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2023-2024学年江苏省盐城市三校(盐城一中、亭湖高中、大丰中学)高一下学期期中联考数学试题
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这是一份2023-2024学年江苏省盐城市三校(盐城一中、亭湖高中、大丰中学)高一下学期期中联考数学试题，文件包含江苏省盐城市三校盐城一中亭湖高中大丰中学高一下学期期中联考数学试题原卷版docx、江苏省盐城市三校盐城一中亭湖高中大丰中学高一下学期期中联考数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
本试卷分试题卷和答题卷两部分.试题卷包括1至4页；答题卷1至4页.满分150分.考试时间120分钟.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数，其中是虚数单位，是的共轭复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，后由共轭复数，复数乘法，复数相等知识可得答案.
【详解】设，则，
，则
.故选：A
2. 已知向量，，．若与垂直，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出坐标，依题意，根据数量积的坐标运算得到方程，解得即可.
【详解】因为，，所以，
又且与垂直，
所以，解得.
故选：C
3. 已知，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，再根据利用两角差的正弦公式计算可得.
【详解】因为，且，则，
所以，
所以
.
故选：C
4. 如图，一个矩形边长为1和4，绕它的长为的边旋转二周后所得如图的一开口容器（下表面密封），是中点，现有一只妈蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】画出圆柱的侧面展开图，根据对称性，求出的最小值就是的长，求解即可．
【详解】解：依题意可得圆柱的底面半径，高
将圆柱的侧面（一半）展开后得矩形，其中，，
问题转化为在上找一点，使最短，
作关于对称点，连接，令与交于点，
则得的最小值就是为．
故选：A
5. 已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足，则与面积比为（ ）
A. 5:6B. 1:4C. 2:3D. 1:2
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角形重心的性质及平面向量的线性运算，结合三角形的面积公式即可求解.
【详解】如图所示
是的重心，
,
,
,
,
，即，
点为的中点，即点为边中线的两个三等分点，
，
，
故选：B.
6. 《九章算术》涉及算术、代数、几何等诸多领域，书中有如下问题：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高二丈，问积几何？”其意思为：“有一个圆台，下底周长为3丈，上底周长为2丈，高为2丈，那么该圆台的体积是多少？”已知1丈等于10尺，圆周率约为3，估算出这个圆台体积约有（ ）
A. 立方尺B. 立方尺
C. 立方尺D. 立方尺
【答案】D
【解析】
【分析】利用圆台体积公式计算即可.
【详解】如图所示，
设圆台上底半径为，下底半径为，则，，
解得：，，
即：下底半径为5尺，上底半径为尺，
设分别为上下底面面积，
所以圆台的体积为：立方尺.
故选：D.
7. 已知△ 的内角所对的边分别为，满足，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D. （，）
【答案】D
【解析】
【分析】利用余弦定理求出B的值，再根据题意利用三角恒等变换和三角函数的图象与性质，即可求得对应的取值范围．
详解】由，可得，
由余弦定理得，
因为，可得，
又因为
，
因为，
所以，
所以，
所以，
即的取值范围为.
故选：D.
8. 已知正方形的边长为，现将△沿对角线翻折，得到三棱锥.记的中点分别为，则下列结论错误的是（ ）
A. 与平面所成角的范围是
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 与所成角的范围是
D. 三棱锥的外接球的表面积为定值
【答案】C
【解析】
【分析】把与平面所成的角转化为直线与平面所成的角，即可判断A；
当平面平面时，点到平面的距离最大，进而可得三棱锥体积的最大值，可判定B；
因为，所以为异面直线与所成的角，求解可判定C；
由，所以三棱锥的外接球的球心为，即可求得外接球半径，从而可判定D.
【详解】对于A，如图，取，的中点为，，连接，，，，
则可得，，
因为平面，平面，所以平面，
同理可证得平面，又、平面，，
所以平面平面，
依题意可得，，，所以平面，
所以平面，因为，所以平面，
所以即为直线与平面所成的角，
在折叠过程中，设，则，
由，为，的中点，所以，
在中，可得，
所以的取值范围是，即与平面所成角的范围是，
所以A正确；
对于B，当平面平面时，点到平面的距离最大，
即三棱锥高的最大值为，
此时三棱锥的最大体积为，
所以B正确；
对于C，因为，所以为异面直线与所成的角，
所以，
所以的取值范围是，所以C错误；
对于D，由，所以三棱锥的外接球的球心为，
即外接球半径，所以三棱锥的外接球的表面积为为定值，
所以D正确.
故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9. 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列说法中正确的是（ ）
A. 对应的点位于第二象限
B. 为纯虚数
C. 的模长等于
D. 的共轭复数为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据题意结合复数的相关概念与运算逐项分析判断.
【详解】对于A项：由题意可得：，则其对应的点为，
∵，则，
∴对应的点位于第二象限，故A项正确；
对于B项：由题意可得：为实数，故B项错误；
对于C项：方法1：由题意可得：，
则，
方法2：，故C项错误；
对于D项：由题意可得：，
则的共轭复数为，故D项正确；
故选：AD.
10. 已知，是两个不重合的平面，，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，则
C. 若，则
D. 若，，则与所成的角和与所成的角相等
【答案】BD
【解析】
【分析】根据直线、平面的位置关系、等角定理，结合图形，通过举反例进行判断.
【详解】对于A，根据已知条件，可得如下图的反例：
故A错误；
对于B，若，则垂直于平面内的任意一条直线，又，
由等角定理可知，，故B正确；
对于C，根据已知条件，可得如下图的反例，n在面α内：
故C错误；
对于D，若，，根据等角定理以及线面角的定义可知，
与所成的角和与所成的角相等，故D正确.
故选：BD.
11. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为、，其中小正方形的面积为4，大正方形面积为9，则下列说法正确的是（ ）
A. 每一个直角三角形的面积为
B.
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据已知，利用正方形、直角三角形的性质以及和角公式计算求解.
【详解】由题可知，每一个直角三角形的面积为，故A正确；
如图，设直角三角形的两直角边分别为:则，，显然，
因为，，所以，故B错误；
因为，，由，有：
，，
所以，故C正确；
因为，，，，
所以，故D正确.
故选：ACD.
12. 在长方体中，，，，动点在平面内且满足，则（ ）
A. 无论，取何值，三棱锥的体积为定值30
B. 当时，的最小值为
C. 当时，直线与直线恒为异面直线
D. 当时，平面
【答案】BD
【解析】
【分析】对于各选项分别确定点即可求解.
【详解】对于A，在长方体中，由于动点在平面内，所以点到平面的距离恒为3，
又，所以，故A错误；
对于B，当时，点在线段上，将矩形和矩形展开为矩形,则
，故B正确；
对于C，当时，由得，所以点在线段上,
由于，所以当时，点即为点，此时直线与直线平行，故C错误；
对于D，当时，由得点在线段上，连接，
因为在长方体中，所以可得，所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
同理可得平面，而平面，所以平面平面，
又平面，所以平面，故D正确；
故选：BD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 化简_______________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】利用三角恒等变换，先化切为弦，把转化为，利用差角公式化简可得答案.
【详解】
.
故答案为: .
14. 已知是等腰直角三角形，，是外接圆上一点，则的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，确定三角形外接圆方程，确定变量范围，利用数量积的坐标表示求得的表达式，结合变量范围，即可求得答案.
【详解】如图，以的中点O为坐标原点，为x轴，的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，
由于，则,，，
外接圆的方程为，
设,则，
则，
∴，
由于，故，
∴取值范围为.
故答案为：
15. 山西应县木塔（如图1）是世界上现存最古老、最高大的木塔，是中国古建筑中的瑰宝，是世界木结构建筑的典范．如图2，某校数学兴趣小组为测量木塔的高度，在木塔的附近找到一建筑物，高为米，塔顶在地面上的射影为，在地面上再确定一点（，，三点共线），测得约为58米，在点处测得塔顶的仰角分别为30°和60°，则该小组估算的木塔的高度为______米．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知，结合图形，利用直角三角形的性质建立方程求解.
【详解】如图，过点A作BD的平行线交PD于点E，设，
在中，，所以，
所以在中，，
因为，所以，解得，
所以在中，.
故答案为：.
16. 如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，球的半径，，分别为圆柱上、下底面的圆心，O为球心，为底面圆的一条直径，若为球面和圆柱侧面的交线上一动点，线段与的和为，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】设在底面的投影为，连接，，，则平面，则，，在中由勾股定理表示出和，由，设，得出，求出其范围即可得出的取值范围．
【详解】由题可知，点在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设在底面的投影为，连接，，，则平面，，
又，平面，
所以，，
所以，，，
设，
则，
，
因为，
所以，
所以，
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知．
（1）若为锐角，求的值；
（2）求值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据诱导公式及同角三角函数的基本关系列方程求出，再由两角和的余弦公式求解即可；
（2）根据二倍角的正切公式求解即可.
【小问1详解】
，
且，为锐角，
解得，
所以.
【小问2详解】
由（1）可知：，可得 ，
所以，
所以.
18. 已知复数.
（1）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围；
（2）若，在复平面（为坐标原点）内对应的点分别为.求向量在向量上的投影向量的坐标.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)利用复数的四则运算以及复数的几何意义，建立方程组进行求解.
(2)利用复数的四则运算、复数的几何意义以及投影向量的计算公式进行求解.
【小问1详解】
因为，所以.
因为复数在复平面内对应的点在第二象限，
所以，解得，
即实数m的取值范围是.
【小问2详解】
由题可知，，
则点，，，.
因此.
19. 如图，在中，，点为边的中点，．
（1）求；
（2）求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意得到，结合向量的数量积的运算公式，求得，即可求解；
（2）设，，根据向量的线性运算，求得及，联立方程组，求得，结合，即可求解.
【小问1详解】
解：在中，点D为边的中点，可得，
因为，
所以
所以．
【小问2详解】
解：在中，因为，则，
又因为在上，设，，其中，
可得，则，
又由，
所以，解得，所以，
所以的面积.
20. 已知△的内角所对的边分别为，且．
（1）求；
（2）若△的面积为为内角A的角平分线，交边于点D，求线段长的最大值．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理进行角换边得，再利用余弦定理即可得到答案；
（2）求出，结合三角形面积公式得，再利用二倍角的余弦公式得，最后再次根据三角形面积公式和基本不等式即可得到答案.
【小问1详解】
由正弦定理，得，即，
故根据余弦定理有.
【小问2详解】
因为为三角形内角，则由（1）知，
因为的面积为，所以，
即，解得，
又因为，，所以，所以，
所以．
于是.
那么．
所以（当且仅当时等号成立）
故的最大值为．
21. 如图（1），六边形是由等腰梯形和直角梯形拼接而成，且，，沿进行翻折，得到的图形如图（2）所示，且.
（1）求二面角的余弦值；
（2）求四棱锥外接球的体积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）作，连接，则，证得平面，得到再证得平面，得到，进而得到就是二面角的平面角，在直角中，即可求解；
（2）取的中点，连接，得到为等腰梯形的外心，取的中点，连接，证得平面，得到为四棱锥外接球的球心，利用球的体积公式，即可求解.
【小问1详解】
解：在等腰梯形中，作于，
则，所以，
连接，则，
因为，所以，所以，所以，
又因为，且，平面，所以平面，
又由平面，所以，
因为且，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为，所以就是二面角的平面角，
在直角中，，
所以二面角的余弦值为.
【小问2详解】
解：取的中点，连接，可得证四边形、均为平行四边形，
所以，所以为等腰梯形外心，
取的中点，连接，可得，
因为平面，所以平面，
又因为，所以为四棱锥外接球的球心，
所以球的半径为，所以.
22. 在面积为的中，内角所对的边分别为，且．
（1）若为锐角三角形，是关于的方程的解，求的取值范围；
（2）若且的外接圆的直径为8，分别在线段上运动（包括端点），为边的中点，且，的面积为．令，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由结合三角形面积公式，正弦定理和余弦定理得，由为锐角三角形得出，由是关于的方程的解，整理得，根据正切函数的单调性及的范围即可求出的取值范围；
（2）由和得出为正三角形，由的外接圆的直径为8得出，则，设，，在BDE和ADF中，由正弦定理表示出和，进而表示出，代入，化简整理，由基本不等式即可得出最小值．
【小问1详解】
在中，由三角形面积公式得，
由正弦定理得：，
整理得：，由余弦定理得：，
又，故，
因为为锐角三角形，
所以，，所以，
所以
，
因为，
所以，
所以，
故．
【小问2详解】
由，得，
所以，
由（1）得，
所以为正三角形，
所以，
因为为边的中点，
所以，
设，，
在BDE和ADF中，
由正弦定理得，，
化简得，，
，
因
，
所以，
则
因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以最小值为．
本试卷分试题卷和答题卷两部分.试题卷包括1至4页；答题卷1至4页.满分150分.考试时间120分钟.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数，其中是虚数单位，是的共轭复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，后由共轭复数，复数乘法，复数相等知识可得答案.
【详解】设，则，
，则
.故选：A
2. 已知向量，，．若与垂直，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出坐标，依题意，根据数量积的坐标运算得到方程，解得即可.
【详解】因为，，所以，
又且与垂直，
所以，解得.
故选：C
3. 已知，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，再根据利用两角差的正弦公式计算可得.
【详解】因为，且，则，
所以，
所以
.
故选：C
4. 如图，一个矩形边长为1和4，绕它的长为的边旋转二周后所得如图的一开口容器（下表面密封），是中点，现有一只妈蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】画出圆柱的侧面展开图，根据对称性，求出的最小值就是的长，求解即可．
【详解】解：依题意可得圆柱的底面半径，高
将圆柱的侧面（一半）展开后得矩形，其中，，
问题转化为在上找一点，使最短，
作关于对称点，连接，令与交于点，
则得的最小值就是为．
故选：A
5. 已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足，则与面积比为（ ）
A. 5:6B. 1:4C. 2:3D. 1:2
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角形重心的性质及平面向量的线性运算，结合三角形的面积公式即可求解.
【详解】如图所示
是的重心，
,
,
,
,
，即，
点为的中点，即点为边中线的两个三等分点，
，
，
故选：B.
6. 《九章算术》涉及算术、代数、几何等诸多领域，书中有如下问题：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高二丈，问积几何？”其意思为：“有一个圆台，下底周长为3丈，上底周长为2丈，高为2丈，那么该圆台的体积是多少？”已知1丈等于10尺，圆周率约为3，估算出这个圆台体积约有（ ）
A. 立方尺B. 立方尺
C. 立方尺D. 立方尺
【答案】D
【解析】
【分析】利用圆台体积公式计算即可.
【详解】如图所示，
设圆台上底半径为，下底半径为，则，，
解得：，，
即：下底半径为5尺，上底半径为尺，
设分别为上下底面面积，
所以圆台的体积为：立方尺.
故选：D.
7. 已知△ 的内角所对的边分别为，满足，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D. （，）
【答案】D
【解析】
【分析】利用余弦定理求出B的值，再根据题意利用三角恒等变换和三角函数的图象与性质，即可求得对应的取值范围．
详解】由，可得，
由余弦定理得，
因为，可得，
又因为
，
因为，
所以，
所以，
所以，
即的取值范围为.
故选：D.
8. 已知正方形的边长为，现将△沿对角线翻折，得到三棱锥.记的中点分别为，则下列结论错误的是（ ）
A. 与平面所成角的范围是
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 与所成角的范围是
D. 三棱锥的外接球的表面积为定值
【答案】C
【解析】
【分析】把与平面所成的角转化为直线与平面所成的角，即可判断A；
当平面平面时，点到平面的距离最大，进而可得三棱锥体积的最大值，可判定B；
因为，所以为异面直线与所成的角，求解可判定C；
由，所以三棱锥的外接球的球心为，即可求得外接球半径，从而可判定D.
【详解】对于A，如图，取，的中点为，，连接，，，，
则可得，，
因为平面，平面，所以平面，
同理可证得平面，又、平面，，
所以平面平面，
依题意可得，，，所以平面，
所以平面，因为，所以平面，
所以即为直线与平面所成的角，
在折叠过程中，设，则，
由，为，的中点，所以，
在中，可得，
所以的取值范围是，即与平面所成角的范围是，
所以A正确；
对于B，当平面平面时，点到平面的距离最大，
即三棱锥高的最大值为，
此时三棱锥的最大体积为，
所以B正确；
对于C，因为，所以为异面直线与所成的角，
所以，
所以的取值范围是，所以C错误；
对于D，由，所以三棱锥的外接球的球心为，
即外接球半径，所以三棱锥的外接球的表面积为为定值，
所以D正确.
故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9. 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列说法中正确的是（ ）
A. 对应的点位于第二象限
B. 为纯虚数
C. 的模长等于
D. 的共轭复数为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据题意结合复数的相关概念与运算逐项分析判断.
【详解】对于A项：由题意可得：，则其对应的点为，
∵，则，
∴对应的点位于第二象限，故A项正确；
对于B项：由题意可得：为实数，故B项错误；
对于C项：方法1：由题意可得：，
则，
方法2：，故C项错误；
对于D项：由题意可得：，
则的共轭复数为，故D项正确；
故选：AD.
10. 已知，是两个不重合的平面，，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，则
C. 若，则
D. 若，，则与所成的角和与所成的角相等
【答案】BD
【解析】
【分析】根据直线、平面的位置关系、等角定理，结合图形，通过举反例进行判断.
【详解】对于A，根据已知条件，可得如下图的反例：
故A错误；
对于B，若，则垂直于平面内的任意一条直线，又，
由等角定理可知，，故B正确；
对于C，根据已知条件，可得如下图的反例，n在面α内：
故C错误；
对于D，若，，根据等角定理以及线面角的定义可知，
与所成的角和与所成的角相等，故D正确.
故选：BD.
11. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为、，其中小正方形的面积为4，大正方形面积为9，则下列说法正确的是（ ）
A. 每一个直角三角形的面积为
B.
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据已知，利用正方形、直角三角形的性质以及和角公式计算求解.
【详解】由题可知，每一个直角三角形的面积为，故A正确；
如图，设直角三角形的两直角边分别为:则，，显然，
因为，，所以，故B错误；
因为，，由，有：
，，
所以，故C正确；
因为，，，，
所以，故D正确.
故选：ACD.
12. 在长方体中，，，，动点在平面内且满足，则（ ）
A. 无论，取何值，三棱锥的体积为定值30
B. 当时，的最小值为
C. 当时，直线与直线恒为异面直线
D. 当时，平面
【答案】BD
【解析】
【分析】对于各选项分别确定点即可求解.
【详解】对于A，在长方体中，由于动点在平面内，所以点到平面的距离恒为3，
又，所以，故A错误；
对于B，当时，点在线段上，将矩形和矩形展开为矩形,则
，故B正确；
对于C，当时，由得，所以点在线段上,
由于，所以当时，点即为点，此时直线与直线平行，故C错误；
对于D，当时，由得点在线段上，连接，
因为在长方体中，所以可得，所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
同理可得平面，而平面，所以平面平面，
又平面，所以平面，故D正确；
故选：BD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 化简_______________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】利用三角恒等变换，先化切为弦，把转化为，利用差角公式化简可得答案.
【详解】
.
故答案为: .
14. 已知是等腰直角三角形，，是外接圆上一点，则的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，确定三角形外接圆方程，确定变量范围，利用数量积的坐标表示求得的表达式，结合变量范围，即可求得答案.
【详解】如图，以的中点O为坐标原点，为x轴，的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，
由于，则,，，
外接圆的方程为，
设,则，
则，
∴，
由于，故，
∴取值范围为.
故答案为：
15. 山西应县木塔（如图1）是世界上现存最古老、最高大的木塔，是中国古建筑中的瑰宝，是世界木结构建筑的典范．如图2，某校数学兴趣小组为测量木塔的高度，在木塔的附近找到一建筑物，高为米，塔顶在地面上的射影为，在地面上再确定一点（，，三点共线），测得约为58米，在点处测得塔顶的仰角分别为30°和60°，则该小组估算的木塔的高度为______米．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知，结合图形，利用直角三角形的性质建立方程求解.
【详解】如图，过点A作BD的平行线交PD于点E，设，
在中，，所以，
所以在中，，
因为，所以，解得，
所以在中，.
故答案为：.
16. 如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，球的半径，，分别为圆柱上、下底面的圆心，O为球心，为底面圆的一条直径，若为球面和圆柱侧面的交线上一动点，线段与的和为，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】设在底面的投影为，连接，，，则平面，则，，在中由勾股定理表示出和，由，设，得出，求出其范围即可得出的取值范围．
【详解】由题可知，点在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设在底面的投影为，连接，，，则平面，，
又，平面，
所以，，
所以，，，
设，
则，
，
因为，
所以，
所以，
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知．
（1）若为锐角，求的值；
（2）求值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据诱导公式及同角三角函数的基本关系列方程求出，再由两角和的余弦公式求解即可；
（2）根据二倍角的正切公式求解即可.
【小问1详解】
，
且，为锐角，
解得，
所以.
【小问2详解】
由（1）可知：，可得 ，
所以，
所以.
18. 已知复数.
（1）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围；
（2）若，在复平面（为坐标原点）内对应的点分别为.求向量在向量上的投影向量的坐标.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)利用复数的四则运算以及复数的几何意义，建立方程组进行求解.
(2)利用复数的四则运算、复数的几何意义以及投影向量的计算公式进行求解.
【小问1详解】
因为，所以.
因为复数在复平面内对应的点在第二象限，
所以，解得，
即实数m的取值范围是.
【小问2详解】
由题可知，，
则点，，，.
因此.
19. 如图，在中，，点为边的中点，．
（1）求；
（2）求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意得到，结合向量的数量积的运算公式，求得，即可求解；
（2）设，，根据向量的线性运算，求得及，联立方程组，求得，结合，即可求解.
【小问1详解】
解：在中，点D为边的中点，可得，
因为，
所以
所以．
【小问2详解】
解：在中，因为，则，
又因为在上，设，，其中，
可得，则，
又由，
所以，解得，所以，
所以的面积.
20. 已知△的内角所对的边分别为，且．
（1）求；
（2）若△的面积为为内角A的角平分线，交边于点D，求线段长的最大值．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理进行角换边得，再利用余弦定理即可得到答案；
（2）求出，结合三角形面积公式得，再利用二倍角的余弦公式得，最后再次根据三角形面积公式和基本不等式即可得到答案.
【小问1详解】
由正弦定理，得，即，
故根据余弦定理有.
【小问2详解】
因为为三角形内角，则由（1）知，
因为的面积为，所以，
即，解得，
又因为，，所以，所以，
所以．
于是.
那么．
所以（当且仅当时等号成立）
故的最大值为．
21. 如图（1），六边形是由等腰梯形和直角梯形拼接而成，且，，沿进行翻折，得到的图形如图（2）所示，且.
（1）求二面角的余弦值；
（2）求四棱锥外接球的体积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）作，连接，则，证得平面，得到再证得平面，得到，进而得到就是二面角的平面角，在直角中，即可求解；
（2）取的中点，连接，得到为等腰梯形的外心，取的中点，连接，证得平面，得到为四棱锥外接球的球心，利用球的体积公式，即可求解.
【小问1详解】
解：在等腰梯形中，作于，
则，所以，
连接，则，
因为，所以，所以，所以，
又因为，且，平面，所以平面，
又由平面，所以，
因为且，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为，所以就是二面角的平面角，
在直角中，，
所以二面角的余弦值为.
【小问2详解】
解：取的中点，连接，可得证四边形、均为平行四边形，
所以，所以为等腰梯形外心，
取的中点，连接，可得，
因为平面，所以平面，
又因为，所以为四棱锥外接球的球心，
所以球的半径为，所以.
22. 在面积为的中，内角所对的边分别为，且．
（1）若为锐角三角形，是关于的方程的解，求的取值范围；
（2）若且的外接圆的直径为8，分别在线段上运动（包括端点），为边的中点，且，的面积为．令，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由结合三角形面积公式，正弦定理和余弦定理得，由为锐角三角形得出，由是关于的方程的解，整理得，根据正切函数的单调性及的范围即可求出的取值范围；
（2）由和得出为正三角形，由的外接圆的直径为8得出，则，设，，在BDE和ADF中，由正弦定理表示出和，进而表示出，代入，化简整理，由基本不等式即可得出最小值．
【小问1详解】
在中，由三角形面积公式得，
由正弦定理得：，
整理得：，由余弦定理得：，
又，故，
因为为锐角三角形，
所以，，所以，
所以
，
因为，
所以，
所以，
故．
【小问2详解】
由，得，
所以，
由（1）得，
所以为正三角形，
所以，
因为为边的中点，
所以，
设，，
在BDE和ADF中，
由正弦定理得，，
化简得，，
，
因
，
所以，
则
因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以最小值为．
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