2023-2024学年江苏省镇江市丹阳高级中学高一重点班下学期3月阶段检测数学试题

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一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）
1. 已知向量，，且，那么等于（ ）
A. (4，0)B. (0，4)C. (3，－6)D. (－3，6)
【答案】C
【解析】
【分析】根据共线向量的性质，结合平面向量减法的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】解析 ∵，∴
则得
∴，
∴＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6).
故选：C
2. 已知，，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平方关系求得，再根据结合两角和的余弦公式即可得解.
【详解】解：因为，所以，
所以，
所以.
故选：D.
3. 在中,已知,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由B，C的度数，三角形的内角和定理，求出A的度数，利用正弦定理即得解.
【详解】由三角形内角和：
根据正弦定理：，又
则：
故选：C
【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.
4. 已知、满足：，，，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据计算出，再根据即可得结果.
【详解】，
，
，
∴，
所以.
故选：C.
5. 已知，在上的投影向量为，则的值为（ ）
A. 3B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】设与夹角为，依题意可得，再根据向量数量积的定义计算可得；
【详解】解：设与的夹角为，∵，∴，∴，∴.
故选：B
6. 设向量，，且，则向量与的夹角为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】向量，，且，则, ,, ,设向量与的夹角为，则 ，，选D.
7. 如图，梯形中，，，，，若点为边上的动点，则的最小值是（ ）
A. 1B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，设，则根据题设条件可求的值，从而可求的表达式，根据二次函数的性质可求最小值.
【详解】以为原点，，所在直线分别为，轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，
设，则，，
因为，
所以，解得，即，
设，，，则，，
所以，
所以的最小值为．
故选：D.
8. 中，内角A，B，C所对的边分别为.①若，则；②若，则一定为等腰三角形；③若，则一定为直角三角形；④若，，且该三角形有两解，则的范围是.以上结论中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】
由大边对大角可判断①的正误，用三角函数的知识将式子进行化简变形可判断②③的正误，用正弦定理结合三角形有两解可判断④的正误.
【详解】①由正弦定理及大边对大角可知①正确；
②可得或，是等腰三角形或直角三角形，所以②错误；
③由正弦定理可得，
结合
可知，因为，所以，
因为，所以，因此③正确；
④由正弦定理得，
因为三角形有两解，所以
所以，即，故④错误.
故选：B
【点睛】本题考查的是正余弦定理的简单应用，要求我们要熟悉三角函数的和差公式及常见的变形技巧,属于中档题.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 下列等式成立的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用三角函数恒等变换公式分析判断
【详解】对于A，，所以A正确，
对于B，，所以B错误，
对于C， ，所以C正确，
对于D，
，所以D错误，
故选：AC
10. 已知的重心为G，点E是边上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若，则的面积是面积的
C. 若，，则
D. 若，，则当取得最小值时，
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据三角形重心的向量性质判断A，由向量的线性运算求得与的关系，判断B，由数量积的定义计算判断C，设，计算数量积后求最小值，从而可计算出判断D．
【详解】因为的重心为G，所以，所以，A错；
，B正确；
，， 是等腰三角形，，
是锐角，，
，
，C正确；
设，，
，
所以时，取得最小值，
此时， D正确．
故选：BCD．
11. 已知函数f(x)＝cs(ωx－)＋sinωx(0<ω<10)，且f(x)过点(，)则下列说法正确的是（ ）
A. f(x)关于直线x＝对称B. f(x)在(π，)上单调递减
C. f(x)的最小正周期为D. 为了得到g(x)＝sin2x的图象，只需把y＝f(x)的图象向右平移个单位长度
【答案】CD
【解析】
【分析】先化简函数解析式，代入点坐标求得参数，写出解析式，根据三角函数解析式判断函数的对称轴，单调区间，最小正周期及图像平移后的解析式问题.
【详解】由题知，
，，
则，
解得，即
对于A，，即直线不是函数的对称轴，故A错误；
对于B，时，，由正弦函数单调性知，函数没有单调性，故B错误；
对于C，函数最小正周期为，故C正确；
对于D，函数图像向右平移个单位得到，，故D正确；
故选：CD
12. 在中，内角A，B，C所对的边分别为，，，则（ ）
A. 为锐角三角形
B. 当时，
C. 周长的最大值为3
D. 面积的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由正弦定理边角互化并结合三角恒等变换整理得,进而,再依次讨论各选项即可.
【详解】由，可得，化简可得
，因为，所以，可得，A，C的大小不确定，可能为直角或钝角，A错误；
当时，，，B正确；
由，可得，变形可得，解得，当且仅当时取等号，所以的周长，C正确；
由，可得，当且仅当时取等号，所以的面积，D正确.
故选：BCD
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】首先根据同角三角函数的基本关系求出，再利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得；
【详解】解：因为，所以，所以
故答案为：
14. 在△ABC中,若则角B等于______ .
【答案】或
【解析】
【详解】∵
∴由正弦定理得：
∵
∴或
故答案为或
15. 在中，内角所对的边分别是，若，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】由正弦定理化角为边，代入得，然后由余弦定理可得结论．
【详解】因为，
所以由正弦定理可得,.
又，
所以，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，解题关键是由正弦定理化角为边得出边的关系．
16. 如图所示，在▱中，，，交于点，则＝____.
【答案】3:14##
【解析】
【分析】设，，用和表示出、.由A、、三点共线设，由、、三点共线，设，用和分别表示出，根据向量相同，和不共线可得关于λ和μ的方程组，解方程可得AO和AM的比例，由此可得AO和OM的比例.
【详解】设，，
则，.
∵A、、三点共线，∴设，
则①，
∵、、三点共线，∴设②，
由①②得，，
∵不共线，∴，解得，
∴，∴，
∴．
故答案为：3:14.
四、解答题（本大题共6小题，计70分.）
17. 如图，在中，已知，，，点D是上一点，满足，点E是边上一点，满足
（1）当时，求
（2）是否存在非零实数，使得？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由
【答案】（1）
（2）存在非零实数，使得
【解析】
【分析】（1）当时，、分别是，的中点，则、，然后根据已知条件即可求解；
（2）假设存在非零实数，使得，利用、为基底分别表示出和，
由求出值即可．
【小问1详解】
解：当时，，，
、分别是，的中点，
，，
；
【小问2详解】
解：假设存在非零实数，使得，
由，得，
；
又，
；
，解得或（不合题意，舍去），
所以存在非零实数，使得．
18. 已知向量，，.
（1）求的值；
（2）若，，且，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）结合平面向量减法以及模长的坐标公式可得，进而通过两边同时平方以及同角的平方关系以及两角差的余弦公式的逆用即可求出结果；
（2）结合角范围以及同角的平方关系求出和的值，进而利用两角和的正弦公式凑角即可求出结果.
【详解】（1）因为向量，，
所以，
又因为，所以，
，
即，所以；
（2）因为，，所以，
所以，
又因为，所以
所以
.
19. 已知向量，.
（1）若向量与平行，求的值；
（2）若向量与的夹角为锐角，求的取值范围.
【答案】(1)或；(2).
【解析】
【分析】(1)利用向量共线的坐标表示求解；
(2)两向量夹角为锐角可转化数量积为大于零，但需排除向量共线的情况.
【详解】由题知，，.
(1)若向量与平行，则，.
解得或.
(2) 若向量与的夹角为锐角，
由得，，.解得.
又由(1)知，当时，向量与平行.
所以若向量与的夹角为锐角，则的取值范围为.
20. 如图，在中，为边上一点，且，已知，.
（1）若是锐角三角形，，求角的大小；
（2）若的面积为，求的长.
【答案】（1）.（2）.
【解析】
【详解】【试题分析】(1)在中,利用正弦定理可求得,得到,利用等腰的性质可知.(2)利用三角形的面积公式可求得,利用余弦定理可求得,由此求得的长.
【试题解析】
（1）在中，，，，由正弦定理得，
解得，所以或.
因为是锐角三角形，所以.
又，所以.
（2）由题意可得，解得，
由余弦定理得 ，解得，
则.
所以的长为.
21. 如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP＝θ(0<θ<π)，C点坐标为(－2,0)，平行四边形OAQP的面积为S.
(1)求·＋S的最大值；
(2)若CB∥OP，求sin的值．
【答案】（1）＋1（2）
【解析】
【详解】试题分析：求出，的坐标，然后求解，以及平行四边形的面积，通过两角和与差的三角函数，以及正弦函数的值域求解即可；
利用三角函数的定义，求出，利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数求解表达式的值．
解析：（1）由已知得，坐标分别为，，因为四边形是平行四边形，所以，
又因为平行四边形的面积为，
所以
又因为，所以当时，的最大值为．
（2）由题意知，，
因为，所以，因为，所以．
由，，得，，
所以，，
所以 ．
22. 如图，五边形东京奥运会公路自行车比赛赛道平面设计图，根据比赛需要，在赛道设计时需预留出，两条服务通道（不考虑宽度），，，，，为赛道．现已知，，千米，千米．
（1）求服务通道的长．
（2）在上述条件下，如何设计才能使折线赛道（即）的长度最大，并求最大值．
【答案】（1）服务通道的长为千米
（2）时，折线赛道的长度最大，最大值为千米
【解析】
【分析】（1）先在中利用正弦定理得到长度，再在中，利用余弦定理得到即可；
（2）在中利用余弦定理得到，再根据基本等式求解最值即可.
【小问1详解】
在中，由正弦定理得：
，
在中，由余弦定理，
得，
即
解得或（负值舍去）
所以服务通道的长为千米．
【小问2详解】
在中，由余弦定理得：，
即，所以
因为，所以，
所以，即（当且仅当时取等号）
即当时，折线赛道的长度最大，最大值为千米．