2023-2024学年江苏省镇江市实验高级中学、茅以升中学高一下学期期中联考数学试题

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1. 已知复数z满足；(为虚数单位)，则z的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
2. 设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能作为基底的是（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
3. ABC中，，，ABC的面积为，则=（ ）
A. B. C. D.
4. 在△中，为边上中线，为的中点，则
A. B.
C. D.
5. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知A，B两地距离为10km，B，C两地的距离为20km，且测得点B对点A和点C的张角为120°，则点B到AC的距离为（ ）km．
A. B. C. D.
7. 已知平面向量，，均为单位向量，且，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知中，D，E分别为线段AB，BC上的点，直线AE，CD交于点P，且满足，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.)
9. 在复平面内有一个，点为坐标原点，点对应的复数为，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是（ ）
A 点C位于虚轴上B.
C. D.
10. 若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则为直角三角形
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，则为直角三角形
11. tan75°＝（ ）
A. B. C. D.
12. 如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系，在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设，是分别与轴，轴正方向相同的单位向量，若，记，则下列结论中正确的是（ ）
A. 设，，若，则，
B. 设，则
C. 设，，若，则
D. 设，，若与夹角为，则
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)
13. 已知，复数为纯虚数，则_____________．
14. 已知为第二象限角，且，则___________.
15. 在中，点满足:，，若，则=_________.
16. 如图所示，在等腰直角中，，O为中点，E，F分别是线段，上的动点，且．当时，则的值为______；的最大值为______．
四、解答题(本大题共6小题，共计70分.)
17. 已知向量．
（1）若向量与垂直，求实数k的值；
（2）若向量，且与向量平行，求实数k的值．
18. 设是虚数，是实数，且．
（1）求的值；
（2）求的实部的取值范围．
19. 已知向量，，.
（1）求的值.
（2）若，，且，求的值.
20. 在①，其中为角的平分线的长（与交于点），②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.在中，内角，，的对边分别为，，，___________.
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围.
21. 扇形AOB中心角为，所在圆半径为，它按如图(Ⅰ)(Ⅱ)两种方式有内接矩形CDEF．

(1)矩形CDEF的顶点C、D在扇形的半径OB上，顶点E在圆弧AB上，顶点F在半径OA上，设；
(2)点M是圆弧AB的中点，矩形CDEF的顶点D、E在圆弧AB上，且关于直线OM对称，顶点C、F分别在半径OB、OA上，设；
试研究(1)(2)两种方式下矩形面积的最大值，并说明两种方式下哪一种矩形面积最大？
22. 已知向量， ，函数
， .
（1）若的最小值为-1，求实数的值；
（2）是否存在实数，使函数， 有四个不同零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.