2023-2024学年河南省焦作市九年级（上）期末数学试卷（北师大版）（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省焦作市九年级（上）期末数学试卷（北师大版）（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图所示的几何体的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
2.下列结论不正确的是( )
A. 所有的正方形都相似B. 所有的菱形都相似
C. 所有的等腰直角三角形都相似D. 所有的正五边形都相似
3.若a−bb=35，列ab的值为( )
A. 38B. 35C. 85D. 53
4.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，若BD=2，则AC的长是( )
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
5.若两个相似三角形的面积比是1：9，则它们对应边的中线之比为( )
A. 1：9B. 3：1C. 1：3D. 1：81
6.某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元，则该公司缴税的年均增长率为( )
A. 9%B. 10%C. 11%D. 12%
7.如图，五边形ABCDE和A′B′C′D′E′是以点O为位似中心的位似图形，若OB：OB′=1：2，则五边形ABCDE与A′B′C′D′E′的周长比是( )
A. 1：2B. 1：4C. 1： 2D. 1：3
8.已知菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的面积是( )
A. 48B. 30C. 24D. 20
9.如图，在矩形COED中，点D的坐标是(1,3)，则CE的长是( )
A. 3B. 2 2C. 10D. 4
10.在反比例函数y=kx(k>0)的图象上有两点A(−5,m)，B(2,n)，则m、n的大小关系为( )
A. m>nB. m=nC. m二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.方程x2=2x的解是 ．
12.已知P是线段AB的黄金分割点(AP>PB)，且AB=10cm，则BP长为______(cm)．
13.一个口袋中有6个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中.不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到红球.估计这个口袋中红球的个数为______．
14.如图是由大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和左视图那么组成这个几何体的小正方体的个数最多为 ．
15.如图，在平面直角坐标系中已知点A(8,0)和点B(0,6)，C是AB的中点，若有一动点P在折线AOB上运动，直线CP截△AOB所得的三角形为直角三角形，则点P的坐标为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题9分)
如图是由6块相同的小正方体组成的简单几何体．

(1)请在方格中画出该几何体的三视图．
(2)如果在这个几何体上再添加一些与上边相同的小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加______块小正方体．
17.(本小题9分)
小明在学校组织的校园安全知识竞赛中，通过自己的努力，一路过关斩将，走到了最后一个环节.在最后环节中，他还需要回答三道判断题，每道题只有正确和错误两种选择.由于三道题的答案小明均不确定，于是随机给出了三个结果．
(1)小明回答第一道判断题，答对的概率是______；
(2)如果小明在最后一个环节中至少答对两道题就能获胜，那么他获胜的概率是多少？请用树状图来说明．
18.(本小题9分)
如图，反比例函数y=kx(x>0)的图象过格点(网格线的交点)P．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形(不写画法)，要求每个矩形均需满足下列两个条件：
①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P；
②矩形的面积等于k的值．
19.(本小题9分)
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D．
(1)请指出图中所有的相似三角形；
(2)你能得到AB2=BD⋅BC吗？为什么？
(3)若BD=3，AB=5，则AC= ______．
20.(本小题9分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=30cm，BC=21cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，如果点P，Q同时出发，P，Q的运动速度均为1cm/s．
(1)那么运动几秒时，它们相距15cm？
(2)△PCQ的面积能等于60平方厘米吗？为什么？
21.(本小题9分)
如图：在△ABC中，AB=AC，AD是中线，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．
(1)求证：四边形ADCE是矩形；
(2)连接DE，交AC于点F，直接写出DF与AB之间的关系为______．
22.(本小题10分)
已知关于x的一元二次方程(x−3)(x−2)=|m|．
(1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．
23.(本小题11分)
如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点．
(1)若D，E分别是AB，AC的中点，则四边形DECB的面积与△ABC的面积之比为______．
(2)若DE/​/BC，且DE=12BC，求证：DE是△ABC的中位线．
(3)判断命题“若D是AB的中点，且DE=12BC，则DE是△ABC的中位线”的真假，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：从上面看，可得选项C的图形．
故选：C．
根据俯视图是从上面看到的图形判定即可．
本题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．
2.【答案】B
【解析】解：A.所有的正方形都相似，正确，故此选项不符合题意；
B.所有的菱形不一定相似，故此选项符合题意；
C.所有的等腰直角三角形都相似，正确，故此选项不符合题意；
D.所有的正五边形都相似，正确，故此选项不符合题意．
故选：B．
相似形就是形状相同的两个图形，即对应边的比相等，对应角相等的两个图形，依据定义即可进行判断．
本题考查相似多边形的识别．解题的关键是掌握判定两个图形相似的依据：对应边的比相等，对应角相等，两个条件必须同时具备．
3.【答案】C
【解析】解：∵a−bb=35，
∴5a=8b，
∴ab=85．
故选：C．
由题干可得3b=5a−5b，根据比例的性质即可解得a、b的比值．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵∠ABC=90°，点D为斜边AC的中点，
∴AC=2BD，
∵BD=2，
∴AC=4，
故选：C．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AC=2BD，进而可得答案．
此题主要考查了直角三角形的性质，解题关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
5.【答案】C
【解析】解：∵两个相似三角形的面积之比是对应边上的中线之比的平方，
两个相似三角形的面积之比为1：9，
∴它们对应边上的中线之比为1：3．
故选：C．
根据两个相似三角形的面积之比是对应边上的中线之比的平方．
本题主要考查了相似三角形的性质，掌握两个相似三角形的面积之比是对应边上的中线之比的平方，开平方是解题关键．
6.【答案】B
【解析】解：设该公司缴税的年平均增长率为x，依题意得40(1+x)2=48.4
解方程得x1=0.1=10%，x2=−2.1(舍去)
所以该公司缴税的年平均增长率为10%．
故选：B．
设公司缴税的年平均增长率为x，根据增长后的纳税额=增长前的纳税额×(1+增长率)，即可得到去年的纳税额是40(1+x)万元，今年的纳税额是40(1+x)2万元，据此即可列出方程求解．
本题运用增长率(下降率)的模型解题．读懂题意，找到等量关系准确的列出式子是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵五边形ABCDE和A′B′C′D′E′是以点O为位似中心的位似图形，OB：OB′=1：2，
∴五边形ABCDE和A′B′C′D′E′的相似比为1：2，
∴五边形ABCDE与A′B′C′D′E′的周长比是1：2．
故选：A．
根据位似的性质得到四边形ABCD和四边形A′B′C′D′的相似比为1：2，然后根据相似多边形的周长之比等于相似比求解即可．
本题考查的是位似变换的性质，掌握位似图形与相似图形的关系、相似多边形的性质是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵菱形的两条对角线长分别是6和8，
∴这个菱形的面积为12×6×8=24，
故选：C．
根据菱形的面积等于两条对角线积的一半计算即可．
本题考查了菱形的面积的计算等知识点．易错易混点：学生在求菱形面积时，易把对角线乘积当成菱形的面积，或是错误判断对角线的长而误选
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
根据勾股定理求得OD= 10，然后根据矩形的性质得出CE=OD= 10．
【解答】
解：∵四边形COED是矩形，
∴CE=OD，
∵点D的坐标是(1,3)，
∴OD= 12+32= 10，
∴CE= 10，
故选：C．
10.【答案】C
【解析】解：由题知，
因为k>0，
所以反比例函数y=kx(k>0)的图象位于第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小．
又因为−5<0，2>0，
所以点A在第三象限的一支上，点B在第一象限的一支上，
则m<0，n>0，
所以m故选：C．
根据k的正负可得出反比例函数所处的象限，再根据每个象限内函数图象的性质即可解决问题．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的图象和性质是解题的关键．
11.【答案】x1=0，x2=2
【解析】【分析】
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：把一元二次方程变形为一般式，再把方程左边进行因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程得到原方程的解．
先移项得到x2−2x=0，再把方程左边进行因式分解得到x(x−2)=0，方程转化为两个一元一次方程：x=0或x−2=0，即可得到原方程的解为x1=0，x2=2．
【解答】
解：∵x2=2x
∴x2−2x=0，
∴x(x−2)=0，
∴x=0或x−2=0，
∴x1=0，x2=2．
故答案为x1=0，x2=2．
12.【答案】(15−5 5)
【解析】解：∵P是线段AB的黄金分割点，且AB=10cm，
∴AP>BP，AP= 5−12AB= 5−12×10=5 5−5
∴BP=AB−AP=15−5 5．
故答案为：(15−5 5)．
根据黄金比值为写 5−12计算，即可得到答案．
此题考查了黄金分割：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值 5−12叫做黄金比
13.【答案】14
【解析】解：估计这个口袋中球的数量为6÷30100=20(个)，
20−6=14(个)，
故答案为：14．
用球的总个数乘以摸到红球的频率即可．
本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
14.【答案】7
【解析】解：3行，2列，最底层最多有3×2=6个正方体，第二层有1个正方体，
那么共有6+1=7个正方体组成．
故答案为：7．
易得这个几何体共有2层，3行，2列，先看第一层正方体可能的最多个数，再看第二层正方体的可能的最多个数，相加即可．
主视图和左视图确定组合几何体的层数，行数及列数．
15.【答案】(0,3)、(4,0)、(74,0)
【解析】解：当PC/​/OA时，∠BPC=∠BOA=90°，
∵∠B=∠B，
∴Rt△BPC∽Rt△BOA，
由点C是AB的中点，可得P为OB的中点，
此时P点坐标为(0,3)；
当PC/​/OB时，∠APC=∠BOA=90°，
∵∠A=∠A，
∴Rt△ACP∽Rt△ABO，
由点C是AB的中点，可得P为OA的中点，
此时P点坐标为(4,0)；
当PC⊥AB时，如图，∠ACP=∠BOA=90°，
∵∠CAP=∠OAB，
∴Rt△APC∽Rt△ABO，
∴ACOA=APAB，
∵点A(8,0)和点B(0,6)，
∴AB= 62+82=10，
∵点C是AB的中点，
∴AC=5，
∴58=AP10，
∴AP=254，
∴OP=OA−AP=8−254=74，
此时P点坐标为(74,0)，
综上所述，满足条件的P点坐标为(0,3)、(4,0)、(74,0)．
故答案为：(0,3)、(4,0)、(74,0)．
分类讨论：当PC/​/OA时，∠BPC=∠BOA=90°，Rt△BPC∽Rt△BOA，易得P点坐标为(0,3)；当PC/​/OB时，∠APC=∠BOA=90°，Rt△ACP∽Rt△ABO，易得P点坐标为(4,0)；当PC⊥AB时，如图，由于∠CAP=∠OAB，则Rt△APC∽Rt△ABC，计算出AB、AC，则可利用比例式计算出AP，于是可得到OP的长，从而得到P点坐标．
本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了坐标与图形性质．注意分类讨论思想解决此题．
16.【答案】2
【解析】解：(1)如图所示：
(2)若保持主视图和左视图不变，最多可以再添加2块小正方体，
故答案为：2．
(1)左视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，1，俯视图有3列，每列小正方形数目分别为2，2，1.据此可画出图形．
(2)保持主视图和左视图不变，可以在第1排空余位置添加2个，最多添加2个小正方体．
此题主要考查了作图−三视图，在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．
17.【答案】12
【解析】解：(1)小明回答第一道判断题，答对的概率是12，
故答案为：12；
(2)画树状图如下：
由树状图知共有8种等可能结果，其中至少答对两道题的有4种结果，
所以他获胜的概率为48=12．
(1)直接利用概率公式求解可得；
(2)画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18.【答案】解：(1)∵反比例函数y=kx(x>0)的图象过格点P(2,2)，
∴k=2×2=4，
∴反比例函数的解析式为y=4x；
(2)如图所示：
矩形OAPB、矩形OCDP即为所求作的图形．

【解析】(1)将P点坐标代入y=kx，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；
(2)根据矩形满足的两个条件画出符合要求的两个矩形即可．
本题考查了作图−应用与设计作图，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，矩形的判定与性质，正确求出反比例函数的解析式是解题的关键．
19.【答案】203
【解析】解：(1)∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠BAD+∠B=∠C+∠B，
∴∠BAD=∠C，且∠ADC=∠ADB，
∴△ABD∽△CAD；
同理可得△ABD∽△CBA，△CAD∽△CBA，
∴图中所有相似的三角形有：△ABD∽△CAD，△ABD∽△CBA，△CAD∽△CBA；
(2)能得到AB2=BD⋅BC，理由如下：
∵△ABD∽△CBA，
∴ABBC=BDAB，
∴AB2=BD⋅BC；
(3)在Rt△ABD中，BD=3，AB=5，
∴AD= 52−32=4，
∵△ABD∽△CAD，
∴ABAC=BDAD，
∴5AC=34，
∴AC=203．
(1)利用两组角相等即可得到两个三角形相似，可找到所有相似的三角形；
(2)利用(1)中的△ABD∽△CBA△可得到结论；
(3)首先利用勾股定理求得AD=4，然后利用△ABD∽△CAD得到ABAC=BDAD，代入数据解答即可．
本题主要考查三角形相似的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，在该题的图形中注意利用同角的余角相等找到角相等．
20.【答案】解：(1)设运动t秒时，P，Q两点相距15厘米，
依题意，得：t2+(21−t)2=152，
解得：t1=9，t2=12，
∴运动9秒或12秒时，P，Q两点相距15厘米；
(2)△PCQ的面积不能等于60平方厘米，理由如下：
设运动x秒时，△PCQ的面积等于60平方厘米，
依题意，得：12x(21−x)=60，
整理，得：x2−21x+120=0，
∵Δ=(−21)2−4×1×120=−39<0，
∴原方程无解，即△PCQ的面积不能等于60平方厘米．
【解析】(1)设运动t秒时，P，Q两点相距15厘米，利用勾股定理结合PQ=15，可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；
(2)设运动x秒时，△PCQ的面积等于60平方厘米，利用三角形的面积公式可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ<0可得出原方程无解，即△PCQ的面积不能等于60平方厘米．
本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21.【答案】DF=12AB
【解析】(1)证明：∵AB=AC，AD是中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，
∴∠ADC=90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN=∠CAN，
∴∠CAD+∠CAN=12×180°=90°，
即∠DAE=90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC=90°，
∴四边形ADCE是矩形；
(2)解：DF=12AB，理由如下：
由(1)知，四边形ADCE为矩形，
∴AC=DE，DF=EF=12DE，
又∵AB=AC，
∴AB=DE，
∴DF=12AB．
(1)由等腰三角形的性质得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，则∠ADC=90°，再证∠DAE=90°，然后证∠AEC=90°，即可得出结论；
(2)由矩形的性质得AC=DE，DF=EF=12DE，再证AB=DE，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定和性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)证明：∵(x−3)(x−2)=|m|，
∴x2−5x+6−|m|=0，
∵Δ=(−5)2−4(6−|m|)=1+4|m|，
而|m|≥0，
∴Δ>0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
(2)∵方程的一个根是1，
∴(1−3)(1−2)=|m|，解得|m|=2，即m=±2，
∴原方程为：x2−5x+4=0，
即(x−4)(x−1)=0，
解得：x1=1，x2=4．
即m的值为±2，方程的另一个根是4．
【解析】此题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)Δ<0⇔方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的解的定义．
(1)要证明方程有两个不相等的实数根，即证明Δ>0即可；
(2)将x=1代入方程(x−3)(x−2)=|m|，求出m的值，进而得出方程的解．
23.【答案】3：4
【解析】(1)解：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE/​/BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=(ADAB)2=(12)2=14，
∴四边形DECB的面积与△ABC的面积之比为3：4；
故答案为：3：4；
(2)证明：∵DE/​/BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=AEAC=DEBC=12，
∴D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线；
(3)命题为假命题．
理由如下：
∵D是AB中点，
∴ADAB=12，
∵DE=12BC，
∴ADAB=DEBC，
而公共∠A不是两组对应边的夹角，
∴△ADE和△ABC不一定相似，
∴点E不一定为AC的中点，
∴DE不一定是△ABC的中位线，所以原命题为假命题．
(1)先判断DE为△ABC的中位线，则DE/​/BC，于是可判断△ADE∽△ABC，则根据相似三角形的性质得到S△ADES△ABC=(ADAB)2=14，然后利用比例性质得到四边形DECB的面积与△ABC的面积之比；
(2)利用DE/​/BC得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得到ADAB=AEAC=DEBC=12，所以得到D，E分别是AB，AC的中点，从而可判断DE为△ABC的中位线；
(3)由于ADAB=DEBC=12，但公共∠A不是两组对应边的夹角，所以△ADE和△ABC不一定相似，则点E不一定为AC的中点，于是可判断DE不一定是△ABC的中位线，所以原命题为假命题．
本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．熟练掌握三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．