2023-2024学年江苏省扬州中学高一下学期期中数学试题

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的，请将所有选择题答案填涂到答题卡的指定位置）
1. 复数的模为（ ）
A B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.
【详解】因为，因此，.
故选：A.
2. 若，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】分析：由公式可得结果.
详解：
故选B.
点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题.
3. 已知向量满足（2，1），（1，y），且，则＝（ ）
A. B. C. 5D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程，由此求得，根据向量模的坐标表示求得正确答案.
【详解】根据题意，（2，1），（1，y），且，则有2+y＝0，解可得y＝﹣2，即（1，﹣2），
则（4，﹣3），故 5；
故选：C
【点睛】本小题主要考查向量垂直和模的坐标表示，属于基础题.
4. 若函数在上单调递增，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由三角恒等变换化简函数解析式，求出正弦函数的单调增区间，即可得出的最大值.
【详解】由题意可得，令
得，令，得，所以的最大值为.
故选：D
【点睛】本题主要考查了利用正弦型函数的单调性求参数的范围，属于中档题.
5. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若，，则的面积是（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知结合余弦定理得出的值，即可根据面积公式得出答案.
【详解】，
即，
由余弦定理得，
解得：，
则，
故选：C.
6. 设复数满足：，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，然后根据复数相等计算求解；或变形为两边取模后平方，计算求解即可.
【详解】解法1：设，由已知，
由复数相等可得，解得，故.
解法2：由已知得，①
两边取模后平方可得，
所以，代入①得.
故选：B.
7. 在中，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意结合数量积的运算及正弦定理可得，由，求得，进而可得答案.
【详解】∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
又，∴，即，
又，∴.
故选：D.
8. 设向量，的夹角为，定义，若平面内互不相等的两个非零向量，满足：，与的夹角为，的最大值为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，则，由题意中，，，外接圆的半径为，设，由正弦定理可得，，，则整理化简后由三角函数的性质求解.
【详解】设，则，
，与的夹角为，
中，，，
由正弦定理可得：，的外接圆的半径为，点B为圆上与OA不重合的动点，
设，
由正弦定理可得，，，
则
，
当时，取得最大值，且为.
故选：C.
二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每题给出的四个选项中，有多项是符合题意的，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选的得0分）
9. （多选）关于平面向量，下列说法中错误的是（ ）
A. 若且，则B.
C. 若，且，则D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】A.由向量判断；B.由向量的运算律判断；C.由数量积的运算律判断；D.由向量共线判断.
【详解】A.若向量，则不一定平行，故错误；
B.根据向量的运算律可知，B正确；
C. ，且，所以或，故错误；
D.表示与向量共线的向量，表示与向量共线的向量，与不一定相等，故错误.
故选：ACD
10. 已知：函数，若直线与函数的图象有三个交点，，，且，则下列命题中正确的是（ ）
A. 函数有两个零点0和2B.
C. 方程有6个不同的根D. 当时，方程有两个不相等的实根
【答案】ABD
【解析】
【分析】令，求出函数的零点可判断A；作出函数的大致图象，由图结合题意可得，即有，结合对数运算化简即可判断B；方程根的问题转化为图象交点的问题，结合图形可判断C，D.
【详解】由题意，令，
当时，，解得；当时，，解得，
则函数有两个零点0和2，故A正确；
作出函数的大致图象，如图，

由图结合题意可知，，
由，可得，即，故B正确；
由可得或，
由图可知，函数的图象与直线及共有4个交点，则方程有4个不同的根，故C错误；
当时，
当时，令，解得，
且由图象可得当时，与只有一个交点。
综上，直线与函数的图象有两个交点，则方程有两个不相等的实根，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知复数，满足，，则有（ ）
A. 最大值B. 最大值C. 最小值D. 最小值
【答案】BD
【解析】
【分析】令，有以及，由绝对值三角不等式求解可得结果.
【详解】由得，
令，有以及，
因此，由绝对值三角不等式得，
，等号在两复数对应的向量反向时成立，
，等号在两复数对应的向量同向时成立，
因此，，则，即有最大值，最小值.
故选：BD.
12. 设的内角、、所对的边为、、，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用余弦定理与基本不等式可判断AB选项的正误；利用反证法结合不等式的基本性质可判断C选项的正误；利用特殊值法可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，由余弦定理可得，
，故，A选项正确；
对于B选项，，则，则，
由余弦定理可得，
，故，B选项正确；
对于C选项，假设，则，则，
所以，，与矛盾，
假设不成立，故，故C选项正确；
对于D，取，，满足，
且，则为锐角，故D选项错误.
故选：ABC.
【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么__________．
【答案】.
【解析】
【详解】.
14. 若，则的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用二倍角的正弦公式和平方关系式的逆用公式弦化切可得,利用两角和的正切公式可得,然后相除可得.
【详解】因为,
所以,
,
所以.
故答案为:
【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式,两角和的正切公式,属于中档题.
15. 正三角形边长等于，点在其外接圆上运动，则取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】设正三角形外接圆圆心为，半径为，则，且．设的中点为，设与的夹角为，
把转化为，利用数量积的定义，三角函数求最值.
【详解】解：设正三角形的外接圆圆心为，半径为，则，且．
由题意知
．
设的中点为，则，且，
设与的夹角为，
则．
又因为，所以的范围为.
故答案为：
【点睛】向量的基本运算处理的常用方法：
(1)向量几何化：画出合适的图形，利用向量的运算法则处理；
(2)向量坐标化：建立适当的坐标系，利用向量的坐标运算处理．
16. 已知，若存在，满足,则称△A1B1C1是△ABC的
一个“友好”三角形.
(i) 在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是__：（请写出符合要求的条件的序号）
① ； ②；③.
(ii)若等腰存在“友好”三角形，则其顶角的度数为___.
【答案】 ①. ② ②.
【解析】
【详解】（i）对①：因为所以①不存在“友好”三角形；
对②：若，
同理：故②存在“友好”三角形；
对③：若满足，则或
都不能构成三角形，故③不存在“友好”三角形．
（ii）若等腰存在“友好”三角形，则A=B，所以A+A+C=
或，分析知．
所以即
故C=．即顶角的度数为．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. 设，是两个不共线的向量.
（1）判断与是否共线，并说明理由；
（2）已知，，，若A，B，D三点共线，求k的值.
【答案】（1）共线，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由两个向量共线的条件判断即可；
（2）由A，B，D三点共线，可得与共线，即存在实数，使得，结合平面向量基本定理求解即可.
【小问1详解】
当时，显然与共线.
当时，，则与共线.
综上，与共线.
【小问2详解】
，
A，B，D三点共线，与共线，
即存在实数，使得，即，
因为，是两个不共线的向量，由平面向量基本定理得，
∴.
18. 设复数z满足.
（1）求复数；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据在复数范围内，实系数一元二次方程的求根公式求解；
（2）由，得，代入计算可得结果.
【小问1详解】
由，知，
则.
【小问2详解】
由，得，
所以.
19. 已知，．
（1）求证：与互相垂直；
（2）若与的模相等，求．(其中k为非零实数)
【答案】（1）证明见解析 ；（2）．
【解析】
【分析】（1）利用平面向量的坐标运算，计算并化简，进而可得到答案；
（2）先根据平面向量的坐标运算求出和，令其相等，并根据角的范围求得答案.
【详解】（1）因为
，所以与互相垂直.
（2）因为，
，
所以，
，
因为若与的模相等，所以，而k为非零实数，
所以，
而，则，所以.
20. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D满足，且．
（1）若b＝c，求A的值；
（2）求B最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据，结合，得到，再由b＝c求解；
（2）由，利用余弦定理得到 ，再利用余弦定理，结合基本不等式求解.
小问1详解】
解：因为，
所以，
即，
所以，
因为b＝c，
所以，
因为，
所以．
【小问2详解】
因为，
由余弦定理得，，
即，
所以，
当且仅当时，即时，取等号．
因为，
所以B的最大值为．
21. 如图，海上有A，B两个小岛相距，船O将保持观望A岛和B岛所成的视角为，现从船O上泥下一只小艇沿BO方向驶至C处进行作业，且，设.
（1）用x分别表示和，并求出x的取值范围；
（2）晚上小艇在C处发出一道强烈的光线照射A岛，B岛至光线CA的距离为BD，求BD的最大值.
【答案】（1），，
（2）10
【解析】
【分析】（1）应用余弦定理结合基本不等式求出范围即可；
（2）根据面积公式列式表示成函数，根据函数单调性求出最值即得.
【小问1详解】
在中，，
由余弦定理得，
又，所以①，
在，中，，
由余弦定理得②，
①+②得，
①-②得，即，
又，所以，即，
又，即，所以；
【小问2详解】
易知，
故，
又，设，
所以，，
,在上是增函数，
所以的最大值为，即BD的最大值为10.
22. 已知定义在上的函数同时满足①（，为实数）；②；③当时，.求：
（1）函数的解析式；
（2）实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意分别令；；，利用加减消元并整理化简可得的解析式；
（2）分，两种情况讨论，结合三角函数的性质列出不等式求解即可.
【小问1详解】
在中，
分别令；；，
得
由①+②－③，得，
则，
.
【小问2详解】
当时，，则.
当时，，即，
又，则，解得；
当时，，即，
又，则，解得，
综上，实数a的取值范围是.