2023-2024学年上海市闵行区重点中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市闵行区重点中学高二（上）期末数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列函数是偶函数的是( )
A. y=tanxB. y=lg2xC. y=x3D. y=2x+2−x
2.如图所示，正方体ABCD−A1B1C1D1中，P是线段A1C1上的动点(包含端点)，则下列哪条棱所在直线与直线BP始终异面( )
A. A1B1
B. CC1
C. AD
D. DD1
3.画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔⋅蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的蒙日圆方程为x2+y2=a2+b2.若圆(x−3)2+(y−λ)2=9与椭圆x23+y2=1的蒙日圆有且仅有一个公共点，则λ的值为( )
A. ±3B. ±4C. ±5D. 2 5
4.设{an}是公差不为0的无穷等差数列，现有下述两个命题：①“对任意正整数n，都有anN0时，总有an>0(n∈N*)”的充要条件.则说法正确的选项是( )
A. 命题①与②均为真命题B. 命题①为真命题，命题②为假命题
C. 命题①为假命题，命题②为真命题D. 命题①与②均为假命题
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知集合A={1,2,3,4,5}，B={x|x−1>2}，则A∩B= ______．
6.已知平面向量a=(1,x)，b=(2,−2)，满足a⊥b，则实数x= ______．
7.双曲线x2−y24=1的渐近线方程为______．
8.无论我们对函数y=ex求多少次导数，结果仍然是它本身；这就像我们在生活中无论遇到多少艰难险阻，都要不忘初心，坚持自我，按照自己制定的目标，奋勇前行！已知函数f(x)=ex−3x，则f′(0)= ______．
9.若抛物线y2=8x上一点A的横坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为______．
10.已知α，β，γ表示三个不同的平面，若α/​/β，且γ∩α=a，γ∩β=b，则直线a，b的位置关系是______．
11.二面角α−l−β为60°，异面直线a、b分别垂直于α、β，则a与b所成角的大小是______．
12.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2=1，S2=4，则limn→∞Sn= ______．
13.已知关于x的方程x2−2x+c=0的一个虚根为1+2i(其中i为虚数单位)，则实数c= ______．
14.已知f(x)=sinx，f′(x)是f(x)的导函数.则当x∈[0,π]时，函数y=f(x)+f′(x)的值域是______．
15.已知xy=1(x>0)，则16x+y2的最小值为______．
16.已知数列{an}满足an+2+(−1)nan=3n−1，且前16项和为540，则首项a1= ．
三、解答题：本题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD为正方形，边长为3，PD⊥平面ABCD．
(1)求证：BC⊥平面CDP；
(2)若DP=4，求直线PB与平面PCD所成的角大小．
18.(本小题14分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，S5=20．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若等比数列{bn}的公比为q=12，且满足a4+b4=9，求满足an0)，g2(x)=bex(x>0).求证：对任意的正数a，都存在正数b，使得函数f(x)与g(x)“局部趋同”；
(3)对于给定的实数m，若存在实数n，使得函数h1(x)=mx+nx(x>0)与h2(x)=lnx“局部趋同”，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y=tanx是正切函数，是奇函数，不符合题意．
对于B，y=lg2x是对数函数，既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意．
对于C，y=x3是幂函数，是奇函数，不符合题意．
对于D，设f(x)=2x+2−x，f(x)的定义域为R，
f(−x)=2−x+2x=f(x)，所以f(x)为偶函数，符合题意．
故选：D．
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合可得答案．
本题考查函数奇偶性的判断，注意函数奇偶性的定义，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：当P运动到点A1时，A1B1与直线BP相交，故A错误；
当P运动到点C1时，CC1与直线BP相交，故B错误；
因为AD与B在同一平面ABCD上，B∉AD，P∉平面ABCD，
所以由异面直线判定定理知，直线AD与直线BP始异面，故C正确；
当P运动到点A1C1中点时，D1P//DB，此时DD1与直线BP共面，故D错误．
故选：C．
根据P点运动到线段端点、中点位置可判断ABD，根据异面直线的判定可判断C．
本题考查异面直线的判断，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由题意可知x23+y2=1的蒙日圆方程为x2+y2=4，
因为圆(x−3)2+(y−λ)2=9与圆x2+y2=4仅有一个公共点，
所以两圆内切或外切，故圆心距等于半径之和或者圆心距等于半径差的绝对值，
所以 (3−0)2+(λ−0)2=3+2或 (3−0)2+(λ−0)2=|3−2|，
由此解得λ=±4．
故选：B．
根据题意先写出椭圆的蒙日圆方程，然后根据条件判断出两圆内切或外切，由此列出方程求解出结果．
本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了两圆的位置关系，考查计算能力，是基础题．
4.【答案】A
【解析】解：根据题意，由等差数列的通项公式an=a1+(n−1)d，不妨设f(n)=d(n−1)+a1，
依次分析两个命题：
对于①，“对任意正整数n，都有an0的充要条件，当n∈N*时结论仍成立，故“{an}为严格递增数列”是“存在正整数N0，当n>N0时，总有an>0(n∈N*)”的充要条件，②正确．
故选：A．
根据题意，利用等差数列的通项公式结合函数的图像和性质判断即可．
本题考查等差数列的性质，涉及充分必要条件的判断，属于基础题．
5.【答案】{4,5}
【解析】解：x−1>2解得x>3，∴B={x|x>3}，
∴A∩B={4,5}．
故答案为：{4,5}
先解不等式求得集合B，然后求得A∩B．
本题考查了交集及其运算，是基础题．
6.【答案】1
【解析】解：因为a⊥b，所以a⋅b=0，即2−2x=0，解得x=1．
故答案为：1．
根据两向量垂直的关系得a⋅b=0，利用向量坐标运算即可求x．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
7.【答案】y=±2x
【解析】解：双曲线x2−y24=1的渐近线方程是：y=±2x．
故答案为：y=±2x．
利用双曲线方程求解渐近线方程即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．
8.【答案】−2
【解析】解：根据题意，函数f(x)=ex−3x，
则f′(x)=ex−3
f′(0)=e0−3=−2．
故答案为：−2．
根据题意，先求出函数的导数，将x=0代入计算可得答案．
本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．
9.【答案】6
【解析】解：抛物线y2=8x的焦点F的坐标为(2,0)，准线方程为x=−2，
又A点在抛物线上，由抛物线的定义可得|AF|=d=4−(−2)=6．
故答案为：6．
求得抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义可得所求距离．
本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
10.【答案】a/​/b
【解析】解：α，β，γ表示三个不同的平面，若α/​/β，且γ∩α=a，γ∩β=b，
由题意知α/​/β，且γ∩α=a，γ∩β=b，
根据面面平行的性质定理可得a/​/b．
故答案为：a/​/b．
根据面面平行的性质定理可得答案．
本题考查根据面面平行的性质定理等基础知识，考查空间想象能力，是基础题．
11.【答案】60°
【解析】解：根据二面角的定义
则线面垂直的性质，
∵二面角α−l−β的平面角为60°，
有两条异面直线a，b分别垂直于平面，
设异面直线a，b的夹角为θ
则θ=60°．
故答案为：60°．
根据二面角的定义，及线面垂直的性质，我们可得若两条直线a，b分别垂直于两个平面，则两条直线的夹角与二面角相等或互补，由于已知的二面角α−l−β的平面角为60°，故异面直线所成角与二面角相等，即可得到答案．
本题考查异面直线所成角的求法，考查二面角、线面垂直等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，考查创新意识、应用意识，是基础题．
12.【答案】92
【解析】解：设等比数列的公比为q，a1=S2−a2=4−1=3，设等比数列的公比为q，
所以q=a2a1=13，
所以Sn=3[1−(13)n]1−13=92[1−(13)n]，
所以n→∞limSn=92(1−0)=92．
故答案为：92．
求出a2，得到公比q，再利用公式法求和，最后求出其极限．
本题考查等比数列的性质的应用，属于基础题．
13.【答案】5
【解析】解：依题意，关于x的方程x2−2x+c=0的根为1±2i，
由根与系数关系得c=(1+2i)(1−2i)=12−(2i)2=5．
故答案为：5．
根据根与系数关系求得正确答案．
本题主要考查了方程的根与系数关系的应用，属于基础题．
14.【答案】[−1, 2]
【解析】解：根据题意，因为f(x)=sinx，所以f′(x)=csx，
y=f(x)+f′(x)=sinx+csx= 2sin(x+π4)，
当x∈[0,π]时，π4≤x+π4≤5π4，
所以− 22≤sin(x+π4)≤1，−1≤y= 2sin(x+π4)≤ 2，
故答案为：[−1, 2].
根据题意，先求出y=f(x)+f′(x)的解析式，再根据自变量范围求正弦函数值域即可．
本题考查三角函数的恒等变形，涉及导数的计算，属于基础题．
15.【答案】12．
【解析】解：依题意，xy=1(x>0)，则y>0，且y=1x，
所以16x+y2=8x+8x+1x2≥338x⋅8x⋅1x2=12，当且仅当8x=1x2,x=12,y=2时等号成立．
故答案为：12．
利用基本不等式求得正确答案．
本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题．
16.【答案】7
【解析】解：由an+2+(−1)nan=3n−1，
当n为奇数时，有an+2−an=3n−1，
可得an−an−2=3(n−2)−1，
…
a3−a1=3⋅1−1，
累加可得an−a1=3[1+3+…+(n−2)]−n−12=3⋅[1+(n−2)]2⋅n−12−n−12=(n−1)(3n−5)4；
当n为偶数时，an+2+an=3n−1，
可得a4+a2=5，a8+a6=17，a12+a10=29，a16+a14=41．
可得a2+a4+…+a16=92．
∴a1+a3+…+a15=448．
∴8a1+14(0+8+40+96+176+280+408+560)=448，
即8a1=56，得a1=7．
故答案为：7．
在已知数列递推式中，分别取n为奇数与偶数，可得an−an−2=3(n−2)−1与an+2+an=3n−1，利用累加法得到n为奇数时an与a1的关系，求出偶数项的和，然后列式求解a1．
本题考查数列递推式，考查等差数列的前n项和，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：(1)证明：由底面ABCD为正方形，可得BC⊥CD，
又PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
可得PD⊥BC，
又CD，PD⊂平面CDP，且CD∩PD=D，
可得BC⊥平面CDP；
(2)由BC⊥平面CDP，PC为PB在平面PBC内的射影，
可得∠BPC为直线PB与平面PCD所成的角．
在直角三角形PCD中，PD⊥CD，可得PC= PD2+CD2= 16+9=5，
在直角三角形PCB中，tan∠BPC=BCPC=35，
即有直线PB与平面PCD所成的角为arctan35．
【解析】(1)由线面垂直的性质和判定，可得证明；
(2)由线面角的定义求得∠BPC为直线PB与平面PCD所成的角，再解直角三角形可得所求角的大小．
本题考查线面垂直的判定和性质，以及线面角的求法，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由题意设等差数列{an}的公差为d，由a1=2，S5=20，
得5a1+10d=20，解得d=1，
故an=2+n−1=n+1；
(2)由于等比数列{bn}的公比为q=12，且满足a4+b4=9，
而a4=5，则b4=4，故b1=b4q3=418=32，
则bn=32×(12)n−1=26−n，
又an0)，g2′(x)=bex(x>0)，
若函数f(x)与g(x)“局部趋同”，则存在x0∈D，满足g1(x0)=g2(x0)，且g1′(x0)=g2′(x0)，
∴−x02+ax0=bex0，且−2x0+a=bex0，
∴若−x02+ax0=−2x0+a有解，不论b为何值，都存在x0∈D，
满足g1(x0)=g2(x0)，且g1′(x0)=g2′(x0)，
即对任意的正数a，都存在正数b，使得函数f(x)与g(x)“局部趋同”，
−x02+ax0=−2x0+a，即x02−(a+2)x0+a=0，
Δ=a2+4a+4−4a=a2+4>0，
∴−x02+ax0=−2x0+a有解，
∴对任意的正数a，都存在正数b，使得函数f(x)与g(x)“局部趋同”；
(3)若函数h1(x)=mx+nx(x>0)与h2(x)=lnx“局部趋同”，
则mx0+nx0=lnx0且h1′(x0)=m+−nx02=h2′(x0)=1x0，
由m+−nx02=1x0，得x0−mx02+nx02=0，
即x0−mx02+n=0，则n=mx02−x0，
代入mx0+nx0=lnx0，得mx0+mx02−x0x0=lnx0，
即2mx0−1=lnx0，
若2mx0−1=lnx0有解，函数h1(x)=mx+nx(x>0)与h2(x)=lnx就“局部趋同“，
即2m=lnx0+1x0有解，
令d(x)=lnx+1x，则d′(x)=1xx−lnx−1x2=−lnxx2，
在0