2023-2024学年上海市松江区三新学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市松江区三新学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各组图形中，一定是相似图形的是( )
A. 两个等腰梯形B. 两个矩形C. 两个直角三角形D. 两个等边三角形
2.已知2x=3y(x≠0)，下列式子错误的是( )
A. xy=32B. x3=y2C. y：x=3：2D. xx+y=35
3.如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，下列各比例式不一定能推得DE/​/BC的是( )
A. ADBD=AECE
B. ADAB=DEBC
C. ABBD=ACCE
D. ADAB=AEAC
4.如图，已知D是△ABC边AB上的一点，如果∠BCD=∠A，那么下列结论中正确的是( )
A. AC2=AD⋅AB
B. BC2=BD⋅AB
C. CD2=AD⋅BD
D. AD2=BD⋅CD
5.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，那么tanA的值( )
A. 43B. 34C. 35D. 53
6.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，BC=2AD，对角线AC与BD相交于点O，把△ABO、△BCO、△COD、△DOA的面积分别记作S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确．( )
A. S2=2S1B. S1=S3C. S2=2S4D. S3=2S4
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.已知ab=cd=15，那么a+cb+d的值是______．
8.已知点P是线段AB的黄金分割点，AP>PB.若AB=2，则AP=______．
9.如图，点G是△ABC的重心，连结AG并延长交BC于点D，GE/​/AB交BC于E，若AB=6，那么GE=______．
10.如果两个相似三角形对应高的比是1：2，那么它们的面积比是______．
11.在Rt△ABC，∠C=90°，csA=12，则∠B=______．
12.如图所示，用手电来测量古城墙高度，将水平的平面镜放置在点P处，光线从点A出发，经过平面镜反射后，光线刚好照到古城墙CD的顶端C处．如果AB⊥BD，CD⊥BD，AB=1.5米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是______米．
13.如图，梯形ABCD中，点E、F分别在AB、DC边上，AD//BC//EF，BE：EA=1：2，若FC=2.5，则FD=______．
14.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，ADAC=AEAB=35，且△ABC的周长为20cm，那么△ADE的周长等于______cm．
15.在△ABC中，DE/​/BC，DE交边AB、AC分别于点D、E，如果△ADE与四边形BCED的面积相等，那么AD：DB的值为______．
16.如图，平行四边形ABCD中，AB=28，E，F是对角线AC上的两点，且点E，F是线段AC的三等分点，DE交AB于点M，MF交CD于点N，则CN= ______．
17.若定义等腰三角形顶角的Blp值为等腰三角形底边和底边上高的比值，即Blp顶角=底边底边上的高，若等腰△ABC，AB=AC，且BlpA=32，则csB= ______．
18.如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，将△ABE沿着直线AE翻折得到△AFE，点B的对应点F恰好落在线段DE上，线段AF的延长线交边CD于点G，如果BE：EC=3：2，那么AF：FG的值等于______．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
19.如图，已知AB/​/EF/​/CD，AD与BC相交于点O．
(1)如果CE=3，EB=9，DF=2，求AD的长；
(2)如果BO：OE：EC=2：4：3，AB=3，求CD的长．
四、解答题：本题共6小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题10分)
若x2=y3=z5，且3x+2y−z=14，求x，y，z的值．
21.(本小题10分)
计算：1−cs245°ct30∘+sin60∘⋅tan30∘．
22.(本小题10分)
已知：如图，在△ABC中，AB=6，BC=8，∠B=60°.求：
(1)△ABC的面积；
(2)∠C的余弦值．
23.(本小题12分)
如图，有一块面积等于1200cm2的三角形纸片ABC，已知底边BC与底边上的高的和为100cm(底边BC大于底边上的高)，要把它加工成一个正方形纸片，使正方形的一边EF在边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．
(1)求BC和底边上的高；
(2)求加工成的正方形纸片DEFG的边长．
24.(本小题12分)
已知如图，D是△ABC的边AB上一点，DE/​/BC，交边AC于点E，延长DE至点F，使EF=DE，联结BF，交边AC于点G，联结CF
(1)求证：AEAC=EGCG；
(2)如果CF2=FG⋅FB，求证：CG⋅CE=BC⋅DE．
25.(本小题14分)
已知，在梯形ABCD中，AD//BC，∠A=90°，AD=2，AB=4，BC=5，在射线BC任取一点M，联结DM，作∠MDN=∠BDC，∠MDN的另一边DN交直线BC于点N(点N在点M的左侧)．
(1)当BM的长为10时，求证：BD⊥DM；
(2)如图(1)，当点N在线段BC上时，设BN=x，BM=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；
(3)如果△DMN是等腰三角形，求BN的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，
∴两个等边三角形一定是相似图形，故D正确；
又∵直角三角形、等腰梯形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，
∴两个直角三角形、两个等腰梯形、两个矩形都不一定是相似图形，故A、B、C错误．
故选：D．
本题主要考查了相似多边形的概念．
如果两个多边形的对应角相等，对应边成比例，则这两个多边形是相似多边形．
2.【答案】C
【解析】解：A.2x=3y，则xy=32，所以A选项不符合题意；
B.2x=3y，则x3=y2，所以B选项不符合题意；
C.2x=3y，则y：x=2：3，所以C选项符合题意；
D.2x=3y，则xy=32，所以xx+y=33+2=35，所以D选项不符合题意．
故选：C．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质(内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、等比性质等)是解决问题的关键．
根据内项之积等于外项之积可对A、B、C进行判断；利用合比性质可对D进行判断．
3.【答案】B
【解析】解：∵ADBD=AECE，
∴DE/​/BC，
∵ABBD=ACEC，
∴DE/​/BC，
∵ADAB=AEAC，
∴DE/​/BC，
故选：B．
根据平行线分线段成比例定理判断即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵∠BCD=∠A，∠B=∠B，
∴△ABC∽△CBD，
∴BCBD=ABCB，
∴BC2=AB⋅BD，
故选：B．
由已知条件∠BCD=∠A、∠B=∠B，可判定△ABC∽△CBD，再根据相似三角形的性质进行判断．
此题主要考查的是相似三角形的判定和性质；能够发现隐含条件公共角∠A是解答此题的关键．
5.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了锐角三角函数定义，正确把握其定义是解题关键．
根据题意画出图形，先利用勾股定理求出BC的长，进而利用锐角三角函数定义求出即可．
【解答】
解：如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，
∴BC= AB2−AC2=4，
∴tanA=BCAC=43．
故选A．
6.【答案】C
【解析】解：∵AD/​/BC，
∴△AOD∽△COB，
∴AOOC=ODOC=ADBC=12，
∴S△BOC=2S△AOB=2S△ODC，S△DOC=2S△AOD，S△AODS△OBC=(ADBC)2=14，
∴选项A，B，D正确，
故选：C．
由AD//BC，推出△AOD∽△COB，推出AOOC=ODOC=ADBC=12，利用等高模型以及相似三角形的性质解决问题即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7.【答案】15
【解析】解：∵ab=cd=15，
∴a+cb+d=ab=cd=15．
故答案为15．
根据等比性质求解．
本题考查了比例的性质，对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等，如 a：b=c：d(即ad=bc)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．熟练运用比例的性质是解决问题的关键．
8.【答案】 5−1
【解析】解：由于P为线段AB=2的黄金分割点，
且AP是较长线段；
则AP=2× 5−12= 5−1．
根据黄金分割点的定义，且AP是较长线段；则AP= 5−12AB，代入数据即可得出AP的长．
理解黄金分割点的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的3− 52，较长的线段=原线段的 5−12．
9.【答案】2
【解析】【分析】
本题主要考查了三角形的重心以及平行线分线段成比例定理的综合应用，解题时注意：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
先根据点G是△ABC的重心，得出DG：DA=1：3，再根据平行线分线段成比例定理，得出EGBA=DGDA，即EG6=13，进而得出GE的长．
【解答】
解：
∵点G是△ABC的重心，
∴DG：AG=1：2，
∴DG：DA=1：3，
∵GE/​/AB，
∴EGBA=DGDA，即EG6=13，
∴EG=2，
故答案为：2．
10.【答案】1：4
【解析】解：∵两个相似三角形对应高的比是1：2，
∴它们的面积比是1：4．
故答案为1：4．
因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以这两个三角形的相似比是1：4．
本题考查了相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方．
11.【答案】30°
【解析】【分析】
本题考查了特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
根据特殊角的三角函数值求出∠A的度数，然后根据三角形的内角和定理求解．
【解答】
解：∵∠C=90°，csA=12，
∴∠A=60°，
则∠B=180°−90°−60°=30°．
故答案为30°．
12.【答案】10
【解析】解：由题意可得，
∠APB=∠CPD，∠ABP=∠CDP，
∴△ABP∽△CDP，
∴ABCD=BPDP，
∵AB=1.5米，BP=1.8米，PD=12米，
∴1.5CD=1.812，
解得CD=10，
即该古城墙的高度是10米，
故答案为：10．
根据题意，可以得到△ABP∽△CDP，从而可以得到ABCD=BPDP，再根据AB=1.5米，BP=1.8米，PD=12米，即可求得CD的长．
本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出△ABP∽△CDP．
13.【答案】5
【解析】解：∵AD/​/BC/​/EF，BE：EA=1：2，
∴FC：FD=1：2，
∵FC=2.5，
∴FD=5．
故答案为5．
根据AD//BC//EF，BE：EA=1：2，可得出FC：FD=1：2，再根据FC=2.5，即可得出FD的长度．
本题主要考查了平行线分线段成比例定理的理解及运用，难度适中．
14.【答案】12
【解析】【分析】
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
证明△ADE∽△ACB，利用相似三角形的周长比等于相似比解决问题即可．
【解答】
解：∵ADAC=AEAB=35，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴△ADE的周长△ABC的周长=35，
∵△ABC的周长为20cm，
∴△ADE的周长为12cm．
故答案为12．
15.【答案】 2+1
【解析】解：∵DE/​/BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=(ADAB)2，
∵△ADE与四边形BCED的面积相等，
∴(ADAB)2=12，
∴ADAB= 22，
∴ADDB= 22− 2= 2+1．
故答案为： 2+1．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，灵活利用相似比进行几何计算．
先证明△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质得到S△ADES△ABC=(ADAB)2=12，则ADAB= 22，然后利用比例的性质得到ADDB的值．
16.【答案】7
【解析】解：在△AEM和△CED中，
∠CAB=∠DCA，∠AEM=∠CED，
∴△AEM∽△CED，
∴AMCD=AEEC，
∵E，F是线段AC的三等分点，
∴AE=EF=FC，
∴AMCD=AEEC=12，
∴AM=12CD；
∵AB=CD，
∴AM=12AB①；
在△AFM和△CFN中，
∠FAM=∠FCN，∠AFM=∠CFN，
∴△AFM∽△CFN，
∴AMCN=AFCF=2，
∴CN=12AM②；
∵AB=28③，
由①②③解得，CN=7．
故答案为：7．
根据已知条件，先证明△AEM∽△CED，然后利用相似三角形的对应边成比例这一性质求得AM=12AB；再来证明△AFM∽△CFN，依据相似三角形的性质求的CN的长度．
本题主要考查了相似三角形的判定定理，解答本题的关键要掌握：两个三角形中，两个对应角相等，则这两个三角形相似，以及相似三角形的性质：对应边成比例．
17.【答案】35
【解析】解：如图，过点A作AD⊥BC于D，过点B作BE⊥AC于E，
∵BlpA=32，
∴设AD=2a，BC=3a，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=12BC=32a，
根据勾股定理得，AB=AC= AD2+CD2= (2a)2+(3a2)2=5a2，
∴cs∠ABC=cs∠ACB=CDAC=32a52a=35≤ 22，
故答案为：35．
过点A作AD⊥BC于D，设AD=2a，BC=3a，根据勾股定理得，AB=AC=5a2，即可求得．
本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及三角函数，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
18.【答案】21：4
【解析】解：如图，延长BC，AG交于点H，
∵BE：EC=3：2，
∴设BE=3x，EC=2x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=5x，AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵将△ABE沿着直线AE翻折得到△AFE，
∴∠AEB=∠AEF，BE=EF=3x，
∴∠DAE=∠AED，
∴AD=DE=5x，
∴DF=2x，
∵AD/​/BC，
∴△ADF∽△HEF，
∴ADEH=DFEF=AFFH，
∴5xEH=23=AFFH，
∴EH=15x2，AF=23FH，
∴CH=EH−EC=112x，
∵AD/​/BC，
∴△ADG∽△HCG，
∴ADCH=AGGH，
∴5x112x=AGGH=1011，
∴设AG=10y，GH=11y，
∴AH=21y，
∴AF=21y5×2=425y，
∴FG=AG−AF=8y5，
∴AF：FG=21：4，
故答案为21：4．
延长BC，AG交于点H，设BE=3x，EC=2x，由平行四边形的性质可得AD=BC=5x，AD//BC，由折叠的性质可得∠AEB=∠AEF，BE=EF=3x，通过证明△ADF∽△HEF，△ADG∽△HCG，可求AF=425y，FG=AG−AF=8y5，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，折叠的性质，平行四边形的性质，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键．
19.【答案】解：(1)∵CE=3，EB=9，
∴BC=CE+EB=12，
∵AB/​/EF，
∴FOAF=EOEB，则FOEO=AFEB，
又EF//CD，
∴FOFD=EOEC，则FOEO=FDEC，
∴AFEB=FDEC，
又DF=2，
即AF9=23，
∴AF=6，
∴AD=AF+FD=6+2=8，
即AD的长是8；
(2)∵AB/​/CD，
∴BO：OE=AB：EF，
又BO：OE=2：4，AB=3，
∴EF=6，
∵EF/​/CD，
∴OEOC=EFCD，
又∵OE：EC=4：3，
∴OEOC=47，
∴EFCD=47，
∴CD=74EF=10.5，
即CD的长是10.5．
【解析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
(1)根据平行线分线段成比例定理、比例的基本性质求得AF=6，则AD=AF+FD=8；
(2)根据平行线AB/​/CD分线段成比例知BO：OE=AB：EF，结合已知条件求得EF=6，同理由EF//CD，推知EF与CD间的数量关系，从而求得CD=10.5．
20.【答案】解：设x2=y3=z5=k(k≠0)，
则x=2k，y=3k，z=5k，
代入3x+2y−z=14得，6k+6k−5k=14，
解得k=2，
所以，x=2×2=4，y=3×2=6，z=5×2=10．
【解析】设比值为k，然后用k表示出x、y、z，再代入等式求出k的值，从而得解．
本题考查了比例的性质，此类题目，利用“设k法”求解更简便．
21.【答案】解：原式=1−( 22)2 3+ 32× 33
=1−12 3+12
=12×( 3−12)( 3+12)( 3−12)
=2 3−111．
【解析】把特殊角的三角函数值代入原式，根据二次根式的混合运算法则计算即可．
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
22.【答案】解：(1)如图
作AH⊥BC，垂足为点H．
在Rt△ABH中，
∵∠AHB=90°，∠B=60°，AB=6，
∴BH=AB·csB=6×12=3，AH=AB·sin30°=6× 32=3 3，
∴S△ABC=12×8×3 3=12 3，
(2)∵BC=8，BH=3，
∴CH=5.
在Rt△ACH中，
∵AH=3 3，CH=5，
∴AC=2 13．
∴csC=CHAC=52 13=5 1326．
【解析】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知构建直角三角形得出是解题关键．
(1)首先作AH⊥BC，再利用∠B=60°，AB=6，求出BH=3，AH=3 3，即可求出答案；
(2)利用Rt△ACH中，AH=3 3，CH=5，求出AC进而求出∠C的余弦值．
23.【答案】解：(1)设BC=a cm，BC边上的高AH为b cm，DG=DE=x cm，
根据题意得：a+b=100ab=1200，
解得：a=60b=40，或a=40b=60(不合题意，舍去)，
∴BC=60cm，AH=b=40cm；
(2)∵DG//BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴ANAM=DGBC，即40−x40=x60，
解得：x=24，
即加工成的正方形铁片DEFG的边长为24cm．
【解析】(1)设BC=a cm，BC边上的高AH为b cm，根据题意得出方程组求出BC和AH；
(2)设DG=DE=x cm，再由平行线得出△ADG∽△ABC，由相似三角形对应高的比等于相似比得出比例式，即可得出结果．
本题考查了方程组的解法、相似三角形的运用；熟练掌握方程组的解法，证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．
24.【答案】证明：(1)∵DE/​/BC，
∴△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG，
∴AEAC=DEBC，EFBC=EGCG，
又∵DE=EF，
∴DEBC=EFBC，
∴AEAC=EGCG；
(2)∵CF2=FG⋅FB，
∴CFFG=FBCF，
又∵∠CFG=∠CFB，
∴△CFG∽△BFC，
∴CGBC=FGFC，∠FCE=∠CBF，
又∵DF/​/BC，
∴∠EFG=∠CBF，
∴∠FCE=∠EFG，
又∵∠FEG=∠CEF，
∴△EFG∽△ECF，
∴EFEC=FGFC=DEEC，
∴CGBC=DEEC，即CG⋅CE=BC⋅DE．
【解析】(1)首先证明△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG，根据相似三角形的对应边的比相等，以及DE=EF即可证得；
(2)首先证明△CFG∽△BFC，证得CGBC=FGFC，∠FCE=∠CBF，然后根据平行线的性质证明∠FEG=∠CEF，即可证得△EFG∽△ECF，则EFEC=FGFC=DEEC，即可证得CGFG=DEEC，则所证结论即可得到．
本题考查了相似三角形的判定与性质，正确理解相似三角形的判定方法，证明∠FEG=∠CEF，证得△EFG∽△ECF是解决本题的关键．
25.【答案】解：(1)如图1，
过点D作DG⊥BC于G，
∴易知，四边形ABGD是矩形，BG=AD=2，DG=AB=4，
∵BC=5，
∴CG=BC−BG=3，
在Rt△CDG中，根据勾股定理得，CD=5，
∵BM=10，
∴CM=BM−BC=5=BC=CD，
∴△BDM是直角三角形，
∴BD⊥DM；
(2)由(1)知，CD=5=BC，
∴∠BDC=∠DBC，
∵∠MDN=∠BDC，
∴∠DBC=∠MDN，
∵∠BMD=∠DMN，
∴△MDN∽△MBD，
∴DMBM=MNDM，
∴DM2=BM×MN
在Rt△DMG中，根据勾股定理得，DM2=DG2+MG2=16+(y−2)2，
∵MN=BM−BN=y−x，
∴16+(y−2)2=y(y−x)，
∴y=204−x，
∵∠MDN=∠BDC，
∴∠BDN=∠CDM，
∵tan∠ADB=tan∠BDG=BGDG=12，tan∠CDG=CGDG=34，
∴∠CDG>∠BDG=∠ADB．
∵∠ADG=∠ADB+∠BDG=90°，
当点N到点G时，∠CDG+∠CDM>∠ADB+∠BDN>90°，
∵点M在BC上，
∴x