠AOB=1+4-2×2×-=7,
所以AB=,则AC=,cs∠BAO=,
易知0°