2023-2024学年福建省福州重点中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省福州重点中学高二（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.正项等比数列{an}中，a2，a8是方程x2−10x+16=0的两根，则lg2a5的值是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
2.若双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为 3，则双曲线上的点到两焦点距离之差的绝对值为( )
A. 1B. 3C. 2D. 2 3
3.已知某物体的运动方程是s=t+19t3(s的单位为m)，该物体在t=3s时的瞬时加速度是( )
A. 2m/sB. 4m/sC. 2m/s2D. 4m/s2
4.若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为( )
A. 5−12B. 33C. 22D. 63
5.数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=2，an+1=1−1an(n∈N*)，则2S2024=( )
A. 2024B. 2025C. 2026D. 2027
6.已知自然界中存在某种昆虫，其在幼虫期到成虫期这个时间段内会伴随着蜕皮和生长的交替.该种昆虫最开始的身体长度记为a1，其在发育过程中先蜕皮，身体总长度减少为原来的56，此时昆虫的长度记为a2；蜕皮之后，迅速生长，当身体总长度增加了蜕皮后那一时刻的12，此时昆虫的长度记为a3，然后进入下一次蜕皮，以此类推.若a4=25，则a1=( )
A. 18B. 272C. 24D. 24316
7.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与直线x+2y−4=0相切，则a的值不可能是( )
A. 3B. 2C. 3D. 3.9
8.某数学兴趣小组研究曲线C1： x2+ y=1和曲线C2：x44+y4=1的性质，下面同学提出的结论正确的有( )
甲：曲线C1，C2都关于直线y=x对称
乙：曲线C1在第一象限的点都在椭圆C3：x24+y2=1内
丙：曲线C2上的点到原点的最大距离为 5
A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点P是椭圆x24+y23=1上的一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是( )
A. 存在点P，使得∠F1PF2=75°B. |PF1|+|PF2|=4
C. △PF1F2的面积最大值为2 3D. 1≤|PF1|≤3
10.已知棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为DD1的中点，动点N在平面ABCD内的轨迹为曲线Γ.则下列结论正确的是( )
A. 当MN⊥B1N时，Γ是圆
B. 当动点N到直线DD1，BB1的距离之和等于4时，Γ是椭圆
C. 当直线MN与平面ADD1A1所成的角为60°时，Γ是双曲线
D. 当动点N到点M的距离等于点N到直线BC的距离时，Γ是抛物线
11.“0，1数列”是每一项均为0或1的数列，在通信技术中应用广泛.设A是一个“0，1数列”，定义数列f(A)：数列A中每个0都变为“1，0，1”，A中每个1都变为“0，1，0”，所得到的新数列.例如数列A：1，0，则数列f(A)：0，1，0，1，0，1.已知数列A1：1，0，1，0，1，且数列Ak+1=f(Ak)，k=1，2，3，⋯，记数列Ak中0的个数为ak，1的个数为bk，数列Ak的所有项之和为Sk，则下列结论正确的是( )
A. 数列{ak+bk}为等比数列B. 数列{ak−bk}为等比数列
C. 数列{Sk+Sk+1}为等比数列D. 数列{Sk−Sk+1}为等比数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.等差数列{an}的前n项和记为Sn，且S5=10，S10=50，则S14= ______．
13.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|=4 2，|DE|=2 5，则C的焦点到准线的距离为 ．
14.光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图，一个光学装置由有公共焦点F1、F2的椭圆Γ与双曲线Ω构成，Γ与Ω的离心率之比为3：4，现一光线从左焦点F1发出，依次经Ω与Γ反射，又回到了点F1，历时t1秒；若将装置中的Ω去掉，如右图，此光线从点F1发出，经Γ两次反射后又回到了点F1，历时t2秒，则t2t1= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=lnx+ax3(a∈R)，且f′(1)=4．
(1)求a的值；
(2)设g(x)=f(x)−lnx−x，求y=g(x)过点(1,0)的切线方程．
16.(本小题15分)
已知动点M(x,y)满足： (x−1)2+y2+ (x+1)2+y2=2 2．
(1)求动点M的轨迹方程C；
(2)若过点P(1,12)的直线l和曲线C相交于A，B两点，且P为线段AB的中点，求直线l的方程．
17.(本小题15分)
已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn+12−Sn2=8n．
(1)求Sn；
(2)若bn=2Sn−1，从{Sn}中删去{bn}中的项，按照原来的顺序构成新的数列{cn}，求{cn}的前100项和T100．
18.(本小题17分)
若双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点是F(2,0)，且离心率为2．
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知点M(0,1)，过焦点F的直线l与双曲线C的两支相交于A，B两点，求直线MA和MB的斜率之和的最大值．
19.(本小题17分)
已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n2，数列{bn}满足：b1=3，bn+1=2bn−1(n∈N*).
(1)证明：{bn−1}是等比数列；
(2)设数列{cn}的前n项和为Tn，且cn=(−1)n2an+1(an+1)lg2(bn−1)，求Tn；
(3)设数列{dn}满足：dn=an+1an2an+22,n=2k−1a2nbn,n=2k,k∈N*.证明：k=12ndk0,b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为 3，
根据双曲线的对称性，取焦点(c,0)，渐近线为：y=bax，即bx−ay=0，
∴ca=2， 3=bc b2+a2=b，
可得c2=4a2=a2+b2，可得a=1．
故双曲线上的点到两焦点距离之差的绝对值为2a=2．
故选：C．
根据已知条件求解a，b即可求解结论．
本题主要考查双曲线的性质，考查计算能力和转化思想，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：某物体的运动方程是s=t+19t3(s的单位为m)，
则s′(t)=1+13t2，
s′′(t)=2t3，
当t=3时，s′′(t)=2m/s2．
故选：C．
根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由正方形和椭圆的对称性可得，
设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
由B(a,0)，OABC为正方形，可得
A(a2,a2)，C(a2,−a2)，
将A的坐标代入椭圆方程可得
a24a2+a24b2=1，
即有a2=3b2，
c2=a2−b2=23a2，
即有e=ca= 63．
故选：D．
由正方形和椭圆的对称性可得，设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，由B(a,0)，OABC为正方形，可得A(a2,a2)，C(a2,−a2)，代入椭圆方程，可得a2=3b2，由a，b，c的关系，结合离心率公式，可得所求值．
本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的性质：对称性，考查点满足椭圆方程，以及计算能力，属于中档题．
5.【答案】D
【解析】解：因为{an}的前n项和为Sn，且满足a1=2，an+1=1−1an(n∈N*)，
所以a2=1−12=12，a3=1−2=−1，a4=1−(−1)=2，
故数列的周期为3，a1+a2+a3=2+12−1=32，
则2S2024=2×[674(a1+a2+a3)+a1+a2]=2×(1011+2+12)=2027．
故选：D．
由已知递推关系求出数列的前几项，结合项的规律求出周期，进而可求．
本题主要考查了数列的递推关系及周期性在数列求和中的应用，属于中档题．
6.【答案】C
【解析】解：由题意可知，a2=56a1，a3=(1+12)a2=32a2=32×56a1=54a1，a4=56a3=56×54a1=2524a1=25，
所以a1=24．
故选：C．
根据题意确定a2，a3，a4之间的关系以及与a1的关系即可得所求．
本题考查数列的应用，考查数列的递推关系，属中档题．
7.【答案】A
【解析】解：联立x2a2+y2b2=1x+2y−4=0，消去x得(4b2+a2)y2−16b2y+16b2−a2b2=0，
因为直线与椭圆相切，
所以Δ=256b4−4(4b2+a2)(16b2−a2b2)=4a2b2(4b2−16+a2)=0，
所以4b2=16−a2，
因为0